Полный математический аппарат псевдогиперболоида со смещенной осью (базового элемента Геометрической волновой инженерии) строится на интеграции аналитической геометрии кривых второго порядка, дифференциальной геометрии поверхностей и топологического анализа.
Ниже представлено строгое математическое описание, необходимое для моделирования, трассировки лучей и решения волновых уравнений в объеме такой структуры.
1. Уравнение образующей (Профильная кривая)
В основе поверхности лежит каноническая гипербола, заданная в декартовой системе координат Oxy. Ее уравнение имеет вид:
a2x2−b2y2=1
Для параметризации поверхности выразим ординату y (высоту профиля) как функцию от абсциссы x (продольной оси симметрии):
y(x)=b⋅a2x2−1
Область определения базовой кривой: Функция существует только при ∣x∣≥a. Интервал x∈(−a,a) представляет собой область разрыва. Физически это формирует центральный фокальный зазор резонатора шириной 2a.
2. Смещение оси и функция радиуса вращения
Ключевой принцип создания псевдоповерхностей ГВИ — вращение профиля не вокруг собственной оси симметрии, а вокруг смещенной прямой. Пусть ось вращения задана прямой, параллельной оси Ox и отстоящей от нее на расстояние R:
y=R
В каждой точке x локальный радиус вращения r(x) определяется как кратчайшее расстояние от образующей кривой до оси вращения. Для обеспечения строгой математической и физической корректности (радиус не может быть отрицательным) вводится функция модуля:
r(x)=∣R−y(x)∣=R−b⋅a2x2−1
3. Топологические ограничения (Критерий замыкания)
Поскольку гипербола уходит в бесконечность, существует критическая точка x=L, в которой ветвь гиперболы пересекает ось вращения y=R. В этой точке радиус вращения обращается в ноль:
r(L)=0⟹R=b⋅a2L2−1
Решая это уравнение относительно L, получаем предельную координату (точку «иглы» или смыкания поверхности):
L=a⋅1+(bR)2
Физический домен поверхности: Чтобы избежать топологического самопересечения (выворачивания поверхности наизнанку), построение строго ограничивается областью:
x∈[−L,−a]∪[a,L]
При x=±L фигура стягивается в сингулярные точки (полюса), а при x=±a формируются широкие открытые основания конусообразных раструбов (радиусом R).
4. Трехмерные параметрические уравнения
Для перехода в 3D-пространство вводится азимутальный угол ϕ∈[0,2π]. Каждая точка псевдогиперболоида задается радиус-вектором r(x,ϕ)=(X,Y,Z):
⎩⎨⎧X(x,ϕ)=xY(x,ϕ)=R+R−ba2x2−1⋅cos(ϕ)Z(x,ϕ)=R−ba2x2−1⋅sin(ϕ)
Эта система является абсолютным фундаментом для любого САПР-моделирования или генерации расчетных сеток (Mesh).
5. Дифференциально-геометрические характеристики (Метрика)
Для решения волновых уравнений (уравнения Гельмгольца) внутри структуры необходимо определить метрический тензор поверхности (Первую квадратичную форму).
Коэффициенты первой квадратичной формы E,F,G:
E=(∂x∂X)2+(∂x∂Y)2+(∂x∂Z)2=1+[r′(x)]2
F=∂x∂r⋅∂ϕ∂r=0(ортогональная сеть)
G=(∂ϕ∂X)2+(∂ϕ∂Y)2+(∂ϕ∂Z)2=r(x)2
Метрика Гаусса принимает вид:
ds2=(1+[r′(x)]2)dx2+r(x)2dϕ2
где производная радиуса:
r′(x)=sgn(R−y(x))⋅−a2ba2x2−1x
Эта метрика определяет, как вычисляются геодезические линии (траектории лучей в высокочастотном приближении) с использованием уравнений Эйлера-Лагранжа.
6. Уравнение волнового поля на псевдоповерхности
Распространение скалярного поля u (например, акустического давления или компоненты ЭМ-поля) в таком пространстве строго подчиняется уравнению Гельмгольца с оператором Лапласа-Бельтрами:
ΔLBu+k2u=0
g1i,j∑∂xi∂(ggij∂xj∂u)+k2u=0
Где определитель метрического тензора g=E⋅G=r(x)2(1+[r′(x)]2). Именно переменность коэффициента g вызывает эффекты геометрической дисперсии, самофокусировки и образования локализованных стоячих волн вблизи x→±a, что является главным эффектом ГВИ.
7. Анализ влияния параметров (Параметрическое пространство)
Математический аппарат позволяет управлять свойствами резонатора через три базовые константы:
- a (Полуширина зазора): Определяет размер центральной фокальной полости и входной апертуры. Чем меньше a, тем плотнее сближаются зеркальные ветви.
- k=b/a (Коэффициент асимптоты): Задает угол наклона стенок на удалении от центра. Влияет на градиент r′(x). При b→∞ поверхность стремится к прямому цилиндру; при малых b — к резкой воронке.
- R (Смещение оси): Масштабный фактор. Определяет максимальный диаметр резонатора в области x=±a и, согласно формуле для L, общую предельную длину всей конструкции.