Предлагается принципиально новая поверхность второго порядка, не имеющая аналогов в научных источниках с интересными геометрическими свойствами, которые позволяют создать более мощные и компактные источники и детекторы направленного электромагнитного излучения в диапазоне частот от СВЧ и до оптического.
Псевдогиперболоид можно отнести к поверхностям второго порядка, которые описываются уравнениями второй степени и обладают особыми геометрическими свойствами, такими как наличие точек фокусировки и симметрии.
Из геометрии известно, что:
1. Гиперболоид – это поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей.
Рис. № 1. Гиперболоид.
2. Псевдосфера – это поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты.
Рис. № 2. Псевдосфера.
Объединим две поверхности и получим новую поверхность вращения – псевдогиперболоид.
Рис. № 3. Псевдориперболоид.
Псевдогиперболоидом можно назвать разомкнутую объёмную полость с переменной отрицательной кривизной, которая образована вращением разомкнутой образующей в виде
усеченной гиперболы относительно оси симметрии.
Рассмотрим разомкнутую трактриса в виде
двух усеченных симметричных гипербол, описываемых уравнением:
\frac{y^2}{1}-\frac{x^2}{1}=1
где a = b = 1.
- Образующая кривая: Сегмент гиперболы.
- Геометрия: Поверхность вращения сегмента гиперболы вокруг оси F, параллельной оси фокусов F1F2 гиперболы и смещенной от нее на R. Цилиндрическая высота оси фокусов центральной широкой полости связанна с действительной полуосью гиперболы a, и равна 2*a.
- Кривизна: Имеет переменную отрицательную Гауссову кривизну.
- Фокусировка: Обеспечивает наиболее сильную фокусировку из рассмотренных. Фокус представляет собой цилиндрическую область вдоль оси, толщина стенки которой может быть порядка длины волны λ. Идеален для концентрации энергии в объеме.
Рис. № 4. Образующий профиль псевдогиперболоида
Ход лучей внутри песвогиперболлоида
В соответствии с законами геометрической оптики, волна, падающая на вогнутую криволинейную поверхность (с отрицательной кривизной), будет отражаться в направлении фокуса. В предложенной конструкции форма поверхности заставляет многократно отражающиеся волны огибать ось фокусов, всё больше концентрируясь в плотно локализованный осевой фокусный фронт распространения.
Внутри псевдогиперболоида присутствуют одновременно два типа лучевых распространений:
- Лучи, направленные в фокусы
В идеальных условиях, согласно фокальному свойству гиперболы — луч, направленный на один из фокусов (F2), отражается на второй фокус (F1). Если продолжить этот луч дальше, то можно заметить, что он последовательно направляется к обоим фокусам. И в пределе, когда ветви гиперболы становятся прямыми (по оси фокусов F1-F2) – попадает в ловушку. Произойдет концентрация лучей по оси фокусов гиперболы F1-F2 в идеальных условиях.
Рис. № 5. Распространение лучей, направленных в фокус псевдогиперболоида.
2 Лучи, проходящие в направлении, отличном от прямого попадания в фокус
Если луч входит с некоторым углом к оси резонатора (оси фокусов), но не попадает непосредственно в фокус или не направлен точно на него, он все равно будет отражаться от вогнутых стенок. При этом возможны два сценария:
а) Периодическая фокусировка
В отличие от сферических или параболических зеркал, где не все лучи собираются строго в один фокус, для гиперболической поверхности фокальные свойства более устойчивые. Даже если луч не направлен в точности на фокус, после первого отражения — он может быть направлен в сторону второго фокуса и с каждым проходом концентрироваться также всё ближе к диаметральной оси фокусов. Часть боковых лучей может после нескольких касаний стенок отразиться за пределы псевдогиперболоида.
Рис. № 6. Распространение лучей, направленных с небольшим отклонением в фокус
б) Спиралевидное/гелиоидное сближение с осевой областью
Внеграничные лучи, попадающие на стенки под углом, в большинстве случаев будут многократно отражаться, “обтекая” ось резонатора спиралью. Это распространено во многих волноводных или резонаторных системах (см. работы по оптическим микрорезонаторам, метаобъективам). Отражения постепенно приближают траекторию луча к центральной оси, из-за формы вогнутых стенок.
Таким образом получается, что даже если начально луч не направлен прямо на фокус, многократные отражения будут стремиться «втянуть» его в центральную продольно-пропускающую зону. При определённых условиях (параметры усечения, длина волны, угол входа) сосредоточиваются в цилиндрической оси фокусов.
Поскольку форма псевдогиперболоида действует как своеобразная «геометрическая линза», лучи, входящие под различными углами, в большинстве случаев перераспределяются внутрь вдоль оси фокусов. За счёт оболочечной формы и отрицательной кривизны, траектории этих лучей не расходятся наружу, как, например, в плоских или выпуклых отражателях, а направляются внутрь, где могут войти в зону устойчивой продольной передачи.
Механизм можно сравнить с оптической воронкой — структура, втягивающая световые лучи к своей оси. Только в данном случае фокус существует не как точка, а как цилиндрическая область, к которой стремятся лучи.
На длинах волн, сопоставимых с размерами полости, появляется интерференционная картина с устойчивыми модами (стоячими волнами) вдоль оси. Даже внефокусные фронты, входящие на стенку, будут участвовать в формировании мод, которые сконцентрированы вдоль фокусной оси.
Основные свойства псевдогиперболоида
1. Новая геометрическая поверхность второго порядка, разомкнутая, с переменной отрицательной кривизной.
2. Внутренние стенки создают фокусирующий эффект вдоль цилиндрической фокальной оси.
Возможные направления применения:
- Антенны и излучатели нового типа.
- Детекторы и приёмники нового типа.
Вывод
Псевдогиперболоид обладает уникальным свойством фокусирующей и направляющей ловушки: он не «выбрасывает» энергию в разные стороны, как это происходит в обычных формах, а наоборот — стремится собрать любое излучение, попавшее внутрь, в узкий цилиндрический пучок фокусов.