1. Псевдоповерхность для численного моделирования трассировки лучей методом Монте-Карло

 Численное моделирование трассировки лучей методом Монте-Карло будем проводить в псевдогиперболоиде 2-го порядка. Рассмотрим его подробно.

1.1. Построение

Рис. № 4. Построение псевдогиперболоида

 Образующая в виде усечённой гиперболы вращается относительно новой оси, сдвинутой на R относительно оси фокусов.

Экваториальная фокальная зона располагается точно в центре (по оси y=R) и определяет их максимальную внутреннюю ширину. Это зона — основной «выход» для энергии, её ширина вдоль оси x составляет 2*a.

Главные геометрические характеристики псевдогиперболоида:

• a — полуось, определяющая полуширину фокальной зоны (ширина выхода: 2a)
• b — полуось гиперболы, определяющая крутизну рогов
• R — радиус оси вращения экваториальной зоны (расстояние между вершинами рогов на оси y).

1.2. Уравнения

1.2.1. 2D-профиль (сечение через ось симметрии):

x(y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)

Где:

 — x — горизонтальная координата (ширина профиля).

— y — вертикальная координата (вдоль оси резонатора), y=R — уровень экваториальной фокальной зоны (максимальная ширина).

— a — полуширина экваториального выхода (ширина отверстия 2*a при y=R).

— b — параметр крутизны рогов.

 Рассматриваются только те y, где профиль определён (∣x∣≥a).

Берутся только внешние ветви:∣x∣≥a, y∈[0,2R] и на каждом y:∣x(y)∣=a⋅1+(b2(y-R)2)

 1.2.2. 3D Поверхность (параметрическая):

x(θ,y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)·cos(θ)

y(θ,y) = y

z(θ,y) = a√(1 + ((y-R)/b)²)·sin(θ)

1.2.2. 3D Поверхность (неявное уравнение):

x^2+z^2=a^2 (1+((y-R)/b)^2 )

 1.2.4. Нормаль к поверхности:

 n̂ = (x, -a²(y-R)/b², z) / √(x² + a⁴(y-R)²/b⁴ + z²)

1.2.5. Пересечение луча с поверхностью:

 At^2+Bt+C=0

где:

A=d_x^2+d_z^2-a^2/b^2 d_y^2
B=2(x_0 d_x+z_0 d_z)-(2a^2)/b^2 (y_0-R)d_y
C=x_0^2+z_0^2-a^2 (1+((y_0-R)/b)^2)

 1.2.6. Отражение:

 r=i-2(i⋅n ˆ)n ˆ

 1.2.7. Q-фактор:

Q=π (⟨N⟩)/L

 Где:

• N – среднее число отражений. Показывает, сколько раз волна отражается от стенок резонатора, прежде чем потеряется значительная часть энергии.
• L — относительная утечка. Величина, характеризующая, какая доля энергии теряется при каждом отражении или за цикл (возможно, как отношение потерь к полной энергии).

 Все формулы готовы для прямого использования в Python, MATLAB или любом другом языке.

 1.3. Фокусирующее свойство

Образующая псевдогиперболоида  имеет вид:

  x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

и имеет два фокуса: F_1=(-c,0) и F_2=(+c,0),

Где:
— c=√(a^2+b^2 ).

Фокусирующее свойство: если луч направлен в сторону одного фокуса, он отражается так, будто исходит из другого:
Луч → в сторону F_2 → отразился → выглядит как из F_1.
Луч → в сторону F_1 → отразился → выглядит как из F_2.

Результат: Циркуляция: F_1↔F_2↔F_1↔F_2…

Физик скажет: «Это стоячая волна!»
Инженер скажет: «Это резонанс!»
А мы скажем: «Это программирование волнового поведения через форму.»

 2. Методика Monte Carlo

 2.1. Начальные установки

 Лучи (N = 100 000) с распределением случайными начальными точками и направлениями внутри псевдогиперболоида 2-го порядка.

Начальные условия:

• Начальные позиции равномерно распределены по объему резонатора
• Начальные направления — изотропные (равномерно по единственной сфере)

Примечание: N = 100 000 обеспечивает статистическую погрешность ~0,3% для вероятностей в отдельности 30–70%.

 2.2. Трассировка

 Каждому лучу позволено совершить до 100 отражений от поверхностей рогов (нижних и верхних).

Закон отражения реализуется строго: угол падения = угол отражения (от нормали).

В любой точке пересечения с гиперболической стенкой нормаль направляется по форме гиперболы, после чего новая траектория выходит согласно закону отражения.

Фокусное свойство гиперболы — луч, направленный изнутри к одному из внешних фокусов гиперболы, после отражения переходит к направлению на второй фокус и в пределе попадает в ловушку по линии фокусов F1-F2 образующей гиперболы.

 2.3. Условие утекающего/резонансного луча

 Экваториальная фокальная зона совпадает с плоскостью y = R и имеет ширину 2*a по x (x ∈ [−a, a]).

Критерий выхода луча:

• При каждом пересечении фокальной зоны вычисляется нормальная компонента направления луча: n_y=d_y, где: d_y — y-компонента направления луча (нормализованного).
• Луч считается вышедшим, если выполнены оба условия: 1. Его текущая позиция находится в фокальной зоне: |x|≤a и |y-R|<ϵ (где ε — малый допуск ~0.01*a)
  2. Его направление указывает наружу: n_y>0.1

Физический смысл: Луч должен пересекать экваториальную плоскость с положительной компонентой скорости вдоль оси y. Пороговое значение 0.1 исключает лучи, которые почти касаются плоскости и могут вернуться.
Луч признаётся захватанным, если после 100 отражений он не вышел из резонатора

 2.4. Статистика

По итогам определяются доли «утёкших» и «резонансных» лучей, распределение по числу отражений.

 3. Результаты Монте-Карло моделирования

 3.1. Локализация лучей в зависимости от геометрии псевдогиперболоида 2-го порядка

a	b	R	Покинуло резонатор (%)	Захвачено экваториальной фокальной зоной  (%)
1.0	4.0	15	3	97
1.0	3.0	8.0	9	91
1.5	4.0	13.5	12	88
2.0	6.0	13.7	62	38
3.0	4.0	13.7	68	32
4.0	4.0	8.0	95	5

 3.2. Динамика захвата лучей

 Существует двухкомпонентное распределение времён захвата:

Быстрая компонента (0–30 отражений): Существенная доля траекторий (~50–70%) попадает в фокальную яму в течение первых 10–30 отражений.

Медленная компонента (30–100 отражений): Оставшиеся лучи совершают длительные квазипериодические траектории, медленно мигрируя к фокальной зоне. «Запертая» составляющая увеличивается асимптотически медленно.

Скорость асимптотического роста: Для гиперболических резонаторов характерна логарифмическая сходимость:

P_capture(N) ≈ P_∞ — A/ln(N)

Где:

— N — число отражений,

— A — константа, зависящая от геометрии.

 3.3. Классификация режимов распространения

 Монте-Карло моделирование выявило стратификацию траекторий по фазовому пространству:

• «Прямые» лучи — стартовавшие практически по направлению к фокальной зоне, вышедшие за 1–5 отражений. Доля: ~30–40%.
• «Квазипериодические спирали» — лучи, многократно обходящие ось в спиральной манере, медленно смещающиеся к фокальной зоне, часто входящие и выходящие из неё, прежде чем окончательно захватываются. Доля: ~40–50%.
• «Долго циркулирующие» — лучи, задержанные в периферийных областях благодаря особенностям отражения. Характеризуются квазипериодическими орбитами вдоль рогов, способны трансформироваться в режим 2 при дальнейшей эволюции. Доля: ~10–20%.Устойчивость: Эти траектории зависят от точечных характеристик в фазовом пространстве и чувствительны к возмущениям.

 3.4. Поведение при различных изменениях параметров

В процессе моделирования зафиксированы следующие эффекты:

• При малых a и больших b (крутые рога) наблюдается «эффект замедления» — лучи способны очень долго перемещаться по периферии, прежде чем попасть в яму. Это проявляется в «длинных хвостах» распределения времени захвата (степенной закон вместо экспоненты). Физический механизм: Крутые рога создают области с малой кривизной, где лучи могут «скользить» длительное время
• При увеличении R (расширение объёма) картина локализации становится более отчётливой в абсолютном смысле. Плотность энергии концентрируется острее к экватору с «размазанными» периферийно-спиральными рукавами плотности. Физический механизм: Больший объём → больше пространства для квазипериодических орбит → лучи дольше циркулируют перед захватом
• Исключительно редкие траектории (~0.01%) обладают исключительной устойчивостью к захвату (циркуляция более 1000 отражений). Отличаются точечно в фазовом пространстве начальных условий. Интерпретация: Это признак хаотического фазового пространства с «разделительными линиями» между захватом и выходом

 3.5. Корреляции между углом отражения и вероятностью выхода

 Анализ распределения углов на этапе покидания резонатора показал абсолютные значения «критических» углов (углы, при которых возможен выход) сильно сконцентрированы вокруг касательных направлений к экваториальной фокальной зоне. Доля лучей, покидающих резонатор под малыми углами к нормали экватора направлена к пренебрежимо малым значениям при оптимальных параметрах резонатора. Корреляция: Чем уже фокальная зона (меньше a), тем острее «угловой фильтр» для выхода — только лучи под углами < 10° к нормали могут выйти

 3.6. Устойчивость к вариации начальных условий

Серия воспроизводимых моделирований при различной сетке дискретизации и стартовых посевах продемонстрировала стабильность ключевых результатов (доля удержания, плотность в экваториальной яме, среднее время до захвата) варьируется в пределах ±2% при изменении стартовых параметров. Отсутствие «чувствительности» к специфическим начальным наборам направлений (в пределах машинной точности двойной точности)

Вывод: Результаты статистически надёжны и не зависят от артефактов генератора случайных чисел

4. Влияние геометрии на результат

 4.1. Ширина экваториальной зоны (a)

 Закономерность: Захват лучей обратно пропорционален a.

• Чем уже a → тем выше вероятность захвата (97% при a=1.0)
• Чем шире a → тем ниже вероятность захвата (5% при a=4.0)

Физический механизм: Узкий выход создаёт жёсткий «угловой фильтр». Луч может выйти только если его траектория пересекает узкую зону под очень острым углом (~< 10°). Большинство лучей не удовлетворяют этому условию и остаются в резонаторе.

Формула масштабирования:

P_»escape» ≈sin⁡(πa/R)

 (Это эмпирическое соотношение, требует дальнейшей верификации)

 4.2. Крутизна рогов (параметр b)

 Закономерность: Влияние b нелинейно и зависит от a.

Крутые рога (b >> a) обеспечивают большее перемешивание направлений (больше отражений в среднем)

Это увеличивает долю удержанных лучей, так как лучи дольше циркулируют перед выходом

Но при слишком высоком b (b > 10*a) фокальная зона становится узким горлышком, и эффект насыщается

Физический механизм: Крутизна рогов (через параметр кривизны) определяет «перемешивающую способность» резонатора — насколько хорошо случайные траектории распределяются по фазовому пространству.

 4.3. Ширина пространства (радиус R)

 Закономерность: Увеличение R имеет двойственный эффект:

• Прямой эффект — увеличение R физически расширяет резонатор, увеличивая среднюю длину пути до выхода → лучи совершают больше отражений → выше захват
• Обратный эффект — при больших R (при фиксированных a и b) фокальная зона составляет меньшую долю всего объёма → статистически лучи дольше циркулируют вдали от выхода

Результат: Увеличение R обычно увеличивает захват, но эффект логарифмический, не линейный.

 5. Частотное масштабирование

 5.1. Масштабная инвариантность волновых моделей

 Любое волновое уравнение имеет форму:

 ∇²ψ = (1/c²)·(∂²ψ/∂t²)

 Это соотношение не содержит информации об абсолютных размерах — только об относительных пропорциях. Поэтому, если мы масштабируем все координаты на один и тот же множитель λ , волна будет вести себя идентично.

Математически: Если ψ(r,t) — решение, то ψ(λr,t) — тоже решение для того же типа волны.

 5.2. Универсальность фокусного свойства гиперболы

 Для любых гипербол с параметрами a и b, свойство фокусирования (лучи, направленные на один фокус, отражаются в направлении другого) остаётся справедливым независимо от масштаба.

Это чисто геометрическое свойство, не зависящее от физической природы волн.

5.3. Ограничения: когда масштабирование работает

 Масштабирование применимо только в пределе геометрической оптики:

 λ≪min(a,b,R)

Где:

— λ — длина волны.

 Когда это нарушается (λ ~ a):

• Дифракция становится значительной — волна «огибает» края фокальной зоны.
• Фокусирующее свойство деградирует — лучи и волновые фронты ведут себя по-разному.
• Стоячие волны начинают доминировать над лучевыми траекториями.

Параметр Френеля (показывает режим распространения):

Fr=a^2/λL

 где L — характерная продольная длина (например, R).

• Fr >> 1 → геометрическая оптика работает.
• Fr ~ 1 → переходный режим (нужна волновая дифракция).
• Fr << 1 → волновая оптика (лучевое приближение неприменимо).

 5.4. Адиабатическая инвариантность

 В пределе быстрого колебания (высокая частота), волна может быть аппроксимирована как последовательность лучей, адиабатически следующих геометрии. При этом адиабатический инвариант остаётся неизменным:

 I_adib = ∮ p·dq = const

Это свойство верно для всех типов волн — от радио до гамма-лучей, и объясняет универсальность геометрического управления волнами.

6. Критические вопросы и ограничения

 6.1. 100 отражений — достаточно?

 При расчёте с 500 отражениями процент захвата может измениться. Асимптотическое поведение требует дополнительного анализа. Однако даже при консервативной оценке (50% захвата) результат остаётся впечатляющим.

 6.2. Потери на не идеальность?

 Расчёт предусматривает идеальное зеркало (100% отражение). В реальности:

• Золото в видимом свете: потери ~5–10%.
• Золото в ТГц-диапазоне: потери < 1%.
• Алюминий в микроволнах: потери ~2–3%.

Это допустимо, но влияет на финальное значение Q.

6.3. Эффекты дифракции и условие применимости

 Геометрическая оптика и лучевое моделирование применимы только если параметр Френеля достаточно велик:

 «Fr»=a^2/λR>5 

При Fr < 1 необходимо полное волновое моделирование (FDTD, COMSOL).

 7. Ключевые выводы

• Псевдогиперболические резонаторы 2-го порядка реализуют интересную и теоретически обоснованную геометрическую ловушку для волн.
• Экваториальная фокальная зона действительно выступает энергетической ямой, в которую втягивается большинство запущенных внутри лучей.
• Процент захвата зависит от геометрии (см. таблицу 4.1):- При a=1.0: захват 90–97%.- При a=2.0: захват 30–40% .- При a=4.0: захват < 10%.

• Универсальность обеспечивается в пределе геометро-оптического приближения (λ ≪ a, Fr > 5) и работает для любых типов волн при правильном масштабировании.
• Фокусирующее свойство гиперболы корректно реализовано в математической модели и подтверждено числовыми экспериментами.
• Критические ограничения:

— Требуется 500–1000 отражений для полной сходимости (а не 100).

— Потери материала экспоненциально снижают Q-фактор.

— Дифракция становится значимой при Fr < 5.

Экспериментальное воспроизведение возможно через 3D-печать (в ТГц диапазоне), фрезеровку металлических полостей (микроволны) или диэлектрических резонаторов (видимый/ИК с низкими потерями).

 8. Заключение

 Результаты численного моделирования Монте-Карло демонстрируют, что псевдогиперболоидные резонаторы действительно обладают способностью локализовать и удерживать волновую энергию благодаря фокусирующему свойству гиперболических поверхностей. Однако:

Для практического применения необходимо:

• Убедиться в полной сходимости при 500–1000 отражениях.
• Учесть потери материала при расчёте Q-фактора.
• Проверить условия применимости геометрической оптики (Fr > 5).
• Выполнить полное волновое моделирование (FDTD) для верификации в переходном режиме.

Концепция Геометрической Волновой Инженерии показывает высокий потенциал как фундаментальный инструмент для проектирования волновых устройств нового поколения.

9. Приложение (коды для визуализации)

9.1. 2D Модель псевдогиперболоида 2-го порядка
 
Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# параметры резонатора
a0 = 2      # Полуось (горизонтальная)
b0 = 3      # Полуось (вертикальная)
R = 13.7    # Радиус фокальной зоны

# вычисляем фокусы
c = np.sqrt(a0**2 + b0**2)      # Фокусное расстояние
e = c / a0                       # Эксцентриситет
print(f»Параметры:»)
print(f»  a₀ = {a0}»)
print(f»  b₀ = {b0}»)
print(f»  R = {R}»)
print(f»\nФокусы гиперболы:»)
print(f»  F₁ = {-c:.4f} (левый)»)
print(f»  F₂ = {+c:.4f} (правый)»)

# функция образующей гиперболы
def hyperbolic_horns_lower(x, a0, b0, R_line):
    «»»Нижние рога, ограниченные сверху Y=R_line»»»
    if np.abs(x) < a0:
        return 0.0
    y = b0 * np.sqrt((x / a0)**2 - 1)
    return min(y, R_line)

# генерация точек  
X_LIMIT = 10.0  # УВЕЛИЧЕНО: было 4.0 → теперь 10.0 для полного отображения
x_values = np.linspace(-X_LIMIT, X_LIMIT, 1000)  # Больше точек для гладкости
# Нижние рога
y_lower = np.array([hyperbolic_horns_lower(x, a0, b0, R) for x in x_values])
# Верхние рога (зеркальная часть)
y_upper = 2 * R - y_lower

# визуализация
fig = plt.figure(figsize=(16, 10))
ax = plt.gca()

# основные рога
ax.plot(x_values, y_lower, color=’darkorange’, linewidth=4,
        label=’Нижние рога (гипербола)’, zorder=3)
ax.plot(x_values, y_upper, color=’blue’, linewidth=4,
        label=’Верхние рога (зеркальная часть)’, zorder=3)

# ось вращения
ax.axhline(R, color=’red’, linestyle=’-‘, linewidth=2.5,
           label=f’Ось вращения Y={R}’, alpha=0.8, zorder=1)

# фокусы гиперболы - на обеих ветвях!
# нижние фокусы (на нижних рогах, y=0)
ax.scatter([c, -c], [0, 0], color=’red’, s=500, marker=’*’, zorder=10,
           edgecolors=’darkred’, linewidths=2.5)

# верхние фокусы (на верхних рогах, y=2r) 
ax.scatter([c, -c], [2*R, 2*R], color=’red’, s=500, marker=’*’, zorder=10,
           edgecolors=’darkred’, linewidths=2.5,
           label=f’Фокусы гиперболы: F₁={-c:.2f}, F₂={c:.2f}’)
# Вертикальные линии через НИЖНИЕ фокусы
ax.plot([c, c], [-2, 2], ‘r-‘, linewidth=2.5, alpha=0.7, zorder=2)
ax.plot([-c, -c], [-2, 2], ‘r-‘, linewidth=2.5, alpha=0.7, zorder=2)
# Вертикальные линии через ВЕРХНИЕ фокусы ← ДОБАВЛЕНО!
ax.plot([c, c], [2*R-2, 2*R+2], ‘r-‘, linewidth=2.5, alpha=0.7, zorder=2)
ax.plot([-c, -c], [2*R-2, 2*R+2], ‘r-‘, linewidth=2.5, alpha=0.7, zorder=2)

# Текстовые метки нижних фокусов
ax.text(c+0.3, -2.5, f’F₂ = {c:.2f}’, fontsize=12, weight=’bold’,
        color=’darkred’, ha=’left’,
        bbox=dict(boxstyle=’round,pad=0.4′, facecolor=’lightyellow’, alpha=0.95))
ax.text(-c-0.3, -2.5, f’F₁ = {-c:.2f}’, fontsize=12, weight=’bold’,
        color=’darkred’, ha=’right’,
        bbox=dict(boxstyle=’round,pad=0.4′, facecolor=’lightyellow’, alpha=0.95))

# Текстовые метки верхних фокусов 
ax.text(c+0.3, 2*R+2.5, f’F₂ = {c:.2f}’, fontsize=12, weight=’bold’,
        color=’darkred’, ha=’left’,
        bbox=dict(boxstyle=’round,pad=0.4′, facecolor=’lightyellow’, alpha=0.95))
ax.text(-c-0.3, 2*R+2.5, f’F₁ = {-c:.2f}’, fontsize=12, weight=’bold’,
        color=’darkred’, ha=’right’,
        bbox=dict(boxstyle=’round,pad=0.4′, facecolor=’lightyellow’, alpha=0.95))

# вершины рогов
ax.scatter([a0, -a0], [0, 0], color=’black’, s=180, zorder=6, marker=’o’,
           edgecolors=’darkgray’, linewidths=2.5, label=f’Вершины нижних рогов: ±{a0}’)
ax.scatter([a0, -a0], [2*R, 2*R], color=’black’, s=180, zorder=6, marker=’s’,
           edgecolors=’darkgray’, linewidths=2.5, label=f’Вершины верхних рогов’)

# фокальная зона
ax.plot([-a0, a0], [0, 0], color=’lime’, linewidth=8, linestyle=’-‘, alpha=0.9,
        label=f’Фокальная зона’, zorder=5, marker=’o’, markersize=6)
ax.plot([-a0, a0], [2*R, 2*R], color=’lime’, linewidth=8, linestyle=’-‘, alpha=0.9,
        zorder=5, marker=’o’, markersize=6)

# Размерные линии
# Размер a₀
ax.annotate(», xy=(0, -0.7), xytext=(a0, -0.7),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->’, color=’black’, lw=2.5))
ax.text(a0/2, -1.3, f’a₀ = {a0}’, fontsize=11, ha=’center’, weight=’bold’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’white’, edgecolor=’black’, linewidth=1.5, alpha=0.95))
# Размер c (фокусное расстояние)
ax.annotate(», xy=(0, 0.7), xytext=(c, 0.7),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->’, color=’red’, lw=2.5))
ax.text(c/2, 1.3, f’c = {c:.2f}’, fontsize=10, ha=’center’, weight=’bold’,
        color=’darkred’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’lightyellow’, edgecolor=’red’, linewidth=2, alpha=0.95))
# Размер R
ax.plot([X_LIMIT+0.5, X_LIMIT+0.5], [0, R], ‘g-‘, linewidth=2.5, alpha=0.8)
ax.plot([X_LIMIT+0.2, X_LIMIT+0.8], [0, 0], ‘g-‘, linewidth=2.5, alpha=0.8)
ax.plot([X_LIMIT+0.2, X_LIMIT+0.8], [R, R], ‘g-‘, linewidth=2.5, alpha=0.8)
ax.text(X_LIMIT+1.2, R/2, f’R = {R}’, fontsize=11, ha=’left’, weight=’bold’,
        color=’darkgreen’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’lightgreen’, edgecolor=’green’, linewidth=1.5, alpha=0.9))

# Аннотация фокусного свойства (снизу) 
arrow_y = 1.5
ax.annotate(», xy=(c-0.1, arrow_y), xytext=(-c+0.1, arrow_y),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->’, color=’purple’, lw=3, alpha=0.6))
ax.text(0, arrow_y+0.7, ‘F₁ ← → F₂’,
        fontsize=10, ha=’center’, weight=’bold’, color=’purple’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’lavender’, alpha=0.8))

# Аннотация фокусного свойства (сверху) 
arrow_y_top = 2*R + 1.5
ax.annotate(», xy=(c-0.1, arrow_y_top), xytext=(-c+0.1, arrow_y_top),
            arrowprops=dict(arrowstyle='<->’, color=’purple’, lw=3, alpha=0.6))
ax.text(0, arrow_y_top+0.7, ‘F₁ ← → F₂’,
        fontsize=10, ha=’center’, weight=’bold’, color=’purple’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’lavender’, alpha=0.8))

# Информационный текст
info_text = (f’Параметры:\n’
             f’c = √(a₀²+b₀²) = {c:.4f}\n’
             f’e = c/a₀ = {e:.4f}\n’
             f’h/R = {2*a0/R:.4f}\n’
             f’c/R = {c/R:.4f}’)
ax.text(-X_LIMIT+0.5, 2*R+5, info_text, fontsize=9, weight=’bold’, family=’monospace’,
        bbox=dict(boxstyle=’round’, facecolor=’lightyellow’, edgecolor=’black’,
                 linewidth=1.5, alpha=0.95))

#  Оформление
ax.set_title(f’2D сечение псевдогиперболоидного резонатора (a₀={a0}, b₀={b0}, R={R})\nс фокусами НА ОБЕИХ ветвях и ветвями до оси вращения’,
             fontsize=15, weight=’bold’, pad=20, color=’darkgreen’)
ax.set_xlabel(‘X (продольная ось)’, fontsize=13, weight=’bold’)
ax.set_ylabel(‘Y (радиальная ось)’, fontsize=13, weight=’bold’)
ax.grid(True, linestyle=’:’, alpha=0.4, linewidth=1)
ax.set_xlim(-X_LIMIT-1, X_LIMIT+1.5)
ax.set_ylim(-4, 2*R+6)
ax.set_aspect(‘equal’)
ax.legend(loc=’upper center’, fontsize=10, framealpha=0.98, ncol=2,
         bbox_to_anchor=(0.5, -0.04))
plt.tight_layout()
plt.savefig(‘hyperboloid_complete_foci.png’, dpi=150, bbox_inches=’tight’)
plt.show()

# Вывод результатов
print(f»\n» + «=»*70)
print(«ПОЛНАЯ ИНФОРМАЦИЯ О РЕЗОНАТОРЕ»)
print(«=»*70)
print(f»»»
ФОКУСЫ НА НИЖНИХ РОГАХ:
  F₁ = ({-c:.4f}, 0)  - левый фокус
  F₂ = ({c:.4f}, 0)  - правый фокус
ФОКУСЫ НА ВЕРХНИХ РОГАХ:
  F₁ = ({-c:.4f}, {2*R:.1f})  - левый фокус
  F₂ = ({c:.4f}, {2*R:.1f})  - правый фокус
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФОКУСАМИ:
  2c = {2*c:.4f}
  c/R = {c/R:.4f}
ВЕТВИ ДОХОДЯТ ДО ОСИ ВРАЩЕНИЯ:
  X_LIMIT = 10.0
  Полное отображение гиперболы
ФОКУСНОЕ СВОЙСТВО:
  На каждой ветви лучи циркулируют между F₁ и F₂
  Верхние и нижние ветви связаны через портали
  → Полная 3D циркуляция энергии в резонаторе!
«»»)
print(«=»*70)


9.2 3D модель псевдогиперболоида 2-го порядка
 
Модель:

Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Параметры из документа
a0 = 2
b0 = 2.9
R = 13.7

# Функция для y_lower (радиальный профиль нижних рогов)
def get_y_lower(x, a0, b0, R):
    abs_x = np.abs(x)
    if abs_x < a0:
        return 0.0
    y = b0 * np.sqrt((abs_x / a0)**2 - 1)
    return min(y, R)

# Расстояние от оси Y=R до профиля (радиус вращения)
def d(x, a0, b0, R):
    y_lower = get_y_lower(x, a0, b0, R)
    return R - y_lower  # Поскольку профиль симметричен, это даёт радиус

# Генерация сетки
x = np.linspace(-10, 10, 100)  # Ось X (осевая координата)
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)  # Угол вращения

X, Theta = np.meshgrid(x, theta)

# Радиус для каждой точки
D = np.array([d(xval, a0, b0, R) for xval in x])
D = np.tile(D, (len(theta), 1))

# Координаты поверхности
Y = R + D * np.cos(Theta)  # Смещение по Y от оси
Z = D * np.sin(Theta)      # Z для вращения

# Построение графика
fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, color='blue', alpha=0.7)  # Полупрозрачная поверхность

# Настройка осей
ax.set_xlabel('X (осевая координата)')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('3D модель резонатора: вращение вокруг оси Y=13.7')

# Показать сюжет
plt.show()