Программный код для моделирования:
——————————————————————
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# — Параметры гиперболы —
a_hyperbola = 1.0 # Определяет ширину ветвей
b_hyperbola = 1.0 # Определяет «высоту» ветвей (расстояние от центра до вершины по оси y)
# Вычисляем фокусное расстояние для гиперболы
c_hyperbola = np.sqrt(a_hyperbola**2 + b_hyperbola**2)
# — Параметры первой фигуры (базовый профиль) —
# Ось симметрии/отражения для создания первой фигуры
initial_reflection_axis_x = 4.0 # X=4 в нашей системе координат
# Для того чтобы ветви доходили до X=4, нам нужно найти соответствующий Y
max_y_for_x4_boundary = b_hyperbola * np.sqrt((initial_reflection_axis_x/a_hyperbola)**2 + 1)
# Определяем исходную верхнюю ветвь гиперболы
y_segment_original_range_upper = np.linspace(b_hyperbola, max_y_for_x4_boundary, 200)
x_upper_segment_original = a_hyperbola * np.sqrt((y_segment_original_range_upper**2 / b_hyperbola**2) — 1)
# Зеркальное отражение исходной ветви относительно initial_reflection_axis_x (X=4)
x_upper_segment_reflected = 2 * initial_reflection_axis_x — x_upper_segment_original
y_upper_segment_reflected = y_segment_original_range_upper
# Аналогично для нижней части «веретена»
y_segment_original_range_lower = np.linspace(-max_y_for_x4_boundary, -b_hyperbola, 200)
x_lower_segment_original = a_hyperbola * np.sqrt((y_segment_original_range_lower**2 / b_hyperbola**2) — 1)
x_lower_segment_reflected = 2 * initial_reflection_axis_x — x_lower_segment_original
y_lower_segment_reflected = y_segment_original_range_lower
# — Координаты внешних фокусов (красные «x») —
focus_orig_upper_y = c_hyperbola
focus_orig_lower_y = -c_hyperbola
focus_orig_x = 0
focus_refl_x = 2 * initial_reflection_axis_x — focus_orig_x
focus_refl_upper_y = c_hyperbola
focus_refl_lower_y = -c_hyperbola
# — Настройка общей фигуры для двух подграфиков —
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(24, 12))
# — График 1: Псевдогиперболоид 2-го Порядка —
ax1 = axes[0]
ax1.set_title(‘Псевдогиперболоид 2-го Порядка’, fontsize=14)
# Профиль первой фигуры
ax1.plot(x_upper_segment_original, y_segment_original_range_upper,
label=’Исходная верхняя ветвь’, color=’blue’, linewidth=2)
ax1.plot(x_upper_segment_reflected, y_upper_segment_reflected,
label=’Отраженная верхняя ветвь’, color=’blue’, linewidth=2, linestyle=’—‘)
ax1.plot(x_lower_segment_original, y_segment_original_range_lower,
label=’Исходная нижняя ветвь’, color=’green’, linewidth=2)
ax1.plot(x_lower_segment_reflected, y_lower_segment_reflected,
label=’Отраженная нижняя ветвь’, color=’green’, linewidth=2, linestyle=’—‘)
# Добавляем точки вершин
ax1.plot(0, b_hyperbola, ‘go’, markersize=8, label=f’Вершина (0, {b_hyperbola:.1f})’)
ax1.plot(0, -b_hyperbola, ‘go’, markersize=8, label=f’Вершина (0, {-b_hyperbola:.1f})’)
ax1.plot(initial_reflection_axis_x * 2, b_hyperbola, ‘go’, markersize=8, label=f’Отраженная вершина ({initial_reflection_axis_x*2:.1f}, {b_hyperbola:.1f})’)
ax1.plot(initial_reflection_axis_x * 2, -b_hyperbola, ‘go’, markersize=8, label=f’Отраженная вершина ({initial_reflection_axis_x*2:.1f}, {-b_hyperbola:.1f})’)
# Ось вращения (совпадает с осью симметрии первой фигуры)
rotation_axis_2nd_order = initial_reflection_axis_x # X=4
ax1.axvline(x=rotation_axis_2nd_order, color=’purple’, linestyle=’—‘, linewidth=3,
label=f’Ось вращения (X={rotation_axis_2nd_order})’)
# — Добавляем внешние фокусы (красные «x») —
ax1.plot(focus_orig_x, focus_orig_upper_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус (0, {focus_orig_upper_y:.2f})’)
ax1.plot(focus_orig_x, focus_orig_lower_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус (0, {focus_orig_lower_y:.2f})’)
ax1.plot(focus_refl_x, focus_refl_upper_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус ({focus_refl_x:.1f}, {focus_refl_upper_y:.2f})’)
ax1.plot(focus_refl_x, focus_refl_lower_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус ({focus_refl_x:.1f}, {focus_refl_lower_y:.2f})’)
# — Фокальные зоны (ЧЁРНЫЕ КРУЖКИ) — УБРАНЫ —
# ax1.plot(concentration_x_2d_figure, concentration_y_upper, ‘ko’, markersize=15, zorder=10,
# label=f’Фокальная зона ({concentration_x_2d_figure}, {concentration_y_upper:.2f})’)
# ax1.plot(concentration_x_2d_figure, concentration_y_lower, ‘ko’, markersize=15, zorder=10,
# label=f’Фокальная зона ({concentration_x_2d_figure}, {concentration_y_lower:.2f})’)
ax1.set_xlabel(‘X-ось’)
ax1.set_ylabel(‘Y-ось’)
ax1.grid(True)
ax1.set_aspect(‘equal’, adjustable=’box’)
ax1.set_xlim([-0.5, 8.5])
ax1.set_ylim([-max_y_for_x4_boundary * 1.1, max_y_for_x4_boundary * 1.1])
ax1.legend(loc=’lower center’, bbox_to_anchor=(0.5, -0.25), fancybox=True, shadow=True, ncol=3, fontsize=’small’)
# — График 2: Псевдогиперболоид 3-го Порядка (с новой осью X=10) —
ax2 = axes[1]
ax2.set_title(‘Псевдогиперболоид 3-го Порядка (Ось вращения X=10)’, fontsize=14)
# Профиль первой фигуры
ax2.plot(x_upper_segment_original, y_segment_original_range_upper,
label=’Исходная верхняя ветвь’, color=’blue’, linewidth=2)
ax2.plot(x_upper_segment_reflected, y_upper_segment_reflected,
label=’Отраженная верхняя ветвь’, color=’blue’, linewidth=2, linestyle=’—‘)
ax2.plot(x_lower_segment_original, y_segment_original_range_lower,
label=’Исходная нижняя ветвь’, color=’green’, linewidth=2)
ax2.plot(x_lower_segment_reflected, y_lower_segment_reflected,
label=’Отраженная нижняя ветвь’, color=’green’, linewidth=2, linestyle=’—‘)
# Добавляем точки вершин
ax2.plot(0, b_hyperbola, ‘go’, markersize=8)
ax2.plot(0, -b_hyperbola, ‘go’, markersize=8)
ax2.plot(initial_reflection_axis_x * 2, b_hyperbola, ‘go’, markersize=8)
ax2.plot(initial_reflection_axis_x * 2, -b_hyperbola, ‘go’, markersize=8)
# НОВАЯ Ось вращения в X=10
new_rotation_axis_x_3rd_order = 10.0
ax2.axvline(x=new_rotation_axis_x_3rd_order, color=’darkorange’, linestyle=’—‘, linewidth=3,
label=f’Новая Ось вращения (X={new_rotation_axis_x_3rd_order})’)
# — Фокальные зоны (ЧЁРНЫЕ КРУЖКИ) — УБРАНЫ —
# ax2.plot(concentration_x_2d_figure, concentration_y_upper, ‘ko’, markersize=15, zorder=10,
# label=f’Фокальная зона ({concentration_x_2d_figure}, {concentration_y_upper:.2f})’)
# ax2.plot(concentration_x_2d_figure, concentration_y_lower, ‘ko’, markersize=15, zorder=10,
# label=f’Фокальная зона ({concentration_x_2d_figure}, {concentration_y_lower:.2f})’)
# — Добавляем внешние фокусы (красные «x») —
ax2.plot(focus_orig_x, focus_orig_upper_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус (0, {focus_orig_upper_y:.2f})’)
ax2.plot(focus_orig_x, focus_orig_lower_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус (0, {focus_orig_lower_y:.2f})’)
ax2.plot(focus_refl_x, focus_refl_upper_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус ({focus_refl_x:.1f}, {focus_refl_upper_y:.2f})’)
ax2.plot(focus_refl_x, focus_refl_lower_y, ‘rx’, markersize=12, mew=2, zorder=10,
label=f’Внешний Фокус ({focus_refl_x:.1f}, {focus_refl_lower_y:.2f})’)
ax2.set_xlabel(‘X-ось’)
ax2.set_ylabel(‘Y-ось’)
ax2.grid(True)
ax2.set_aspect(‘equal’, adjustable=’box’)
ax2.set_xlim([-0.5, 12.0])
ax2.set_ylim([-max_y_for_x4_boundary * 1.1, max_y_for_x4_boundary * 1.1])
ax2.legend(loc=’lower center’, bbox_to_anchor=(0.5, -0.25), fancybox=True, shadow=True, ncol=3, fontsize=’small’)
plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
plt.show()
————————————————————
Поведение лучей внутри псевдогиперболоида 2-го порядка
Аннотация
В данной работе исследуется поведение лучей внутри псевдогиперболоидной структуры 2-го порядка — геометрической фигуры, образованной вращением половинки вертикальной гиперболы вокруг нецентральной вертикальной оси. Показано, что в такой геометрии все входящие внутрь лучи, под широким спектром углов, стремятся к устойчивой пространственной кольцевой зоне, формируя трёхмерную фокусную структуру. Представлено геометрическое и физическое объяснение концентрации в форме тороидальной зоны. Сделаны выводы о перспективности таких конфигураций в приложениях, требующих пространственной фокусировки или удержания электромагнитной энергии.
1. Введение
Псевдогиперболоид 2-го порядка представляет собой фигуру вращения, полученную путём вращения половинки вертикальной гиперболы, раскрытой вдоль вертикальной оси Y, вокруг нецентральной вертикальной оси, которая не совпадает с геометрической осью симметрии исходной гиперболы. Такая конфигурация отличается от классического гиперболоида вращения и обладает особыми оптическими свойствами.
Одним из наблюдаемых эффектов, обнаруженных при моделировании распространения лучей в подобной структуре, стало то, что практически все входящие внутрь лучи, вне зависимости от точки приложения и угла падения (в разумных пределах), после многократных переотражений стремятся к пространственной кольцевой зоне — трёхмерному аналогу отрезка фокусной оси F₁–F₂ в 2D.
Сечение псевдогиперболоида 2-го порядка.
2. Геометрическое обоснование фокусного кольца
Поскольку фигура формируется путём вращения гиперболической ветви вокруг вертикальной оси (например, X = 4), которая смещена относительно оси симметрии гиперболы (например, X = 0), то при вращении:
— каждая 2D-точка (в том числе фокусы F₁ и F₂) описывает окружность вокруг оси вращения;
— отрезок между F₁–F₂ превращается в пространство внутри тора — кольцевого объёма;
Таким образом, в 3D область концентрации отклоняется от прямой линии F₁–F₂ и превращается в пространственную кольцевую зону — т.н. фокусный тор (или фокусное кольцо).
Луч, отражающийся внутри по фокусному закону гиперболы (из F₁ к F₂), в 3D перемещается:
— вдоль траектории, приближающейся к кольцевой поверхности, описываемой при вращении F₁–F₂;
— по касательной к фокусному тору — либо входит внутрь этой зоны, либо проходит близко;
Это и создаёт устойчивый эффект 3D-концентрации.
3. Причины пространственного удержания лучей
Свойство концентрации внутри псевдогиперболоида объясняется сочетанием:
— Геометрической формы гиперболы, «захватывающей» лучи и отражающей их внутрь;
— Фокусного закона: от любого фокуса гиперболы отражение идёт строго в направлении второго фокуса;
— Ротационной симметрии: каждая траектория, отражающаяся внутри 2D-гиперболы, будет при вращении проецироваться на аналогичную траекторию внутри 3D-тела.
Даже нерегулярные лучи (входящие под неидеальным углом) после нескольких отражений либо:
— входят во внутреннюю часть тороидальной фокусной зоны,
— либо стабилизируются в окрестностях кольца, двигаясь параллельно вдоль него.
Это делает кольцевую фокусную структуру устойчивой: она притягивает геометрические траектории внутрь и «сдерживает» их.
4. Физическая интерпретация
В классических двухмерных гиперболах фокусное свойство формулируется как: луч, исходящий из F₁, отражается от гиперболы — и направляется в сторону F₂.
Однако при вращении гиперболы вокруг оси, не совпадающей с её симметрией, фокусы F₁ и F₂ превращаются не в точки, а в окружности с радиусом R.
Таким образом, в 3D мы получаем:
— не фокус на отрезке F₁–F₂, а фокусную кольцевую зону, в которой лучи циркулируют после отражений.
Движение энергии внутри происходит не по прямой, а по замкнутым или спирально-кольцевым траекториям вдоль объёма этого фокусного кольца. Эта зона становится своего рода «энергетическим концентратором» или кольцевым резонатором.
5. Практическая интерпретация и приложения
Псевдогиперболоид 2-го порядка с данной фокусной архитектурой способен собирать и удерживать энергию в виде концентрированной кольцевой зоны. По сути, такая структура выполняет функции:
— кольцевого концентратора,
— пассивного резонатора,
— волновода замкнутого типа (по периметру фокусного кольца),
— геометрической световой ловушки.
6. Вывод
Псевдогиперболоид 2-го порядка создаёт устойчивую фокусную структуру — трёхмерную кольцевую зону максимальной концентрации. Она возникает в результате вращения фокусной линии F₁–F₂ гиперболы вокруг вертикальной оси и формирует пространственную геометрическую ловушку. Все лучи, входящие в такую систему при соблюдении базовой симметрии, при множественных отражениях собираются вдоль этой кольцевой зоны.
Таким образом, фокус не является точкой или прямой, а пространственным кольцом — энергетическим слоем, устойчивым к изменению начальных условий распространения. Это открывает путь к реализации новых типов пассивных оптических и радиочастотных концентраторов и усиливающих структур на основе геометрического резонанса.