20.1. Назначение

Протокол полной электромагнитной верификации является вычислительным продолжением электромагнитной постановки: Maxwell.  Ранее мы вводили электромагнитную постановку как первый обязательный тест межфизической части теории, то здесь эта постановка переводится в форму строгого численного протокола, пригодного для конечной элементной реализации в COMSOL, CST, HFSS, FEniCSx или эквивалентной электродинамической среде. Иначе говоря, электромагнитная постановка: Maxwell отвечала на вопрос, почему Maxwell обязателен, а здесь мы отвечаем на вопрос, как именно надо ставить Maxwell-задачу, чтобы результат действительно работал на критерии C2–C7, а не оставался иллюстративным.

Это особенно важно именно для электродинамики. В самой монографии уже подчёркнуто, что Maxwell-задача не сводится к скалярной акустической аналогии, потому что здесь появляются:

векторная природа поля,

поляризация,

TE-, TM- и гибридные режимы,

реальный поток Пойнтинга,

реальная структура поля на кольцевой апертуре.

Следовательно, без отдельной численной главы электромагнитная часть теории остаётся неполной. В наших формулировках электромагнитной постановки: Maxwell мы  прямо обязана показать: переживает ли центральная ловушка переход к векторной Maxwell-системе, существуют ли электромагнитные карты ηcenter, ηout, Φ, θdiv, S, и можно ли построить осмысленную рабочую область U_EM. Именно это и становится задачей настоящей главы.

20.2. Почему Maxwell-протокол должен быть полным, а не редуцированным

Для электромагнитного случая особенно опасно подменять полную постановку частичной. Причина в том, что даже очень хорошая скалярная редукция способна уловить только часть картины. Она может подсказать, где ожидать локализацию, как примерно должен вести себя спектр и каков может быть порядок закона направленности. Но она не может сама по себе ответить на следующие вопросы:

Сохраняется ли центральная ловушка для реального векторного поля?

Не разрушается ли локализация при смене поляризации?

Как распределяется поле на самой щели?

Действительно ли выходной поток через кольцевую апертуру организуется как направленный режим, а не как паразитическая многолепестковая утечка?

Совместимы ли центральная локализация, радиационный вывод и добротность в одной и той же области параметров?

Именно эти вопросы уже встроены в электромагнитную постановку: Maxwell, как её научный смысл. Maxwell в структуре монографии выступает не как украшение теории, а как первый настоящий межфизический барьер: если геометрическая схема не переживает переход к векторной электродинамике, то говорить о сильной версии гипотезы уже невозможно. По этой причине мы должны использовать именно полную 3D Maxwell-постановку, а не оставаться на уровне осесимметричных или скалярных заменителей.

20.3. Геометрическая область расчёта

В настоящей главе используется тот же канонический псевдогиперболоид второго порядка, который уже закреплён в вашей монографии как базовый объект ГВИ. Сохраняются безразмерные параметры формы:

a = 0.05,
b = 0.5,
R = 20.

Геометрическая полудлина определяется формулой

x* = a · sqrt(1 + (R / b)^2).

Подстановка даёт

x* = 0.05 · sqrt(1 + 40^2) ≈ 2.0006249024.

Безразмерные параметры геометрии имеют значения

β = b / a = 10,
ρ = R / a = 400.

Именно эти числа должны использоваться и в Maxwell-главе, потому что межфизическая программа C7 опирается на одну и ту же геометрию и один и тот же язык параметров β, ρ, α, ka. Если менять геометрию между EM и AC, то любое последующее сравнение рабочих областей потеряет смысл. Ваша монография уже формулирует это предельно чётко: разные физики должны сравниваться в одной и той же геометрической области и в одних и тех же безразмерных переменных.

Как и в акустической главе, реальный вычислительный профиль должен быть сглаженным. Исходная кусочная форма удобна для аналитики, но в полном 3D Maxwell-расчёте негладкий стык при x = ±a приводит к трём нежелательным эффектам:

паразитическому локальному усилению поля на геометрической особенности,

неустойчивости спектра при перестроении сетки,

искажению распределения поля у щели.

Поэтому в численной модели используется сглаженная функция r_smooth(x), совпадающая с канонической формой вне малой окрестности стыка и обеспечивающая не ниже C¹-гладкости, а лучше C²-гладкости.

Полная 3D-область в цилиндрической записи относительно смещённой оси задаётся так:

Ω_trap = { (x, ρ, φ) : x_in ≤ x ≤ x*, 0 ≤ ρ ≤ r_smooth(x), 0 ≤ φ < 2π }.

Здесь x_in определяется из условия конечного входного торца, то есть из заранее заданного входного радиуса r_in. Это так же принципиально, как и в акустике: без конечного входного торца невозможно корректно поставить задачу возбуждения и нормировать входную мощность.

20.4. Полная Maxwell-постановка

В линейной гармонической постановке электромагнитные поля E(r) и H(r) зависят от времени как exp(−iωt). Тогда они удовлетворяют уравнениям Максвелла:

rot E = iωμ H,
rot H = −iωε E.

Здесь:

E — электрическое поле,

H — магнитное поле,

ε — диэлектрическая проницаемость,

μ — магнитная проницаемость,

ω = 2πf — круговая частота.

Для численного решения обычно удобнее использовать векторное уравнение второго порядка для электрического поля:

rot(μ^−1 rot E) − ω² ε E = 0.

Почему именно эта форма удобна? Потому что она непосредственно встроена в большинство конечно-элементных пакетов, позволяет работать с комплексными собственными частотами и обеспечивает правильную постановку для векторного поля в резонаторной геометрии.

На идеально проводящих стенках накладывается граничное условие

n × E = 0.

Это условие соответствует идеальному электрическому проводнику. В первом электромагнитном тесте именно такая идеализация наиболее уместна: она позволяет максимально чисто отделить геометрический механизм от дополнительных потерь на конечной проводимости металла. Если позже понадобится инженерный вариант, можно добавить конечную проводимость, поверхностный импеданс или диэлектрическое заполнение.

С точки зрения научной структуры монографии именно эта Maxwell-постановка является первой по-настоящему векторной проверкой всей схемы. Ранее мы  подчёркивали, что Maxwell должен доказать не только наличие локализации как таковой, но и возможность построения реальных карт ηcenter, ηout, Φ, θdiv, S. Поэтому настоящая глава должна быть организована именно под эти пять метрик.

20.5. Два режима Maxwell-задачи: закрытый и открытый

Как и в акустике, Maxwell-глава должна распадаться на два расчётных режима.

Закрытый режим

В закрытом режиме кольцевая щель отсутствует. Система рассматривается как замкнутый или условно замкнутый резонатор, и задача решается как eigenmode-задача. Главная цель — найти электромагнитные моды, действительно локализованные в центральной зоне.

Открытый режим

В открытом режиме на правом торце центральной зоны вводится кольцевая апертура. После этого решается либо:

eigenfrequency-задача на комплексные частоты,

либо задача вынужденного возбуждения с последующим построением потока Пойнтинга и дальнего поля.

Это разделение особенно важно в Maxwell-постановке. Если сразу строить только открытую задачу, то будет трудно отличить режим направленного вывода от просто плохой утечки. Закрытый режим сначала показывает, существует ли вообще электромагнитная ловушка. И только затем открытый режим отвечает на вопрос, может ли эта ловушка быть превращена в управляемый излучатель.

Такой подход полностью согласуется с общим методологическим принципом вашей монографии: геометрия удержания и геометрия вывода должны рассматриваться как две сопряжённые, но не тождественные функции одной и той же формы.

20.6. Центральная электромагнитная энергия

В полном Maxwell-режиме нельзя ограничиваться одной компонентой поля. Локализацию нужно измерять по полной запасённой электромагнитной энергии.

Средняя плотность энергии гармонического поля записывается формулой

w_em = (1/4) · ( ε |E|² + μ |H|² ).

Здесь первое слагаемое отвечает за электрическую часть энергии, а второе — за магнитную. Полная энергия в области Ω равна

W_tot = ∫_(Ω) w_em dV.

Центральная фокальная зона, как и в других главах, определяется геометрически:

Ω_c = { (x, ρ, φ) : |x| ≤ a, 0 ≤ ρ ≤ R }.

Тогда энергия в центральной зоне вычисляется как

W_center = ∫_(Ω_c) w_em dV.

Коэффициент центральной локализации записывается формулой

η_center = W_center / W_tot.

В процентах:

η_center(%) = 100 · W_center / W_tot.

Смысл этой величины абсолютно прямой: она показывает, какая доля полной электромагнитной энергии сосредоточена в центральной геометрически выделенной области. В научном плане это и есть Maxwell-аналог критерия C2.

Для первой инженерной сертификации в этой главе следует использовать тот же порог, что и в акустике:

η_center ≥ 70%.

Сохранение этого порога удобно по двум причинам. Во-первых, это позволяет сравнивать EM и AC без смены критерия. Во-вторых, это подчёркивает, что межфизическое сравнение строится не на разных шкалах успешности, а на единой системе требований.

20.7. Спектральные окна Maxwell-локализации

Для каждой найденной электромагнитной моды нужно вычислить безразмерный параметр

ka = 2π f a / c,

где c — скорость света в среде, а f — частота данной моды.

После этого строится набор точек

(ka_n, ηcenter,n).

Спектральным окном Maxwell-локализации называется такой интервал по ka, внутри которого существуют моды, удовлетворяющие порогу высокой центральной концентрации.

Смысл этой процедуры особенно важен. Она должна показать, что даже в полном Maxwell-случае псевдогиперболоид не ведёт себя как “магическая форма на всех частотах”, а, напротив, реализует конечные окна локализации. Это соответствует уже зрелой версии вашей теории, в которой абсолютная всечастотность была заменена строгой масштабной схемой семейства подобных форм. Ваша монография уже прямо настаивает на таком понимании универсальности.

20.8. Кольцевая апертура в электромагнитной постановке

В открытом режиме кольцевая щель формируется в плоскости x = a. Её геометрическое определение должно полностью совпадать с тем, что уже используется в акустической и общей геометрической части:

Γ_slot = { (x, ρ, φ) : x = a, R − ΔR ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ < 2π }.

Ширина щели задаётся только в безразмерной форме

ΔR = α λ.

Здесь:

α — безразмерный параметр апертуры,

λ — рабочая длина волны Maxwell-режима.

Этот пункт принципиален. Ранние несовместимые записи щели как доли геометрического радиуса должны быть окончательно отброшены. Для Maxwell-главы это особенно важно, потому что именно здесь появляется реальное дальнее поле и реальный поток Пойнтинга; если апертура будет задаваться несогласованно с длиной волны, то сравнение режимов и масштабная инвариантность потеряют физический смысл. В вашей монографии закон α = ΔR / λ уже закреплён как канонический язык апертурного согласования.

Для первого параметрического скана можно использовать набор значений

α = 0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05,

а затем при необходимости уплотнить сетку по α вблизи рабочего диапазона.

20.9. Поток Пойнтинга и коэффициент вывода

Главная специфическая особенность Maxwell-главы состоит в том, что здесь критерий вывода должен измеряться через реальный поток Пойнтинга, а не через скалярные аналоги.

Средний по периоду вектор Пойнтинга определяется формулой

S = (1/2) · Re(E × H*).

Поток через кольцевую щель равен

P_slot = ∫_(Γ_slot) S · n dA.

Если возбуждение нормируется через входной порт или входную область Γ_in, то коэффициент полезного вывода записывается так:

η_out = P_slot / P_in.

В процентах:

η_out(%) = 100 · P_slot / P_in.

Эта формула имеет фундаментальное значение для всей межфизической программы. Именно здесь видно, что Maxwell-постановка не просто повторяет акустическую с заменой букв. В акустике поток определяется через давление и скорость частиц, а здесь — через перекрёстное произведение электрического и магнитного полей. Но при этом архитектура метрики остаётся той же: отношение потока через щель к входному потоку. Именно такая унификация и нужна для C7.

Для первичной сертификации, как и в 21а / 21б, можно использовать инженерный порог

η_out ≥ 5%.

Но в Maxwell-случае дополнительно важно отслеживать, не обусловлен ли рост η_out разрушением полевой структуры на щели. Поэтому η_out всегда должен анализироваться вместе с картой распределения поля на апертуре и вместе с добротностью Q.

20.10. Комплексные частоты и добротность

После открытия щели замкнутый электромагнитный резонатор превращается в открытый. Поэтому естественной характеристикой режима становится комплексная собственная частота

ω = ω_r + i ω_i,

где ω_i < 0 соответствует радиационному распаду моды.

Добротность определяется как

Q = Re(ω) / (−2 Im(ω)).

Смысл этой формулы тот же, что и в акустике: Q измеряет компромисс между удержанием и утечкой. Но в Maxwell-режиме она особенно важна, потому что слишком малый Q будет означать, что щель разрушает режим быстрее, чем он успевает сформировать осмысленный направленный выход, а слишком большой Q — что связь с внешней областью слишком слаба.

Практически можно использовать два метода:

direct complex eigenfrequency;

частотный скан и определение Q по ширине резонансного пика.

В базовой научной версии главы предпочтителен первый подход, потому что он лучше согласуется с последующим сопоставлением Maxwell, Helmholtz и Schrödinger.

20.11. Дальнее поле и направленность

После вычисления выходного режима необходимо построить угловое распределение мощности в дальней зоне. Обозначим его через

U(θ, φ).

Тогда направленность характеризуется двумя основными величинами.

1. Угол расходимости

Он может определяться:

либо как полная ширина главного лепестка на уровне половины мощности,

либо как RMS-угол по распределению U(θ, φ).

Если диаграмма близка к одномодовой и гладкой, FWHM обычно наиболее нагляден. Если же поле имеет сложную боковую структуру, RMS-угол даёт более устойчивую характеристику.

2. Подавление обратного излучения

Вводится величина

S_dB = 10 · log10(P_forward / P_backward).

Здесь:

P_forward — мощность в выбранном переднем секторе,

P_backward — мощность в заднем секторе.

Научный смысл этой пары метрик особенно велик именно для Maxwell-главы. Одна из главных слабостей чисто аналитических апертурных формул состоит в том, что они предполагают квазиосесимметричное и квазисинфазное поле на щели. Полный Maxwell-расчёт как раз и должен проверить, возникает ли в реальности такое поле или нет. Если поле на апертуре оказывается сильно неоднородным по фазе и поляризации, то хорошая теоретическая геометрия ещё не гарантирует хорошую направленность. Ваша монография уже прямо указывает, что именно это различие между “геометрическим потенциалом” и “реальной Maxwell-структурой поля” делает электродинамический тест особенно важным.

20.12. Карта поля на самой щели

Для Maxwell-главы необходимо добавить ещё один обязательный диагностический объект, которого не было в такой степени в акустической части: карту поля непосредственно на кольцевой апертуре.

Нужно отдельно строить:

модуль |E| на щели,

модуль |H| на щели,

фазу одной или нескольких главных компонент поля,

распределение S · n по поверхности апертуры.

Почему это принципиально? Потому что закон направленности сам по себе реализуется не только за счёт геометрии кольца, но и за счёт распределения поля на этом кольце. Если поле на апертуре оказывается квазиоднородным и квазисинфазным, геометрическая формула направленного вывода получает реальную Maxwell-поддержку. Если же поле оказывается сильно неоднородным, то именно здесь выявится ограничение теории, и это будет честным научным результатом.

С точки зрения методологии эта часть главы чрезвычайно важна: она показывает, что Maxwell-верификация должна проверять не только “что выходит”, но и почему именно это выходит.

20.13. Обязательная проверка поляризации и модового семейства

Именно здесь Maxwell-глава приобретает свою векторную специфику. Чтобы результат был научно устойчивым, недостаточно найти один удачный режим. Нужно проверить, насколько он зависит от структуры возбуждения.

Минимальный набор обязательных Maxwell-тестов должен включать:

Тест 1. Смена поляризации возбуждения

Нужно проверить, сохраняется ли локализация и выход при изменении поляризации входного поля.

Тест 2. Смена модового семейства

Следует отдельно анализировать TE-, TM- и гибридные режимы.

Тест 3. Небольшая деформация апертуры

Нужно проверить, насколько поле на щели и диаграмма направленности чувствительны к малой азимутальной неоднородности.

Тест 4. Конечная проводимость стенок

Хотя базовая глава строится на идеальном проводнике, полезно дополнительно проверить, как качественно изменится режим при введении конечной проводимости или поверхностного импеданса.

Эти тесты выполняют в Maxwell-главе ту же роль, что неосесимметричные акустические тесты в 21б: они показывают, не является ли найденный режим слишком хрупким или слишком завязанным на идеально симметричную постановку.

20.14. Интегральная рабочая область U_EM

Итогом главы должна стать не только совокупность отдельных режимов, а построение рабочей области электромагнитной постановки:

U_EM = множество значений (β, ρ, α, ka), для которых одновременно выполнены:

ηcenter ≥ η_min,

ηout ≥ ηout,min,

θdiv ≤ θ_max,

S_dB ≥ S_min,

Q находится в допустимом диапазоне.

Для первого инженерного уровня можно использовать те же базовые пороги, что и в акустической части:

η_min = 70%,
ηout,min = 5%,
θ_max = 30°,
S_min = 10–15 dB.

Смысл этого определения состоит в том, что Maxwell-глава должна закончиться уже не “одним красивым резонансом”, а именно картой осмысленной электромагнитной работоспособности. В монографии это уже прямо закреплено: рабочие области U_EM, U_AC и U_Q являются главными объектами межфизического сравнения в C7.

20.15. Что будет считаться успешным закрытием Maxwell-протокола

С научной точки зрения настоящая глава считается успешно закрытой, если выполнены четыре условия.

Первое условие

В закрытом режиме найдены Maxwell-моды, для которых ηcenter ≥ 70%.

Второе условие

В открытом режиме существует диапазон α, где одновременно выполняются ηcenter ≥ 70% и ηout ≥ 5%.

Третье условие

Для части этих режимов наблюдается осмысленная направленность, то есть θdiv < 30°, а S_dB остаётся в инженерно приемлемом диапазоне.

Четвёртое условие

Режим не исчезает полностью при смене поляризации или при малом нарушении идеальной симметрии апертуры.

Если все эти условия выполнены, Maxwell-протокол можно считать первым полноценным межфизическим подтверждением того, что геометрическая схема псевдогиперболоида переживает переход к полной векторной волновой системе.

20.16. Итог главы

Настоящая глава вводит первый полный численный стандарт электромагнитной верификации псевдогиперболоида второго порядка. Её особое значение в структуре монографии состоит в том, что она поднимает теорию на первый по-настоящему межфизический уровень: здесь уже недостаточно красивой геометрии или скалярной редукции, здесь требуется реальная векторная Maxwell-система с поляризацией, потоком Пойнтинга, дальним полем и картой режима на самой щели.

В рамках этой главы впервые в единой Maxwell-постановке должны быть построены:

полная 3D геометрия Ω_trap,

коэффициент центральной локализации ηcenter,

коэффициент вывода ηout,

добротность Q,

диаграмма направленности θdiv,

подавление обратного излучения S_dB,

и рабочая область U_EM как итоговая карта электромагнитной работоспособности.

Мы делаем Maxwell-главу не просто теоретической декларацией, а воспроизводимой численной программой, которая затем может быть честно сопоставлена с U_AC и U_Q в критерии C7.