22.1. Назначение главы

Если выше была построена осесимметричная волновая верификация в постановке Helmholtz, то теперь задача усложняется до полного трёхмерного режима. Это необходимо по принципиальной причине: осесимметричная модель, при всей своей строгости и полезности, всё же остаётся редуцированной. Она подавляет азимутальные неоднородности, исключает неосевые сценарии возбуждения и не позволяет проверить, не является ли наблюдаемый режим артефактом идеальной осевой симметрии. Следовательно, полная 3D акустическая глава нужна не для повторения уже сделанного, а для снятия именно этого ограничения.

С научной точки зрения переход от 2D axisymmetric Helmholtz к полному 3D акустическому режиму выполняет сразу три функции.

Во-первых, он проверяет, сохраняется ли центральная ловушка после снятия редукции по азимутальному углу.

Во-вторых, он показывает, не разрушается ли управляемый вывод при появлении пространственных неосесимметричных мод.

В-третьих, он создаёт уже настоящий акустический блок для критерия C7, где рабочая область должна сравниваться не с упрощённой моделью, а с полной физической постановкой. В самой монографии эта необходимость уже прямо зафиксирована: полная межфизическая универсальность пока не может быть заявлена именно потому, что отдельные полные 3D-верификации для Helmholtz, Maxwell и Schrödinger ещё должны быть выполнены.

Следовательно, настоящая глава должна рассматриваться как первая полная пространственная акустическая проверка базовой схемы Геометрической волновой инженерии.

22.2. О полной 3D-верификации акустического режима псевдогиперболоида второго порядка

Протокол полноволновой верификации в осесимметричной постановке Helmholtz

 уже задаёт акустику как первый практически доступный физический полигон.

Это даёт первый строгий численный протокол для осесимметричного случая.

Следующий шаг должен состоять не в мгновенном переходе к Maxwell, а в снятии геометрической редукции внутри той же самой акустической физики.

Это методологически очень важно. Если бы после протокола полноволновой верификации в осесимметричной постановке Helmholtz  сразу перейти к электромагнитной постановке, то осталось бы неясным, что именно отвечает за расхождение результатов: новая физика или просто снятие осевой симметрии. Сначала мы снимаем упрощение геометрической постановки при той же физике. Затем уже можно переходить к Maxwell как к смене самой физической теории.

Именно такой ступенчатый стиль особенно хорошо соответствует общей архитектуре программы C1–C8, где каждый следующий шаг должен усложнять только один принципиальный элемент, а не сразу несколько.

22.3. Базовая геометрия полной 3D-задачи

Мы сохраняем тот же набор базовых геометрических безразмерных параметров:

a = 0.05,
b = 0.5,
R = 20.

Геометрическая полудлина псевдогиперболоида определяется формулой

x* = a · sqrt(1 + (R / b)^2).

После подстановки чисел получаем

x* = 0.05 · sqrt(1 + 40^2) ≈ 2.0006249024.

Безразмерные параметры формы принимают вид

β = b / a = 10,
ρ = R / a = 400.

Сохранение именно этих чисел принципиально необходимо. В ваших приложениях и в каноническом списке формул именно набор β, ρ, α, ka уже выделен как основной безразмерный язык всей теории. Поэтому никакая полная 3D-глава не должна вводить новую локальную параметризацию, несовместимую с уже принятым каркасом.

Внутренняя граница области по-прежнему задаётся сглаженным радиусом r_smooth(x), который совпадает с канонической функцией

r(x) = R, при |x| ≤ a,

r(x) = R − b · sqrt((x / a)^2 − 1), при a < |x| ≤ x*,

вне малой области сглаживания около x = ±a.

Полная 3D-область закрытого режима имеет вид:

Ω_trap = множество всех точек (x, y, z), для которых
x принадлежит отрезку [x_in, x*],
а расстояние до смещённой оси вращения не превышает r_smooth(x).

Если ввести цилиндрическую координату относительно смещённой оси,

ρ = sqrt((y − R)^2 + z^2),

то область можно записать компактно:

Ω_trap = { (x, ρ, φ) : x_in ≤ x ≤ x*, 0 ≤ ρ ≤ r_smooth(x), 0 ≤ φ < 2π }.

Здесь:

x_in — положение входного усечения,

ρ — локальная радиальная координата относительно смещённой оси,

φ — азимутальный угол.

Смысл этой записи в том, что полная трёхмерная акустическая задача строится не на новой геометрии, а на той же самой канонической области Ω_trap, которая уже входит в базовую нотацию монографии. Это особенно важно для C7: сравниваться должны не разные устройства, а одна и та же геометрическая схема в разных физических теориях.

22.4. Почему в 3D обязательно нужно сохранять сглаженный профиль

Этот пункт требует отдельного объяснения.

В осесимметричном расчёте негладкий стык в точках x = ±a уже нежелателен. Но в полном 3D он становится ещё опаснее. Причина в том, что негладкая геометрия в конечно-элементной модели ведёт сразу к трём типам искажений:

локальному сгущению сетки вблизи геометрической сингулярности;

искусственному появлению высокочастотных отражений на резком стыке;

повышенной чувствительности спектра к малым изменениям шага сетки.

Поэтому в полном 3D расчёте сглаживание — это уже не вопрос эстетики, а обязательное условие воспроизводимости. Именно такой смысл в вашей монографии уже имеет связка между сглаживанием в ранних главах и будущей чувствительностью в C8: область стыка около x = ±a прямо названа одной из самых чувствительных зон всей конструкции.

Практически это означает следующее. В модели должна использоваться одна и та же сглаженная геометрия для:

закрытого 3D расчёта,

открытого 3D расчёта,

будущих карт чувствительности.

Нельзя сравнивать режимы на разных вариантах профиля, иначе различие результатов будет невозможно однозначно интерпретировать.

22.5. Волновая модель полного 3D акустического режима

В полной трёхмерной акустической постановке гармоническое давление p(x, y, z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

Δp + k^2 p = 0.

Здесь:

Δ — трёхмерный оператор Лапласа,

p — комплексная амплитуда давления,

k = 2πf / c_s — волновое число,

f — частота,

c_s — скорость звука в среде.

На жёстких стенках накладывается граничное условие

∂n p = 0.

Его физический смысл тот же, что и в главе 21а: нормальная скорость среды на стенке равна нулю, поэтому стенка выступает как идеально жёсткая отражающая граница.

Если в дальнейших инженерных версиях вы захотите учесть потери, то это условие можно заменить импедансным:

∂n p + i k Z^(-1) p = 0,

где Z — приведённый акустический импеданс границы.

Но в базовой 3D-главе лучше сохранять жёсткие стенки, поскольку здесь задача состоит прежде всего в проверке геометрического механизма, а не в моделировании конкретного материала стенок.

Почему эта формула важна для монографии? Потому что она впервые вводит полный 3D Helmholtz как отдельную физическую программу, а именно это и названо в ваших материалах недостающим шагом к честному межфизическому статусу теории. Пока такая глава отсутствует, акустический блок C7 остаётся неполным.

22.6. Две постановки внутри 3D акустической главы

Полная 3D акустическая верификация должна распадаться на два режима.

Закрытый режим

В закрытом режиме щель отсутствует, а резонатор рассматривается как геометрическая ловушка с входным возбуждением или как замкнутая модовая область. Главная задача этого режима — найти связанные или квазисвязанные моды с высокой центральной локализацией.

Открытый режим

В открытом режиме в правой торцевой плоскости x = a вводится кольцевая щель Γ_slot. Тогда возникает уже не просто задача о локализованной моде, а задача о компромиссе между удержанием и выводом. Именно здесь измеряются η_out, Q, θ_div и S.

Эта двухрежимная логика полностью продолжает архитектуру вашей теории: геометрия удержания и геометрия вывода должны быть разделены, но принадлежать одной и той же форме. В монографии именно это разделение уже выделено как один из центральных методологических принципов ГВИ.

22.7. Метрика полной акустической энергии

В осесимметричном случае для первичной локализации было достаточно использовать интеграл от |p|² с весом ρ. В полном 3D режиме теперь нужно перейти к уже полностью физической энергетической форме.

Средняя плотность акустической энергии гармонического поля записывается как

w_ac = |p|² / (4 ρ0 c_s²) + ρ0 |v|² / 4,

где:

ρ0 — плотность среды,

c_s — скорость звука,

v — комплексная амплитуда скорости частиц.

Сама скорость частиц выражается через давление:

v = − (1 / (i ω ρ0)) · ∇p.

Тогда полная запасённая акустическая энергия в области Ω равна

W_tot = ∫_(Ω) w_ac dV.

Почему в этой главе полезно перейти именно к такой формуле, а не оставаться на |p|²? Потому что в полном 3D режиме уже появляется реальный вопрос о сравнении запасённой энергии и потока через щель. А для этого правильнее использовать именно физическую энергию, а не только прокси-норму давления. Это делает 3D-главу более зрелой, чем 21а: 21а ещё могла использовать энергетически близкую, но сокращённую метрику, а здесь нужно уже перейти к полной акустической энергии.

22.8. Центральная локализация в полном 3D

Центральная зона задаётся, как и раньше, геометрически:

Ω_c = { (x, ρ, φ) : |x| ≤ a, 0 ≤ ρ ≤ R }.

Если вы хотите отслеживать не всю центральную зону, а именно тонкое фокальное кольцо, можно дополнительно ввести толщину h_f и определить область

Ω_ring = { (x, ρ, φ) : |x| ≤ a, R − h_f ≤ ρ ≤ R }.

Но для основной линии главы сначала лучше использовать именно Ω_c, поскольку эта область уже закреплена как каноническая центральная зона в вашей системе обозначений.

Тогда коэффициент центральной локализации в 3D записывается так:

η_center = W_center / W_tot,

где

W_center = ∫_(Ω_c) w_ac dV.

В процентах:

η_center(%) = 100 · W_center / W_tot.

Смысл этой формулы тот же, что и раньше, но теперь она уже полностью трёхмерна и энергетически корректна. Она показывает не просто “насколько велика амплитуда в центре”, а какая доля полной акустической энергии реально удерживается в центральной фокальной области.

Для практической сертификации 3D режима сохраняется тот же рабочий порог:

η_center ≥ 70%.

Это удобно и методологически полезно: тогда результаты 21а и 21б можно прямо сопоставлять без перенастройки критерия C2.

22.9. Спектральные окна в полном 3D режиме

Как и в протоколе полноволновой верификации в осесимметричной постановке Helmholtz, каждая найденная мода должна быть отображена в безразмерную переменную

ka = 2π f a / c_s.

После этого строится набор точек

(ka_n, η_center,n).

Спектральным окном локализации в полном 3D режиме называется такой интервал по ka, внутри которого существуют моды, удовлетворяющие условию η_center ≥ 70%.

С научной точки зрения этот шаг нужен для двух целей.

Первая цель — проверить, сохраняется ли сама идея конечных спектральных окон после снятия осевой редукции.

Вторая цель — определить, насколько сильно 3D спектральная карта деформирует картину, полученную в главе 21а. Если 3D карта качественно сохраняет ту же структуру локализованных окон, это станет очень сильным аргументом в пользу того, что осесимметричная модель уловила реальное геометрическое ядро эффекта, а не артефакт редукции.

22.10. Открытый режим и полная 3D апертура

В полном 3D режиме кольцевая апертура вводится на правой торцевой плоскости x = a.

Её геометрическое определение остаётся тем же:

Γ_slot = { (x, ρ, φ) : x = a, R − ΔR ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ < 2π }.

Ширина щели должна определяться по тому же безразмерному закону, что и в осесимметричной главе:

ΔR = α λ.

Это особенно важно сохранить без изменений. Если в 21б щель будет задаваться по другой формуле, например как доля геометрического радиуса R, то 21а и 21б окажутся несовместимыми в безразмерной постановке. А это подорвёт и последующее межфизическое сравнение. Именно потому в ваших приложениях α = ΔR / λ уже выделен как канонический параметр апертуры для всей теории.

Для первого скана можно использовать тот же набор значений:

α = 0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05.

Но теперь, в отличие от 21а, желательно выполнять не только грубый скан по α, но и локальный частотный подскан вблизи выбранной 3D моды. Причина в том, что после открытия щели резонанс может смещаться, а сама мода превращается в квазимоду. Это делает 3D главу строже по сравнению с осесимметричной.

22.11. Поток через щель и коэффициент вывода

Средний акустический поток энергии задаётся вектором интенсивности

I = (1/2) · Re(p · v*).

Тогда поток через щель равен

P_slot = ∫_(Γ_slot) I · n dA.

Если возбуждение задаётся через входной торец Γ_in, то коэффициент полезного вывода определяется как

η_out = P_slot / P_in.

В процентах:

η_out(%) = 100 · P_slot / P_in.

Смысл этой формулы в полном 3D режиме становится ещё более важным, чем в 21а. Теперь она уже не просто метрика “хорошо ли работает щель”, а прямой количественный критерий совместимости геометрической ловушки с реальным пространственным выходом энергии.

Для рабочей сертификации здесь также разумно использовать порог

η_out ≥ 5%.

Но в полном 3D режиме нужно обязательно смотреть не только на само значение η_out, но и на то, за счёт чего оно достигается:

за счёт чистого направленного выхода,

или за счёт общего разрушения удержания.

Именно поэтому η_out в 3D всегда должна анализироваться вместе с η_center и Q.

22.12. Комплексные частоты и добротность

В открытом режиме 3D акустическая система перестаёт быть строго замкнутым резонатором. Поэтому для неё естественно вводить комплексную собственную частоту

ω = ω_r + i ω_i,

где ω_i < 0 соответствует распаду режима.

Тогда добротность определяется формулой

Q = Re(ω) / (−2 Im(ω)).

Почему именно эта величина нужна в этой главе? Потому что она измеряет компромисс между удержанием энергии и её утечкой наружу. Если Q слишком велик, значит режим почти не связан с внешней областью и вывод слишком слаб. Если Q слишком мал, значит центральная ловушка разрушена и энергия уходит слишком быстро. Именно в 3D режиме эта логика становится особенно содержательной, поскольку здесь щель уже связывает внутреннюю ловушку с реальным пространственным внешним полем.

С практической точки зрения можно использовать два эквивалентных способа:

считать complex eigenfrequency;

либо делать частотный скан и определять Q по ширине резонансного пика.

Но в чистовом научном тексте правильнее первым ставить именно комплексную собственную частоту, поскольку она лучше вписывается в общую архитектуру межфизических глав и затем естественно сопоставляется с Maxwell и Schrödinger.

22.13. Направленность полного 3D выхода

После вычисления выходного поля необходимо построить угловое распределение излучаемой мощности

U(θ, φ).

Из него определяются две основные характеристики.

1. Угол расходимости

Он может быть определён:

либо как полная ширина главного лепестка на половине мощности,

либо как RMS-угол по распределению U(θ, φ).

Практически наиболее нагляден первый вариант, но для вычислительной устойчивости второй вариант часто удобнее.

2. Подавление обратного излучения

Вводится величина

S_dB = 10 · log10(P_forward / P_backward),

где:

P_forward — мощность в переднем угловом секторе,

P_backward — мощность в заднем секторе.

Эти две величины должны анализироваться совместно. Узкий главный лепесток сам по себе ещё не гарантирует хорошего режима, если одновременно существует сильная паразитическая утечка назад или в боковые лепестки.

В самой монографии S уже выделен как одна из основных функциональных метрик, наряду с η_center, P_slot, η_out, Φ и θ_div. Поэтому настоящая глава должна впервые использовать весь этот набор уже в полном 3D акустическом виде.

22.14. Обязательная проверка неосесимметричности

Чтобы доказать, что режим не является чистым артефактом осевой симметрии, необходимо провести хотя бы минимальный набор специальных 3D тестов.

Тест 1. Смещённый источник

Источник возбуждения должен быть смещён относительно оси на малую величину.

Тест 2. Неосевой профиль возбуждения

Нужно проверить, как изменяется режим при неидеально осесимметричном входном поле.

Тест 3. Азимутальная деформация щели

Следует внести малую неоднородность в кольцевую апертуру.

Тест 4. Случайная малая деформация стенки

Нужно проверить устойчивость выбранной 3D моды к малой неровности профиля.

Смысл этих тестов в том, что они уже готовят мост к критерию C8. Но даже внутри самой акустической 3D главы они крайне важны: без них нельзя утверждать, что найденная локализация и направленность действительно принадлежат самой геометрической схеме, а не только идеально симметричной постановке.

22.15. Интегральная рабочая область полной 3D акустики

Итогом этой главы должна быть уже не просто таблица отдельных режимов, а построение полной рабочей области акустической 3D постановки:

U_AC = множество точек (β, ρ, α, ka), где одновременно выполнены критерии:

η_center ≥ η_min,

η_out ≥ η_out,min,

θ_div ≤ θ_max,

S_dB ≥ S_min,

Q находится в допустимом рабочем диапазоне.

При первом приближении можно использовать те же инженерные пороги, что и в 21а:

η_min = 70%,
η_out,min = 5%,
θ_max = 30°,
S_min = 10–15 dB.

Но теперь к ним добавляется ещё и диапазон добротности. Это делает 21б уже существенно ближе к полноценной инженерной карте режима.

С точки зрения общей программы монографии именно U_AC из этой главы должно в дальнейшем использоваться в межфизическом сравнении с U_EM и U_Q. В приложениях и финальных разделах вашей монографии именно рабочие области U_EM, U_AC и U_Q уже выделены как базовый язык C7.

22.16. Что будет считаться успешным закрытием этой главы

Должно считаться успешно завершённым, если выполнены четыре условия.

Первое условие

В закрытом 3D режиме найдены моды, для которых η_center ≥ 70%.

Второе условие

В открытом режиме найден диапазон α, в котором одновременно выполняются η_center ≥ 70% и η_out ≥ 5%.

Третье условие

Для части этих режимов выполняется условие θ_div < 30° и подавление обратного излучения остаётся не ниже инженерно допустимого уровня.

Четвёртое условие

При малой неосесимметричной деформации возбуждения или апертуры режим не исчезает скачком.

Если все эти условия выполняются, то можно утверждать, что акустический блок монографии поднят с уровня осесимметричной редукции до уровня полноценной пространственной 3D-проверки.

22.17. Итог главы

Настоящая глава вводит первый полный 3D стандарт акустической верификации псевдогиперболоида второго порядка. Её значение состоит в том, что она снимает главное ограничение протокола полноволновой верификации в осесимметричной постановке Helmholtz  — идеальную осевую симметрию,  и переводит акустическую часть Геометрической волновой инженерии на уровень реальной пространственной волновой задачи. В рамках этой главы впервые вместе рассматриваются:

полная 3D геометрия Ω_trap,

физическая акустическая энергия,

коэффициент центральной локализации η_center,

коэффициент вывода η_out,

добротность Q,

пространственная направленность θ_div,

подавление обратного излучения S_dB,

и рабочая область U_AC как итоговая сводка акустического режима.

Завершаем акустическую часть не на уровне “первого теста”, а на уровне полноценной 3D физической программы, которую затем уже можно честно сопоставлять с Maxwell и Schrödinger в критерии C7.