23.1. Назначение главы

Настоящая глава является первым прямым мостом между общей теорией Геометрической волновой инженерии и её воспроизводимой численной проверкой. Если акустическая постановка уже была введена как второй обязательный физический тест и как первый практически реализуемый волновой полигон, то здесь эта идея переводится в форму строгого вычислительного протокола, пригодного для конечной элементной реализации в COMSOL, FreeFEM, FEniCS или эквивалентной среде. Иначе говоря, эта глава отвечает не на вопрос “почему Helmholtz важен”, а на вопрос “как именно его нужно считать, чтобы результат имел научную силу”.

С методологической точки зрения именно такая глава необходима для монографии. Без неё Helmholtz-постановка остаётся в значительной степени декларативной: мы понимаем физический смысл акустического теста, но ещё не получаем строгого численного рецепта, который позволил бы воспроизвести центральную локализацию, спектральные окна, управляемый вывод и направленность. В наших поздних материалах такой шаг уже фактически намечен: осесимметричная модель прямо выделяется как оптимальный промежуточный уровень между общей аналитикой и полными 3D-программами Maxwell / Helmholtz / Schrödinger. Это первый воспроизводимый численный стандарт всей схемы C2–C5.

Главная цель этой главы состоит в том, чтобы преобразовать абстрактные критерии:

центральной ловушки,

спектральных окон,

управляемого вывода,

направленного режима

в набор конкретных расчётных действий и количественных метрик. Тем самым теория переходит из стадии качественного и редуцированного описания в стадию контролируемой численной верификации.

23.2. Почему осесимметричный Helmholtz выбран первым численным уровнем

Среди всех возможных физических постановок именно осесимметричный Helmholtz должен быть первым численным шагом по трём причинам.

Во-первых, он сохраняет реальную волновую природу задачи. В отличие от лучевой трассировки, здесь уже появляются собственные моды, спектральные окна, энергетические интегралы, потоки через апертуру и дальнее поле. Это означает, что центральные критерии C2–C5 проверяются уже не на кинематическом, а на полном волновом уровне.

Во-вторых, эта постановка вычислительно значительно дешевле полной 3D Maxwell- или 3D Schrödinger-программы. Именно поэтому она особенно ценна как первый воспроизводимый тест: она достаточно богата физически и в то же время достаточно прозрачна вычислительно.

В-третьих, сама логика наших материалов указывает на этот выбор как на наиболее разумный компромисс между строгостью и реализуемостью. Мы прямо заявляем, что 2D axisymmetric FEM способен снять очень большую часть остаточной неопределённости, не подменяя собой полный межфизический результат. Иначе говоря, осесимметричный Helmholtz не закрывает C7 окончательно, но он должен стать первым местом, где геометрическая теория получает реальную волновую численную опору.

Мы не претендуем на роль “окончательной” акустической проверки. Она выполняет более точную функцию: задаёт эталонный протокол первого волнового подтверждения базовых геометрических утверждений ГВИ.

23.3. Геометрическая область расчёта

Мы используем безразмерные геометрические параметры, уже закреплённые в нашей монографии:

a = 0.05,
b = 0.5,
R = 20.

Геометрическая полудлина псевдогиперболоида равна

x* = a · sqrt(1 + (R / b)^2).

Подстановка чисел даёт

x* = 0.05 · sqrt(1 + 40^2) ≈ 2.0006249024.

Безразмерные геометрические параметры поэтому имеют значения

β = b / a = 10,
ρ = R / a = 400.

Именно эти числа должны использоваться во всех первых акустических тестах, если мы хотим сохранить согласованность с уже принятой геометрической базой монографии.

Профиль радиуса в меридиональной плоскости задаётся кусочной функцией

r(x) = R, при |x| ≤ a,

r(x) = R − b · sqrt((x / a)^2 − 1), при a < |x| ≤ x*.

Однако в самой вычислительной постановке следует использовать не строго кусочный профиль, а его сглаженную версию. Вблизи точек x = ±a исходная функция имеет бесконечный наклон, что в конечно-элементной модели создаёт искусственную геометрическую сингулярность и может породить ложные отражения. Поэтому в расчётах необходимо использовать малую переходную область ширины 2δ и заменить острый стык гладкой функцией r_smooth(x), обеспечивающей как минимум C¹-гладкость, а лучше C²-гладкость профиля. Такая рекомендация прямо согласуется с нашими рабочими материалами, где сглаженный профиль уже рассматривается как правильная инженерная форма для FEM-модели.

В результате рабочая область в осесимметричной меридиональной плоскости записывается так:

Ω₂D = { (x, ρ) : x_in ≤ x ≤ x*, 0 ≤ ρ ≤ r(x) }.

Здесь x_in — координата входного усечения левой воронки. Она определяется из условия, что на левом торце задаётся конечный входной радиус r_in:

r(x_in) = r_in.

Это усечение принципиально необходимо. Без него система замыкается в геометрической точке, а значит нельзя строго поставить задачу о входящем возбуждении и входной мощности. Именно такое замечание уже присутствует в ваших аналитических материалах: физически содержательная задача о накоплении требует входного горлышка, а не идеального точечного полюса.

23.4. Волновая модель

В настоящей главе рассматривается гармоническая акустика в осесимметричной постановке. Основной неизвестной величиной является комплексная амплитуда акустического давления p(x, ρ), для которой выполняется уравнение Гельмгольца

∂²p/∂x² + ∂²p/∂ρ² + (1/ρ)·∂p/∂ρ + k²p = 0,

где

k = 2πf / c_s.

Здесь:

f — частота,

c_s — скорость звука в среде,

k — волновое число акустической волны.

Почему именно эта формула используется? Потому что в осесимметричной постановке поле не зависит от азимутального угла, и трёхмерное уравнение сводится к двумерной меридиональной задаче с дополнительным членом (1/ρ)·∂p/∂ρ. Именно этот член отвечает за цилиндрическую геометрию и делает постановку не просто двумерной плоской задачей, а именно осесимметричным сечением трёхмерной акустики. Такой вид уравнения уже прямо указан в ваших рабочих формулах для первой FEM-реализации.

На жёстких стенках используется граничное условие

∂n p = 0.

Физический смысл этого условия состоит в том, что нормальная скорость частиц на жёсткой стенке равна нулю: стенка не пропускает среду и не поглощает акустическую энергию. Именно поэтому данное условие является наилучшей первой моделью, если задача состоит в том, чтобы выделить собственно геометрический вклад без добавления потерь на материале.

На оси симметрии ρ = 0 накладывается условие регулярности

∂p/∂ρ = 0.

Это условие устраняет ложную сингулярность на оси и соответствует физически гладкому осесимметричному полю.

В закрытом режиме никаких radiation conditions применять не следует: задача должна решаться как собственная модовая задача внутри замкнутого или условно замкнутого резонатора. В открытом режиме, напротив, потребуется специальная апертурная постановка или связка с внешней областью, о чём будет сказано ниже. Такая логика также прямо присутствует в ваших инженерных правилах построения акустической FEM-модели.

23.5. Что именно проверяется

Осесимметричный протокол должен проверять не “всё сразу”, а строго определённый набор функциональных свойств.

1. Центральная ловушка — критерий C2

Первое, что нужно проверить, — существует ли мода, для которой значительная доля энергии сосредоточена в центральной зоне |x| ≤ a. Это и есть прямой тест центральной фокальной ловушки.

2. Спектральные окна — критерий C3

Второе — проверить, что локализация возникает не на любой частоте, а только в конечных диапазонах безразмерного параметра ka. Это переводит качественную идею “ловушки” в язык спектральной селективности.

3. Управляемый вывод — критерий C4

Третье — проверить, что после открытия кольцевой щели система не просто начинает терять энергию, а действительно допускает контролируемый канал вывода наружу.

4. Направленность — критерий C5

Четвёртое — проверить, что выходное поле через кольцевую апертуру может формировать предпочтительный угловой режим, а не только хаотическую утечку.

Именно эти четыре пункта делают данную главу первой реальной волновой проверкой программы C2–C5. В ваших материалах такой смысл осесимметричного Helmholtz-теста уже обозначен достаточно жёстко.

23.6. Метрика центральной локализации

В осесимметричной постановке естественной мерой энергии служит интеграл с якобианом ρ. Поэтому полная модовая энергия в меридиональном описании определяется выражением

E_tot = ∫∫_(Ω₂D) |p(x, ρ)|² · ρ dρ dx.

Почему в формуле стоит множитель ρ? Потому что при переходе от трёхмерного цилиндрического объёма к осесимметричному сечению элемент объёма имеет вид

dV = 2πρ dρ dx.

Поскольку общий множитель 2π сокращается в отношении энергий, для расчёта коэффициента локализации достаточно использовать именно вес ρ. Это важный технический момент: без него численная оценка локализации была бы физически неверной, потому что двумерное сечение не эквивалентно плоскому случаю.

Энергия в центральной зоне определяется как

E_center = ∫∫_(|x|≤a, 0≤ρ≤R) |p(x, ρ)|² · ρ dρ dx.

Тогда коэффициент центральной локализации вводится формулой

η_center = E_center / E_tot.

Если выражать его в процентах, следует писать

η_center(%) = 100 · E_center / E_tot.

Смысл этой величины совершенно прямой: она показывает, какая доля акустической моды действительно удерживается в центральной геометрически выделенной области. В ваших рабочих формулах эта метрика уже выделена как базовая для первого FEM-прогона и для построения спектральной карты.

Для инженерного прохождения критерия C2 в этой главе рекомендуется использовать порог

η_center ≥ 0.70,

то есть не менее 70% модовой энергии должно находиться в центральной зоне.

23.7. Спектральное окно локализации

Вторая обязательная метрика связана уже не с одной выбранной модой, а с целой последовательностью мод. Для каждой собственной моды нужно вычислить безразмерный параметр

ka = 2π f a / c_s.

Эта величина показывает, насколько длина волны соотнесена с полувысотой центральной зоны. Именно она является естественной спектральной координатой в безразмерной схеме ГВИ. Важно подчеркнуть: здесь нет обычной “дисперсионной кривой” в смысле периодической среды. Вместо этого имеется дискретный набор мод, и для каждой моды вычисляется пара чисел

(ka_n, η_center,n).

Спектральным окном локализации называется такой интервал по ka, внутри которого существуют моды, удовлетворяющие условию высокой центральной локализации. В практическом отчёте это удобно изображать в виде спектральной карты: по горизонтали откладывается ka, по вертикали — η_center, а моды выше порога 70% считаются принадлежащими рабочему спектральному окну.

С научной точки зрения эта процедура особенно важна. Она показывает, что псевдогиперболоид не является “всечастотной ловушкой” в грубом смысле. Напротив, он реализует геометрическую локализацию только в конечных спектральных диапазонах. Именно такой переход — от лозунга об абсолютной универсальности к строгой селективной картине — соответствует уже зрелой версии вашей теории.

23.8. Закрытый режим: процедура расчёта

Расчёт закрытого режима должен выполняться следующим образом.

Шаг 1. Построить сглаженную осесимметричную геометрию по профилю r(x).

Шаг 2. Решить eigenfrequency-задачу для первых 20–50 мод.

Шаг 3. Исключить тривиальные или нефизические решения, если они появляются по особенностям численной постановки.

Шаг 4. Для каждой моды вычислить:

частоту f_n,

безразмерный параметр ka_n,

коэффициент локализации η_center,n.

Шаг 5. Выбрать моду или группу мод с максимальным η_center.

Шаг 6. Для этих мод построить карты распределения |p(x, ρ)| в меридиональной плоскости.

Эта процедура не просто технический алгоритм. Она задаёт строгий ответ на вопрос, существует ли вообще центральная геометрическая ловушка в полном волновом смысле. Пока такой расчёт не выполнен, критерий C2 в акустике остаётся только аналитически мотивированным. После его выполнения он переходит в численно подтверждённый факт внутри одной реальной волновой теории.

23.9. Открытый режим и геометрия кольцевой щели

После того как в закрытом режиме выбрана базовая локализованная мода, можно переходить к открытому режиму. В этой постановке геометрия резонатора не меняется в целом; меняется только структура правой торцевой границы в плоскости x = a.

Щель задаётся как кольцевая апертура

Γ_slot = { (x, ρ) : x = a, R − ΔR ≤ ρ ≤ R }.

Ширина щели должна задаваться не через геометрический радиус R, а через длину волны:

ΔR = α λ.

Здесь

λ = 2π / k — рабочая длина волны режима,

α — безразмерный параметр апертурного согласования.

Это один из ключевых моментов всей главы. Ранние конфликтующие записи вида “щель как доля R” должны быть отброшены. Для ГВИ принципиальна именно безразмерная апертурная запись через отношение щели к длине волны. В ваших же материалах эта запись уже зафиксирована как правильная зрелая нотация и как часть безразмерной схемы C6.

В качестве первого инженерного скана удобно брать, например,

α = 0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05.

Именно такой набор позволяет проверить компромисс между удержанием энергии в центре и её выводом через апертуру.

23.10. Коэффициент полезного вывода

Для открытого режима уже недостаточно считать только модовую локализацию. Необходимо измерить, какая доля входной мощности реально выходит через кольцевую щель.

В акустике средний поток энергии задаётся вектором интенсивности

I = (1/2) · Re(p · v*),

где

p — комплексная амплитуда давления,

v — комплексная амплитуда скорости частиц,

звёздочка означает комплексное сопряжение.

Скорость частиц выражается через давление формулой

v = − (1 / (iωρ)) · ∇p.

Тогда поток через кольцевую щель определяется интегралом

P_slot = ∫_(Γ_slot) I · n dA.

Если возбуждение задаётся через входной торец, то коэффициент полезного вывода записывается как

η_out = P_slot / P_in.

В процентах:

η_out(%) = 100 · P_slot / P_in.

Почему именно так? Потому что делить поток через щель на “полную мощность в резонаторе” физически неправильно: это были бы величины разной размерности. Корректное отношение должно сравнивать поток выхода именно с входной мощностью или, в резонансной постановке, с полной мощностью потерь. Поэтому данная формула является принципиально более строгой, чем ранние черновые варианты. Она согласуется и с общей межфизической архитектурой ваших критериев, где и в акустике, и в электродинамике коэффициент вывода строится как отношение потока через щель к входному потоку.

Для первой практической проверки разумно использовать порог

η_out ≥ 0.05,

то есть не менее 5% входной мощности должно уходить через кольцевую апертуру в рабочем режиме.

23.11. Направленность выходного режима

Следующий шаг после C4 — проверка C5, то есть направленного характера выхода.

Пусть для выбранного режима найдено дальнее акустическое поле и его угловое распределение мощности обозначено через U(θ). Тогда угол расходимости можно определять двумя эквивалентными для практики способами.

Вариант 1. Полуширина главного лепестка

Угол расходимости определяется как FWHM, то есть полная ширина главного лепестка на уровне половины максимальной мощности.

Вариант 2. RMS-угол

Можно использовать среднеквадратичный угол

θ_div = sqrt( ∫ θ² U(θ) dΩ / ∫ U(θ) dΩ ).

Эта запись более устойчива к сложной форме диаграммы направленности, особенно если главный лепесток не идеально гауссов.

Дополнительно полезно считать подавление обратного излучения:

S_dB = 10 · log10(P_forward / P_backward).

Здесь P_forward — мощность в переднем угловом секторе, а P_backward — мощность в заднем секторе. Это позволяет различать режимы, у которых формально похожая ширина главного лепестка, но radically разный уровень обратной паразитической утечки.

Смысл всей этой части главы в том, что направленность нельзя отождествлять с самим фактом выхода. Геометрия должна не просто выпускать энергию, а по возможности переводить её в углово организованный режим. В ваших материалах этот шаг уже выделен как обязательный для акустики: Helmholtz-глава должна в перспективе строить не только локализацию и вывод, но и карту θ_div и параметр

23.12. Итоговая рабочая область акустики

Конечной целью этой главы должно быть не просто получение красивых отдельных режимов, а построение первой рабочей области акустической постановки.

Обозначим её через U_AC. Тогда

U_AC = множество значений (β, ρ, α, ka), при которых одновременно выполняются:

η_center ≥ η_min,
η_out ≥ η_out,min,
θ_div ≤ θ_max,
S_dB ≥ S_min.

В первом базовом варианте можно использовать инженерные пороги

η_min = 70%,
η_out,min = 5%,
θ_max = 30°,
S_min = 10–15 dB.

Эти числа не являются фундаментальными законами природы. Они нужны как рабочий сертификационный порог: если режим проходит эти условия, его можно считать не просто существующим, а инженерно содержательным. В дальнейшем эта область U_AC должна сравниваться с U_EM и U_Q в рамках критерия C7. Именно такая логика уже встроена в вашу текущую монографию: Helmholtz-глава должна завершаться построением именно рабочей области акустической физики, а не только качественным рассуждением о модах.

23.13. Что именно будет считаться успешным результатом

С научной точки зрения эта глава считается успешно закрытой, если выполнены три условия.

Первое условие

В закрытом режиме найден хотя бы один диапазон собственных мод, для которых

η_center ≥ 70%.

Это будет означать, что центральная геометрическая ловушка действительно проявляется в полной осесимметричной волновой задаче, а не только в аналитической редукции.

Второе условие

В открытом режиме найден хотя бы один диапазон α, для которого одновременно выполняются

η_center ≥ 70%
и
η_out ≥ 5%.

Это подтвердит, что удержание и вывод совместимы, а щель работает как управляемый канал, а не как простое разрушение ловушки.

Третье условие

Для части этих режимов выполняется

θ_div < 30°,

а коэффициент подавления обратного излучения остаётся достаточно высоким.

Это подтвердит направленный характер выходного режима.

Если все три условия выполнены, осесимметричный Helmholtz-протокол можно считать первым полноценным численным подтверждением базовой геометрической схемы ГВИ в реальной волновой физике.

23.14. Итог главы

Настоящая глава вводит первый строгий численный стандарт верификации Геометрической волновой инженерии в рамках акустической осесимметричной постановки Helmholtz. Её значение состоит в том, что она впервые переводит общую теорию псевдогиперболоида второго порядка в форму воспроизводимого вычислительного рецепта: с точно заданной геометрией, с корректной волновой моделью, с весовыми энергетическими интегралами, с апертурным законом ΔR = αλ, с метриками η_center, η_out, θ_div и S_dB, и с конечной целью построения рабочей области U_AC. Именно в этом и состоит её место в монографии: она должна стать первым реальным численным мостом между строгой геометрической теорией и полной межфизической программой C7.