25.1. Назначение главы

Настоящая глава является вычислительным продолжением квантовой постановки: Schrödinger. Если квантовая постановка была введена как третий обязательный физический столп межфизической программы, то здесь она переводится в форму строгого численного протокола, пригодного для воспроизводимой реализации в конечных элементах, спектральных методах или эквивалентных численных схемах для стационарного уравнения Шрёдингера. Иначе говоря,г квантовая постановка объясняла, почему квантовый случай необходим, а протокол квантовой верификации отвечает на вопрос, как именно надо ставить квантовую задачу, чтобы она действительно работала на критерии C2–C7.

Значение этой главы особенно велико. В ваших материалах уже прямо сказано, что без Schrödinger-постановки невозможно честно завершить сильную версию межфизической программы. Maxwell и Helmholtz ещё могут оставить ощущение, что речь идёт лишь о разных типах классических волн. Квантовая глава снимает эту двусмысленность: она проверяет, сохраняется ли тот же геометрический механизм уже в задаче, где основным объектом является не поле давления и не векторное электромагнитное поле, а волновая функция, а ключевыми физическими понятиями становятся связанные состояния, квазисвязанные состояния и ток вероятности. Именно поэтому Schrödinger-глава в структуре монографии должна рассматриваться не как приложение, а как решающий третий тест критерия C7.

25.2. Почему квантовый случай требует отдельного численного протокола

Квантовую задачу нельзя честно рассматривать как механическое повторение акустической или электромагнитной главы. Причина состоит в физическом статусе открытого режима.

В акустике и электродинамике кольцевая щель естественно интерпретируется как канал энергетического выхода. В квантовой постановке та же щель имеет другой смысл: она задаёт связь локализованного внутреннего состояния с внешним continuum, то есть с непрерывным спектром разрешённых состояний. Поэтому здесь принципиально важны следующие различия:

Нужно различать связанные состояния и квазисвязанные состояния.

Нужно различать геометрическую локализацию и конечное время жизни квантового резонанса.

Нужно анализировать не поток энергии, а ток вероятности.

Нужно учитывать, что открытая постановка не просто “выпускает волну наружу”, а изменяет сам спектральный тип состояния.

Именно это уже подчеркнуто в вашей монографии: квантовый случай важен потому, что он ставит вопрос о той же геометрии уже на уровне спектральной организации квантового оператора, а не только в классическом и квазиклассическом волновом описании. Следовательно, квантовая численная глава должна быть организована так, чтобы эти особенности были видны явно, а не скрывались за аналогиями.

25.3. Геометрическая область расчёта

В настоящей главе сохраняется тот же канонический псевдогиперболоид второго порядка, что и в предыдущих физических главах. Это принципиально важно, поскольку критерий C7 требует сравнения разных физических постановок в одной и той же геометрической области.

Используются безразмерные параметры:

a = 0.05,
b = 0.5,
R = 20.

Геометрическая полудлина определяется формулой

x* = a · sqrt(1 + (R / b)^2).

После подстановки чисел получаем

x* = 0.05 · sqrt(1 + 40^2) ≈ 2.0006249024.

Безразмерные параметры геометрии равны

β = b / a = 10,
ρ = R / a = 400.

Именно этот набор должен оставаться неизменным и в квантовой главе. В противном случае дальнейшее сравнение U_Q с U_EM и U_AC потеряет строгий смысл. В ваших материалах это уже зафиксировано совершенно прямо: все три физики должны быть сведены к одному и тому же пространству параметров β, ρ, α, ka.

Рабочая область задаётся той же сглаженной функцией радиуса r_smooth(x), которая совпадает с канонической формой вне малой области сглаживания около x = ±a:

r(x) = R, при |x| ≤ a,

r(x) = R − b · sqrt((x / a)^2 − 1), при a < |x| ≤ x*.

Полная 3D-область записывается как

Ω_trap = { (x, ρ, φ) : x_in ≤ x ≤ x*, 0 ≤ ρ ≤ r_smooth(x), 0 ≤ φ < 2π }.

Здесь x_in соответствует конечному входному усечению, введённому для физически корректной постановки открытой задачи. Это так же важно, как и в предыдущих главах: без конечного входного торца невозможно строго нормировать входной поток и корректно задавать связь внутренней области с внешней.

25.4. Базовая квантовая модель

В стационарной постановке волновая функция ψ(r) удовлетворяет уравнению Шрёдингера

− (ħ² / 2m) · Δψ + V(r) ψ = E ψ.

Здесь:

ħ — приведённая постоянная Планка,

m — масса частицы,

V(r) — потенциальная энергия,

E — энергия стационарного состояния.

Для первого геометрического теста наиболее разумно принять, что внутри рабочей области потенциал равен нулю:

V(r) = 0 внутри Ω_trap.

Тогда вся структурность режима возникает не из сложного потенциала, а из самой геометрии области. Это полностью соответствует духу вашей теории: геометрия должна выступать как самостоятельный управляющий механизм, а не маскироваться под специально подогнанный внутренний потенциал.

В закрытом режиме на боковой границе удобно использовать условие жёсткого квантового удержания

ψ = 0 на ∂Ω_trap.

Это означает бесконечно высокий потенциальный барьер на границе. Такой выбор особенно удобен для первого теста, потому что он позволяет максимально чисто выделить геометрическую локализацию, не добавляя дополнительную неопределённость из-за конечной высоты стенок.

Почему эта модель нужна именно в таком виде? Потому что она даёт вам первый строгий квантовый аналог закрытого геометрического резонатора. В ней можно честно поставить вопрос: поддерживает ли сама область псевдогиперболоида связанные состояния, заметно локализованные в центральной зоне? Именно этот вопрос и является квантовым вариантом критерия C2.

25.5. Закрытый режим: связанные состояния

В закрытом режиме задача записывается как

− (ħ² / 2m) · Δψ_n = E_n ψ_n в Ω_trap,
ψ_n = 0 на ∂Ω_trap.

Здесь E_n — дискретные собственные значения, а ψ_n — собственные функции.

С физической точки зрения эта задача ищет связанные состояния, то есть такие квантовые моды, которые полностью удерживаются внутри геометрии. Именно на этом этапе проверяется, создаёт ли псевдогиперболоид собственную геометрическую ловушку для квантовой волновой функции.

Для количественной оценки вводится центральная зона

Ω_c = { (x, ρ, φ) : |x| ≤ a, 0 ≤ ρ ≤ R }.

Тогда коэффициент квантовой центральной локализации определяется формулой

η_center = ∫(Ω_c) |ψ(r)|² dV / ∫(Ω_trap) |ψ(r)|² dV.

В процентах:

η_center(%) = 100 · ∫(Ω_c) |ψ(r)|² dV / ∫(Ω_trap) |ψ(r)|² dV.

Смысл этой формулы очень прост и очень важен. В квантовой механике |ψ|² — это плотность вероятности обнаружения частицы. Следовательно, ηcenter показывает, какая доля состояния реально находится в центральной фокальной зоне. Это уже не аналог энергии, как в Maxwell или Helmholtz, а прямой вероятностный показатель локализации.

Если вы хотите проверить не просто центральную зону, а именно тонкое фокальное кольцо, можно дополнительно ввести толщину h_f и область

Ω_ring = { (x, ρ, φ) : |x| ≤ a, R − h_f ≤ ρ ≤ R }.

Тогда кольцевая метрика записывается как

η_ring = ∫(Ω_ring) |ψ(r)|² dV / ∫(Ω_trap) |ψ(r)|² dV.

Но для основного протокола лучше сначала использовать именно Ω_c, поскольку эта область уже закреплена как главная центральная зона в вашей канонической геометрии.

Для практической сертификации квантового критерия C2 здесь также удобно использовать порог

η_center ≥ 70%.

Так сохраняется единый стандарт сравнения между Maxwell, Helmholtz и Schrödinger.

25.6. Спектральные окна в квантовой постановке

Чтобы сопоставить квантовый спектр с акустическим и электромагнитным, нужно перейти от энергии E к безразмерному параметру ka.

Квантовое волновое число определяется формулой

k = sqrt(2mE) / ħ.

Тогда безразмерная переменная имеет вид

ka = a · sqrt(2mE) / ħ.

После этого для каждого собственного состояния строится точка

(ka_n, ηcenter,n).

Спектральным окном локализации называется такой интервал по ka, в котором существуют состояния с ηcenter выше выбранного порога.

Смысл этой процедуры в квантовой главе особенно важен. Она показывает, что даже если геометрическая ловушка существует, это не означает локализации на всех энергиях. Как и в Maxwell- и Helmholtz-постановках, здесь возникают конечные окна по безразмерному параметру ka. Именно это и даёт возможность включить Schrödinger в общую безразмерную архитектуру теории. В ваших материалах такой переход к единой системе β, ρ, α, ka уже указан как главный язык межфизической проверки.

25.7. Открытый режим: переход к квазисвязанным состояниям

Именно здесь начинается специфически квантовая часть протокола.

Если в правой торцевой плоскости x = a открывается кольцевая щель, то внутренняя геометрическая ловушка получает связь с внешним continuum. В результате строго связанные состояния заменяются квазисвязанными состояниями, или резонансами.

Их удобнее описывать не вещественной энергией E, а комплексной резонансной энергией

𝓔 = E_r − i Γ / 2.

Здесь:

E_r — резонансная энергия,

Γ — ширина резонанса.

Время жизни квазисвязанного состояния определяется формулой

τ = ħ / Γ.

Смысл этой записи следующий. Если Γ мало, то состояние долго удерживается в ловушке и только медленно утекает наружу. Если Γ велико, то связь с continuum слишком сильна, и квантовая ловушка фактически разрушается.

Для сопоставления с Maxwell и Helmholtz удобно ввести квантовый аналог добротности:

Q_Q = E_r / Γ.

Хотя это не добротность в электродинамическом смысле, она играет ту же функциональную роль: измеряет компромисс между удержанием и утечкой.

Именно этот пункт делает квантовую главу особенно важной. Здесь впервые становится видно, что “открытый режим” означает не только физический вывод наружу, но и переход от дискретного спектра к резонансной структуре с конечным временем жизни. Это уже было отдельно подчеркнуто в ваших текстах как ключевая особенность Schrödinger-постановки.

25.8. Кольцевая щель и её безразмерная ширина

Как и в Maxwell и Helmholtz, кольцевая щель должна задаваться в безразмерной форме

ΔR = α λ.

Здесь λ — уже не классическая длина акустической или электромагнитной волны, а де-Бройлевская длина волны квантового режима:

λ = 2π / k.

Следовательно,

α = ΔR / λ

остаётся тем же каноническим параметром апертурного согласования.

Это очень важный момент. Он показывает, что квантовая глава действительно встроена в общую архитектуру монографии, а не живёт по своей отдельной системе обозначений. Если Maxwell, Helmholtz и Schrödinger должны потом сравниваться через U_EM, U_AC и U_Q, то и апертурный закон должен оставаться единым.

Для первого параметрического скана можно использовать тот же набор значений

α = 0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05.

Такой выбор делает будущие графики и таблицы сразу сопоставимыми между тремя физическими постановками.

25.9. Ток вероятности и коэффициент вывода

В квантовой задаче корректный аналог энергетического потока — это ток вероятности.

Он определяется формулой

j = (ħ / m) · Im( ψ* ∇ψ ).

Здесь Im означает мнимую часть, а ψ* — комплексное сопряжение волновой функции.

Физический смысл этой формулы следующий. Ток j показывает, как квантовая вероятность переносится в пространстве. Если через кольцевую щель действительно идёт управляемый квантовый выход, то это должно проявиться как ненулевой интегральный поток вероятности через Γ_slot.

Поток через щель равен

J_slot = ∫_(Γ_slot) j · n dA.

Если возбуждение задаётся через входной канал Γ_in, то коэффициент квантового вывода определяется как

η_out = J_slot / J_in.

В процентах:

η_out(%) = 100 · J_slot / J_in.

Это один из важнейших пунктов всей главы. Он показывает, что квантовая постановка не просто копирует акустическую или Maxwell-метрику. Здесь меняется физическая природа потока, но сохраняется та же архитектура сравнения: выходной поток через щель делится на входной поток. Именно поэтому ηout в квантовой задаче может быть затем честно сопоставлен с ηout в Maxwell и Helmholtz.

Для первой рабочей сертификации и здесь можно сохранить условный инженерный порог

η_out ≥ 5%.

Но квантовую величину ηout всегда нужно интерпретировать вместе с временем жизни τ или с Q_Q. Иначе большой выходной поток можно ошибочно принять за хороший режим, хотя на самом деле он может означать почти мгновенный распад состояния.

25.10. Квантовая направленность

Если квантовое квазисвязанное состояние действительно выводится наружу через кольцевую апертуру, то следующий вопрос состоит в том, насколько этот выход направлен.

Для этого во внешней области нужно построить угловое распределение вероятностного потока

U_Q(θ, φ).

Далее вводятся две стандартные характеристики.

1. Угол расходимости

Он может определяться как:

полная ширина главного лепестка на половине максимума,

или как RMS-угол по распределению U_Q(θ, φ).

2. Подавление обратного потока

Определяется величиной

S_dB = 10 · log10( J_forward / J_backward ).

Здесь J_forward — поток вероятности в переднем угловом секторе, а J_backward — поток в заднем секторе.

Эти две величины показывают, превращается ли кольцевая щель в осмысленный канал направленного квантового выхода, или же открытый режим лишь создаёт плохо контролируемую утечку в continuum.

С научной точки зрения этот пункт особенно важен. В вашей монографии уже подчёркнуто, что направленный вывод нельзя считать автоматически доказанным для всех мод: многое зависит от фазовой структуры поля на щели. В квантовом случае это ещё тоньше, потому что структура волновой функции на апертуре непосредственно управляет током вероятности во внешней области. Поэтому квантовая направленность должна проверяться отдельно и строго.

25.11. Интегральная рабочая метрика

Для сопоставления с Maxwell и Helmholtz полезно ввести интегральную квантовую метрику

Φ_Q = ηcenter · ηout.

Смысл этой величины совершенно тот же, что и в предыдущих главах:

если локализация высока, но вывод почти отсутствует, Φ_Q мала;

если вывод велик, но состояние почти не локализовано в центре, Φ_Q тоже мала;

если обе характеристики одновременно заметны, Φ_Q становится большой.

Именно поэтому Φ_Q удобно использовать как первичную карту компромисса между удержанием и выводом.

С научной точки зрения это очень важный ход. Он не только даёт удобный диагностический скаляр, но и вписывает квантовую главу в тот же язык, которым в монографии уже описываются Maxwell и Helmholtz. В ваших материалах именно совпадение набора метрик ηcenter, ηout, Φ, θdiv, S уже названо обязательной частью строгой межфизической рамки C7.

25.12. Полный численный протокол

Чтобы квантовая глава была воспроизводимой, процедура расчёта должна быть явно разложена на шаги.

Шаг 1. Построение геометрии

Построить сглаженную 3D-область Ω_trap с параметрами a = 0.05, b = 0.5, R = 20 и с конечным входным усечением x_in.

Шаг 2. Закрытый спектр

Решить eigenvalue-задачу для закрытой области и вычислить первые N связанных состояний ψ_n и их энергии E_n.

Шаг 3. Локализация

Для каждого состояния вычислить ηcenter и, при необходимости, ηring. Построить спектральную карту (ka_n, ηcenter,n).

Шаг 4. Открытый режим

Ввести кольцевую щель Γ_slot с шириной ΔR = α λ.

Шаг 5. Квазисвязанные состояния

Для каждого α определить резонансные энергии 𝓔 = E_r − i Γ/2 или эквивалентные резонансные пики при рассеятельной постановке.

Шаг 6. Поток через щель

Для выбранного режима вычислить J_slot, ηout и Q_Q = E_r / Γ.

Шаг 7. Направленность

Построить U_Q(θ, φ), вычислить θdiv и S_dB.

Шаг 8. Рабочая область

Построить U_Q как множество параметров (β, ρ, α, ka), при которых одновременно выполняются критерии центральной локализации, вывода и направленности.

Именно такая пошаговая форма нужна для монографии, потому что она переводит квантовую главу из уровня “обязательной теории” в уровень воспроизводимого вычислительного стандарта.

25.13. Рабочая область U_Q

Итогом этой главы должна стать не отдельная красивая квазимода, а построение рабочей квантовой области

U_Q = множество значений (β, ρ, α, ka), для которых одновременно выполнены:

ηcenter ≥ η_min,

ηout ≥ ηout,min,

θdiv ≤ θ_max,

S_dB ≥ S_min,

Q_Q находится в допустимом диапазоне.

Для первого инженерного уровня разумно использовать те же базовые пороги, что и в других физических главах:

η_min = 70%,
ηout,min = 5%,
θ_max = 30°,
S_min = 10–15 dB.

Такой выбор делает Maxwell-, Helmholtz- и Schrödinger-главы сразу сопоставимыми. Именно это и требуется для следующего шага — проверки непустого пересечения

U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q.

В вашей монографии этот вопрос уже назван главным критерием окончательного статуса межфизической универсальности.

25.14. Что будет считаться успешным закрытием этой главы

Квантовая глава считается успешно завершённой, если выполнены четыре условия.

Первое условие

В закрытом режиме найдены связанные состояния, для которых ηcenter ≥ 70%.

Второе условие

В открытом режиме найден диапазон α, где одновременно выполняются ηcenter ≥ 70% и ηout ≥ 5%.

Третье условие

Для части этих режимов поток во внешнюю область имеет осмысленную направленную структуру, то есть θdiv < 30°, а S_dB остаётся в инженерно допустимом диапазоне.

Четвёртое условие

Существуют квазисвязанные состояния с конечным, но не слишком малым временем жизни, то есть режим не распадается мгновенно после открытия щели.

Если эти условия выполняются, квантовый блок C7 можно считать доведённым до полноценного численного стандарта, а не только до концептуальной постановки.

25.15. Итог главы

Настоящая глава вводит первый строгий вычислительный стандарт квантовой верификации псевдогиперболоида второго порядка. Её особая роль в монографии состоит в том, что она завершает построение трёх обязательных физических столпов программы C7:

Maxwell,

Helmholtz,

Schrödinger.

В рамках этой главы впервые в единой квантовой постановке должны быть построены:

полная 3D геометрия Ω_trap,

коэффициент центральной локализации ηcenter,

коэффициент вывода ηout,

резонансная ширина Γ и квантовая добротность Q_Q,

диаграмма вероятностного потока θdiv,

подавление обратного потока S_dB,

и рабочая область U_Q как итоговая карта квантовой работоспособности.

Мы превращаем квантовую постановку из обязательной теоретической части межфизической программы в воспроизводимую численную схему, которую затем уже можно честно включать в проверку пересечения U_EM, U_AC и U_Q.