30.1. Переход от теории C8 к количественной робастности

Критерий C8, сформулированный в предыдущих главах, устанавливает требование существования положительного запаса устойчивости ε*. Однако сама формула для расчёта ε* остаётся теоретической конструкцией до тех пор, пока не известны фактические значения коэффициентов чувствительности С1-С5. Настоящая глава переводит C8 из абстрактного уровня на уровень количественный, вводя понятие карт чувствительности и показывая, как из них извлекаются инженерные значения допусков на изготовление и эксплуатацию псевдогиперболоидных резонаторов.

Под чувствительностью данной метрики качества Q (например, ηcenter, ηout, Φ, θdiv, S) к безразмерному параметру формы или апертуры p (таких как β, ρ, α, δ/a) понимается нормализованная вариация метрики при малой относительной вариации параметра.

Формально, локальный коэффициент чувствительности определяется как:

S(p) = (ΔQ / Q) / (Δp / p)

где ΔQ и Δp — малые приращения, получаемые либо методом конечных разностей (из последовательных численных расчётов), либо через аналитическое вычисление производной dQ/dp.

Физический смысл:

Если S(p)> 1, то метрика Q очень чувствительна к изменению параметра p (критичный параметр, жёсткий допуск).

Если S(p) <0.5, то метрика Q слабо зависит от p (допускает отклонения, мягкий допуск).

Если S(p) <0, то увеличение p вызывает уменьшение Q (противоположное влияние).

30.2. Пример численного протокола для расчёта коэффициентов чувствительности

Рассмотрим конкретный пример. Пусть в базовой конфигурации с параметрами:

β_0 = 10

ρ_0 = 400

α_0 = 0.5

для первого спектрального окна получена центральная мода с η_center = 0.80 (т.е. 80% энергии сосредоточено в центре).

Шаг 1. Увеличиваем β на 5% до β = 10.5, пересчитываем спектр в закрытом режиме (решаем eigenvalue-задачу для Helmholtz), получаем новую моду с η_center = 0.76.

Коэффициент чувствительности центральной локализации по отношению к кривизне:

S(β) = [(0.76 — 0.80) / 0.80] / [(10.5 — 10.0) / 10.0] S(β) = (-0.05) / (0.05) = -1.0

Интерпретация: При увеличении кривизны на 1% центральная локализация падает на 1% (высокая отрицательная чувствительность).

Шаг 2. Увеличиваем ρ на 5% до ρ = 420, пересчитываем спектр:

η_center = 0.82 (т.е. 82%)

S(ρ) = [(0.82 — 0.80) / 0.80] / [(420 — 400) / 400] S(ρ) = (0.025) / (0.05) = +0.5

Интерпретация: При увеличении радиуса на 1% центральная локализация растёт на 0.5% (слабая положительная чувствительность).

Шаг 3. Аналогично для других параметров α, δ/a, а также для других метрик ηout, Φ, θdiv, S.

Результаты представлены в табличной форме.

Таблица № 6. Пример численного протокола для расчёта коэффициентов чувствительности.

Параметр	Вариация	Начальное значение Q	Q после вариации	S(p)	Интерпретация
β (кривизна)	+5%	0.80	0.76	−1.0	Высокая отрицательная чувствительность (критичный параметр)
ρ (радиус)	+5%	0.80	0.82	+0.5	Слабая положительная чувствительность (допускает отклонения)
α (щель)	+10%	0.30 (η_out)	0.35	+1.67	Очень высокая положительная чувствительность (критичный параметр)
δ/a (сглаживание)	±10%	0.80	0.795	−0.06	Практически нечувствительна (мягкий допуск)

Таблица № 2 показывает примеры допусков на изготовление псевдогиперболоида. Вывод из таблицы: Параметры β и α требуют жёстких допусков на изготовление, а параметры δ/a допускают свободный разброс.

30.3. Карты чувствительности в безразмерном пространстве параметров (β, ρ)

На основе такого набора локальных коэффициентов строятся карты чувствительности — двумерные или трёхмерные отображения S(p) по сетке в пространстве параметров.

Процедура построения:

Задать сетку в пространстве (β, ρ) с шагом Δβ ≈ 1 и Δρ ≈ 50.

Для каждого узла (βi, ρj) решить eigenvalue-задачу Helmholtz (или Maxwell).

Найти моду с максимальным ηcenter (или выбрать фиксированную моду из первого спектрального окна).

Вычислить метрики Q и их вариации при малых возмущениях каждого параметра.

Получить S(βi, ρj) и S(α_i, ρj) и т.д.

Визуализировать результаты в виде цветной тепловой карты (heatmap).

Интерпретация цветной карты:

Зелёные зоны — области с низкой чувствительностью |S(p)| <0.3 — это зоны повышенной инженерной надёжности, где допускаются большие производственные разбросы (допуск ±5%, ±10%).

Жёлтые зоны — среднее значение |S(p)| ≈ 0.5-1.0 — требуют среднего контроля (допуск ±3%).

Красные зоны — области с высокой чувствительностью |S(p)|> 1.5 — требуют жёсткого контроля и точного изготовления (допуск ±0.5%, ±1%).

30.4. Связь карт чувствительности с запасом ε*

Как только коэффициенты S(p) известны (либо локально, в окрестности базовой конфигурации, либо в виде карт по всему пространству параметров), становится возможным вычислить ε* количественно.

Напомним, что в критерии C8 были установлены инженерные пороги:

ηcenter ≥ 0.70 (70% — порог успешной локализации)

ηout ≥ 0.10 (10% — минимальный вывод энергии)

Φ ≥ 0.07 (компромиссный функционал)

θdiv ≤ 15° (максимальный допустимый угол расходимости луча)

S ≤ 0.20 (максимальный уровень боковых лепестков = 20%)

При малых возмущениях нормы ε вариация каждой метрики Q оценивается как:

ΔQ ≈ Q × S(p) × ε

Требование, чтобы метрика Q не вышла за пределы допуска, означает:

Q + ΔQ ≥ Q_min

подставляя ΔQ:

Q + Q × S(p) × ε ≥ Q_min Q × (1 + S(p) × ε) ≥ Q_min

откуда вычисляем допустимый ε:

ε ≤ (Q — Q_min) / (Q × |S(p)|)

Минимум по всем метрикам и параметрам даёт окончательную величину запаса:

ε = минимум всех значений [(Q — Q_min) / (Q × |S(p)|)] *

Численный пример расчёта ε: *

Для ηcenter:

Q = 0.80 (текущее значение)

Q_min = 0.70 (минимально допустимое)

|S| = 1.0 (из таблицы выше)

ε_bound = (0.80 − 0.70) / (0.80 × 1.0) = 0.10 / 0.80 = 0.125 = 12.5%

Для ηout (при α):

Q = 0.30 (текущее значение)

Q_min = 0.10 (минимально допустимое)

|S| = 1.67

ε_bound = (0.30 − 0.10) / (0.30 × 1.67) = 0.20 / 0.50 = 0.40 = 40%

Для θdiv:

при S_θ = 2.0, базовое значение 5°, допуск 15°

ε_bound ≈ 50%

ε = минимум (12.5%, 40%, 50%, …) ≈ 12.5%*

Вывод: Это означает, что при относительных отклонениях геометрических параметров, не превышающих 12.5%, все критические функции механизма сохраняют свою работоспособность в пределах заданных порогов.

30.5. Практическое применение: допуски на изготовление

На основе величины ε* инженер может непосредственно задать допуски на производство реального устройства.

Если ε ≈ 12.5%, то допустимые относительные отклонения базовых размеров составляют ±12.5%. В абсолютных единицах: *

Параметр a (полувысота центральной зоны): Если a = 5 мм, то допуск составляет ±12.5% × 5 мм = ±0.625 мм Чертёж: 5.000 мм (+0.625 / −0.625)

Параметр b (кривизна образующей): Если b = 50 мм, то допуск составляет ±12.5% × 50 мм = ±6.25 мм Чертёж: 50.000 мм (+6.25 / −6.25)

Параметр R (радиус центральной зоны): Если R = 2000 мм (2 м), то допуск составляет ±12.5% × 2000 мм = ±250 мм Чертёж: 2000.000 мм (+250 / −250)

Ширина кольцевой щели ΔR: Если ΔR = 20 мм, то допуск составляет ±12.5% × 20 мм = ±2.5 мм Чертёж: 20.000 мм (+2.5 / −2.5)

Это позволяет перейти от абстрактного критерия C8 к практическому рабочему чертежу с конкретными допусками, который может быть отправлен на производство машиностроительному заводу.

30.6. Маршрут численного исследования карт чувствительности

Для полного численного завершения данной главы необходимо выполнить следующие шаги:

Выбрать базовую конфигурацию с параметрами β0, ρ0, α0, ka0, например, лежащие в середине первого спектрального окна (по критерию C3).

Решить eigenvalue-задачу Helmholtz в осесимметричной постановке для закрытого режима, используя метод конечных элементов (программа COMSOL, FreeFEM или Ansys).

Выделить моду с максимальным ηcenter (или первую локализованную моду).

Вычислить метрики Q для этой моды.

Провести возмущения каждого параметра на ±5%, ±10%, ±15% и пересчитать спектр и метрики.

Построить коэффициенты S(p) из полученных данных по описанной выше формуле.

Визуализировать в виде цветной тепловой карты (heatmap) в пространстве (β, ρ) для фиксированных α и ka.

Вычислить ε* по формуле, приведённой в разделе 26.5.

Повторить для открытого режима и для других спектральных окон.

Составить инженерный доклад с таблицей допусков в миллиметрах для различных размеров.