4.1. Безразмерные параметры семейства

Главное содержание масштабируемой постановки состоит в том, что физически значимыми должны считаться не сами размерные величины, а их отношения. В нашей поздней редакции уже окончательно закреплён следующий набор безразмерных параметров:

β = b/a -безразмерная кривизна;

ρ = R/a -безразмерный радиус центральной зоны;

α = ΔR/λ -безразмерное апертурное согласование;

ka -безразмерный спектральный параметр.

Именно через этот набор далее должны выражаться:

геометрия формы;

локализация;

спектральные окна;

режимы вывода;

направленность;

робастность.

Канонический переход между двумя реализациями псевдогиперболоида задаётся простым правилом:

(a, b, R, λ, ΔR) -> (s a, s b, s R, s λ, s ΔR), где s> 0.

Это означает, что при переходе к новому диапазону длин волн масштабируются:

полувысота центральной зоны a,

параметр кривизны b,

радиус центральной зоны R,

длина волны λ,

радиальная ширина щели ΔR.

При таком переходе меняется абсолютный размер всей конструкции, но сохраняется её безразмерная форма. В этом и состоит фундаментальный переход от размерной геометрии к безразмерной теории формы.

4.2. Геометрический и физический смысл β, ρ, α, ka

Каждый из четырёх параметров играет особую роль.

β = b/a задаёт относительную кривизну гиперболической части. Он определяет, насколько резко периферийная зона переходит к центральной области.

ρ = R/a задаёт относительный радиус фокальной зоны по отношению к её осевой полувысоте. Именно через него определяется геометрический характер центральной области как “длинной”, “короткой”, “широкой” или “узкой” в безразмерном смысле.

α = ΔR/λ характеризует связь между размером апертуры и длиной волны. Это первый и главный безразмерный параметр открытого режима.

ka связывает геометрию с частотой. Именно в этой переменной естественно описывать окна локализации и рабочие диапазоны режима.

Вместе эти четыре параметра образуют замкнутый безразмерный язык всей последующей теории.

Если при масштабировании сохраняются β, ρ, α и ka, то, как уже прямо сказано в нашем тексте, сохраняются:

безразмерный профиль формы;

безразмерный оператор локализации;

окна локализации C3;

режимы управляемого вывода C4;

закон направленного вывода C5.

Смысл этого утверждения чрезвычайно силён. Он означает, что переход между различными диапазонами длин волн не должен рассматриваться как переход к другой теории или к другому механизму. Это лишь переход к другому абсолютному масштабу одной и той же безразмерной схемы. Именно так в дальнейшем и будет формулироваться зрелая версия гипотезы о псевдогиперболоиде как геометрически масштабируемом аттракторном механизме.

4.3. Граница применимости масштабной инвариантности

Вместе с тем наш текст совершенно правильно оговаривает, что масштабная инвариантность не должна трактоваться как автоматическая универсальность во всех реальных физических условиях. Она сохраняется только тогда, когда:

волновые уравнения линейны;

среда не вносит новых фиксированных длин;

отсутствуют сильная дисперсия и существенные материальные масштабы, не масштабируемые вместе с геометрией;

граничные условия масштабируются согласованно.

Это чрезвычайно важная оговорка. Она показывает, что масштабная инвариантность является в первую очередь геометрическим и безразмерным фактом, а не безусловным обещанием работы в любой физической среде без дополнительных условий.

Физическая диссипативная длина (например, глубина проникновения кожи-слоя для электромагнитных волн или вибрации вязкого пограничного слоя для акустики) масштабируется нелинейно по направлению к макрогеометрии. При переходе от макроуровней (акустика, метры) к микроуровням (нанофотоника, микроны) плазмонные эффекты и материальные потери могут изменить баланс удержания и результата, что требует введения поправочных коэффициентов в идеальную безразмерную схему

4.4. Итог главы

Однородное масштабирование псевдогиперболоида второго порядка задаёт переход от частной размерной геометрии к безразмерной теории семейства подобных форм. В этой постановке физически значимыми оказываются не абсолютные размеры a, b, R, ΔR и не сама по себе длина волны λ, а безразмерные параметры β = b/a, ρ = R/a, α = ΔR/λ и ka. При сохранении этих параметров сохраняются безразмерная форма, локализация, открытые режимы и направленность. Тем самым на уровне геометрической постановки закладывается фундамент зрелой версии гипотезы: псевдогиперболоид второго порядка должен рассматриваться не как единичная всечастотная форма, а как масштабируемое семейство геометрически подобных аттракторных структур.