Приложение А. Единая нотация

А.1. Геометрические параметры

x -продольная координата вдоль оси системы.
ρ -радиальная координата относительно смещённой оси вращения в осесимметричной постановке.
φ -азимутальная координата.
a -полувысота центральной фокальной зоны по оси x; полная высота центральной зоны равна 2a.
b -параметр кривизны гиперболической образующей.
R -радиус центральной фокальной зоны и одновременно смещение оси вращения.
x* -геометрическая полудлина псевдогиперболоида, определяемая условием смыкания.
rin -радиус входного горлышка в усечённой постановке.
xin -продольная координата усечения, определяемая условием r(xin)=rin.
ΔR -радиальная ширина кольцевой торцевой щели в открытом режиме.
δ -параметр сглаживания переходной области между центральной зоной и гиперболическими участками.

А.2. Геометрические области и границы

Ωtrap -базовая объёмная область закрытого режима.
Ωtrap(in) -рабочая область с входным горлышком.
Γin -входной торец/граница возбуждения.
Γslot -кольцевая торцевая апертура открытого режима.
Ωc -центральная фокальная зона, то есть область |x| <= a и 0 <= ρ <= R.
Ωout -внешняя область вне центральной зоны.

А.3. Волновые и спектральные параметры

λ -рабочая длина волны.
k -волновое число.
ka -безразмерный спектральный параметр.
n -индекс поперечной моды или модовый индекс.
I_n -спектральное окно локализации для n-й моды в переменной ka.

А.4. Безразмерные параметры формы и апертуры

β = b/a -безразмерная кривизна.
ρ = R/a -безразмерный радиус центральной зоны.
α = ΔR/λ -безразмерный апертурный параметр.
ka -безразмерный спектральный параметр.
Именно набор β, ρ, α, ka является каноническим безразмерным языком всей теории.

А.5. Основные функциональные метрики

ηcenter -доля энергии (или вероятности, или соответствующего физического аналога), сосредоточенная в центральной зоне.
Pslot -поток через кольцевую щель.
ηout -коэффициент вывода, нормированный по входной мощности или эквивалентной физической величине.
Φ -компромиссный функционал удержания и вывода.
θdiv -угол расходимости выходного главного лепестка.
S -относительный уровень боковых лепестков.

А.6. Межфизические рабочие области

U_EM -рабочая область параметров для Maxwell-постановки.
U_AC -рабочая область параметров для Helmholtz-постановки.
U_Q -рабочая область параметров для Schrödinger-постановки.
U = U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q -общее межфизическое пересечение рабочих областей.

А.7. Параметры чувствительности и робастности

ε -безразмерная норма относительного геометрического и апертурного возмущения.
C1, C2, C3, C4, C5 -коэффициенты линейной чувствительности метрик ηcenter, ηout, Φ, θdiv, S.
ε* -положительный запас устойчивости, то есть максимально допустимый уровень возмущений, при котором все рабочие критерии сохраняются.

Приложение Б. Канонический список формул

Б.1. Базовая гиперболическая образующая

Каноническая гипербола:
x²/a² — y²/b² = 1

Верхняя ветвь образующей:
y(x) = b * sqrt((x/a)² — 1), при |x| >= a.

Б.2. Радиус относительно смещённой оси вращения

Локальный радиус гиперболического участка:
r(x) = R — b * sqrt((x/a)² — 1), при |x| >= a.

Б.3. Центральная фокальная зона

Для центральной зоны:
r(x) = R, при |x| <= a.
Полная высота центральной зоны:
Hc = 2a.

Б.4. Условие геометрического смыкания

Условие полюсного смыкания:
r(x*) = 0

Отсюда:
x* = a * sqrt(1 + (R/b)²).

Б.5. Однородное масштабирование семейства форм

Закон подобия:
(a, b, R, λ, ΔR) -> (s a, s b, s R, s λ, s ΔR), где s > 0.
При этом сохраняются безразмерные параметры:
β = b/a, ρ = R/a, α = ΔR/λ, ka.

Б.6. Безразмерные параметры

β = b/a
ρ = R/a
α = ΔR/λ
ka = k * a

Б.7. Коэффициент центральной локализации

Общая каноническая форма:
ηcenter = E(Ωc) / E(Ωtrap)

Где E(Ωc) -энергия (или соответствующий физический аналог) в центральной зоне, а E(Ωtrap) -полная энергия в рабочей области.
В осесимметричной постановке интегралы считаются с соответствующим весом по ρ.

Б.8. Коэффициент вывода

Поток через щель:
Pslot

Коэффициент вывода:
ηout = Pslot / Pin

Б.9. Компромиссный функционал

Φ = ηcenter * ηout

Б.10. Закон направленности кольцевой апертуры

Главный масштабный закон:
θdiv ~ λ / R

В безразмерной форме:
λ / R = 2π / (kR) = 2π / ((ka)(R/a)) = 2π / ((ka)ρ)

Б.11. Приближение тонкого кольца

Для идеальной тонкой кольцевой апертуры:
I(θ) ≈ J0²(k R sin θ)

Угол до первого нуля:
θ0 ≈ 0.3827 * λ / R

Полуширина по половинной мощности:
θ1/2 ≈ 0.1793 * λ / R
(эти коэффициенты использовать как канонические только в тонкокольцевом приближении).
Основание для базового закона θdiv ~ λ/R уже закреплено в наших итоговых формулах.

Б.12. Параметр боковых лепестков

S = Iside,max / Imain

Б.13. Условие межфизической совместимости

U = U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q

Критерий сильной межфизической универсальности:
U ≠ ∅

Б.14. Норма возмущения для робастности

ϵ=макс (а∣ δ a ∣, б∣ δ b ∣, Р∣ δ R ∣, Δ R∣ δ Δ R ∣, δ φфаза)

Где δ φфаза- максимальное безразмерное фазовое/азимутальное увеличение геометрии кольцевой апертуры.

Б.15. Линейно контролируемая деградация метрик

Канонический вид оценок:
|δηcenter| <= C1 * ε
|δηout| <= C2 * ε
|δΦ| <= C3 * ε
|δθdiv| <= C4 * ε
|δS| <= C5 * ε

Б.16. Запас устойчивости

Каноническая формула:
ε* = min(Δc/C1, Δo/C2, ΔΦ/C3, Δθ/C4, ΔS/C5)

Приложение С. Реестр C1–C8

Таблица 7: Итоговый статус критериев C1–C8

Критерий	Название	Статус	Что закрыто	Что остаётся открытым
C1	Строгая геометрия	Доказано аналитически	Объёмная область, профиль rδ(x)r_δ(x)rδ(x), условие x∗=a√(1+(R/b)2)x^* = a√(1+(R/b)²)x∗=a√(1+(R/b)2)
C2	Центральная ловушка	Доказано аналитически	Существование ямы в эффективном потенциале Vn(x)V_n(x)Vn(x)
C3	Спектральные окна	Доказано аналитически	Существование интервалов локализации In(ka)I_n(ka)In(ka) ненулевой ширины
C4	Управляемый вывод	Доказано аналитически	Компромиссный функционал Φ=ηcenter∗ηout\Phi = η_{center} * η_{out}Φ=ηcenter∗ηout; возможность совмещения удержания и утечки
C5	Направленный вывод	Доказано аналитически	Закон расходимости θdiv λ/Rθ_{div} ~ λ/Rθdiv λ/R для синфазной щели
C6	Масштабная инвариантность	Доказано аналитически	Инвариантность в пространстве (β,ρ,α,ka)(\beta, \rho, \alpha, ka)(β,ρ,α,ka)
C7	Межфизическая переносимость	Сформулирован критерий для проверки	Условие UEM∩UAC∩UQ≠∅U_{EM} ∩ U_{AC} ∩ U_{Q} \ne ∅UEM∩UAC∩UQ =∅ как строгий критерий	Статус : Не установлено пересечение областей
C8	Робастность	Сформулирован критерий для проверки	Критерий с нормой εεε и запасом ε∗ε^*ε∗	Статус: Не построены 3D-карты чувствительности, не вычислен ε∗ε^*ε∗