Настоящая глава является вычислительным продолжением главы 18. Если там была окончательно зафиксирована геометрия псевдопараболоидов второго порядка и параметризация открытого режима через K, χ и ka, то здесь требуется решить следующий вопрос: в какой программной среде какой именно блок проверки должен выполняться и почему. Это принципиально важно для всей монографии, поскольку речь идёт не просто о выборе удобного интерфейса, а о построении воспроизводимой численной архитектуры, в которой скалярные и векторные волновые постановки, а также квантовый тест, проверяются согласованно, на одной и той же геометрии и в одном и том же безразмерном языке.

Главная задача этой главы состоит в том, чтобы снять два типа путаницы, почти неизбежных в подобных теориях. Первая путаница — смешение уровня физической задачи и уровня программного пакета. Уравнение Гельмгольца, Максвелла или Шрёдингера не зависит от того, решается ли оно в COMSOL, FreeFEM или FEniCS; пакет лишь задаёт форму, тип конечных элементов, удобство постановки PML и дальнего поля, скорость рассчёта и удобство постобработки. Вторая путаница — иллюзия, будто один пакет одинаково оптимален для всех частей задачи. Напротив, в логике монографии роли должны быть жёстко распределены: COMSOL предпочтителен для осесимметричного Helmholtz и особенно для полного 3D Maxwell, FreeFEM удобен как прозрачный weak-form полигон для осесимметричной скалярной задачи, а FEniCS и FEniCSx особенно полезны для параметрических рассчётов, проверки формы и чувствительности.

Таким образом, глава 19 должна читаться не как сравнительный обзор программных пакетов вообще, а как разделение вычислительных обязанностей внутри одной и той же монографии. Её логика жёстка: сначала строится простой уровень, затем на его основе отбираются перспективные области в пространстве параметров K, χ, ka, после чего эти области переводятся в более дорогой и более строгий Maxwell-блок, а затем квантовая постановка используется как независимый межфизический тест. Именно такая архитектура уже заложена в главе 9, а глава 19 превращает её в набор реальных расчётных шаблонов.

19.1. Общие требования к вычислительной среде

Прежде чем распределять задачи между пакетами, необходимо чётко сформулировать, что вообще требуется от вычислительной среды в контексте данной монографии. Во-первых, пакет должен поддерживать параметрическую геометрию, в которой закрытая форма и открытый режим апертуры однозначно определяются через K и χ. Во-вторых, он должен позволять работать с открытыми границами — либо через PML, либо через эквивалентные граничные условия рассеяния или излучения, поскольку без этого невозможно корректно извлекать η_out, θ_div и S_dB. В-третьих, должна существовать возможность строить рассчёты по ka, так как без них критерий спектральных окон C3 остаётся нечисленным. В-четвёртых, необходим удобный доступ к интегральным наблюдаемым, которые уже были зафиксированы в главе 9 как обязательный выход любого кода: η_center, η_out, D_axis и S.

Из этих требований видно, что хороший пакет для монографии — это не обязательно самый красивый визуально и не обязательно самый быстрый на одной фиксированной задаче. Настоящей мерой пригодности здесь является возможность построить сопоставимые карты по одинаковому набору параметров и одинаковому набору метрик. Если одна среда отлично решает Helmholtz, но не позволяет воспроизводимо извлекать дальнее поле или не поддерживает удобный параметрический расчёт, её роль будет ограниченной. Если другая среда удобна для Maxwell, но неудобна для других проверок, её также не следует делать единственным источником истины. Именно поэтому глава 19 должна завершаться не выбором лучшего пакета вообще, а архитектурой кросс-проверки.

Ещё одна принципиальная особенность данной монографии состоит в том, что у неё есть две вычислительные оси: физичсекая ось и ось утверждений. По физической оси идут Helmholtz, Maxwell и Schrödinger. По оси утверждений — корректность границ, устойчивость интегральных наблюдений и независимая повторяемость результатов в различных пакетах. Следовательно, глава 19 должна быть устроена так, чтобы ни один критически важный результат не опирался на единственную чёрную коробку. Для новой теории воспроизводимость здесь не менее важна, чем сами вычисленные картины поля.

19.2. Helmholtz-постановка как первый полный scalar-layer

В исходной монографии именно Helmholtz-постановка рассматривается как первый по-настоящему полный волновой уровень после Monte Carlo. Это совершенно логично. Скалярная Helmholtz-задача уже способна показать спектральные окна, локализацию в активной зоне, поток через апертуру и начальную диаграмму направленности, но при этом остаётся существенно дешевле и прозрачнее, чем полный Maxwell 3D.

В вычислительном виде эта постановка задаётся так. Основное уравнение: Δp + k^2 p = 0 в области Ω. Граничные условия: ∂_n p = 0 на жёстких стенках, PML или излучающее условие на открытой внешней границе, а также заданный источник или портовое условие на входной границе Γ_in. Для осесимметричной постановки слабая форма записывается в виде: интеграл по Ω от выражения ((∇p · ∇v) — k^2 p v) r dr dz равен интегралу по Γ_in от g v r ds.

Эта запись важна по нескольким причинам. Она сразу показывает, что для осесимметричных открытых и закрытых псевдопараболоидов замечание по K, χ и ka первой рабочей средой естественно становится именно осесимметричным Helmholtz. Она облегчает независимую проверку в FreeFEM и FEniCS. И, наконец, она прямо задаёт, где должна быть сосредоточена сеточная точность: в клиновой зоне, на кромке щели и в области PML. Иначе говоря, глава 19 не просто называет Helmholtz первым шагом, а показывает, как он должен быть реализован, чтобы действительно служить надёжной базой для критерия C3.

С методологической точки зрения именно Helmholtz должен стать первым полигоном для построения карт η_center(K, χ, ka). Причина проста: если рабочие области не обнаруживаются уже на этом уровне, нет смысла немедленно переходить к значительно более дорогому 3D Maxwell.

19.3. Maxwell-постановка как главный векторный тест

Полный электромагнитный расчёт в монографии должен опираться на уравнение Максвелла для электрического поля E: curl(μ^(-1) curl E) — ω^2 ε E = 0 в объединённой области Ω_ext ∪ Ω_trap. Граничные условия задаются так: n × E = 0 на стенках с идеальной электропроводностью, а на внешней границе — поглощающие условия PML или эквивалентное излучающее условие.

Именно этот блок является центральным испытанием всей теории. Если Helmholtz ещё можно рассматривать как мягкий волновой уровень, то Maxwell — это уже полноценный тест направленности, поляризации, модового состава и реальной роли азимутальной гармоники m = 0. В главах 6, 8, 11 и 17 уже было подчёркнуто, что для горизонтальной кольцевой щели геометрически узкий осевой выход существует только при доминировании осесимметричной компоненты. Следовательно, именно Maxwell-блок должен окончательно ответить, подтверждается ли этот режим в векторной постановке или нет.

С научной точки зрения Maxwell-блок должен решать четыре конкретные задачи. Первая — построение реальных карт η_center и η_out в векторной постановке. Вторая — вычисление дальнего поля и выделение θ_div, а также уровня боковых лепестков S_dB. Третья — модовый анализ по m, то есть проверка того, сохраняется ли рабочая осесимметричная компонента на кольцевой щели. Четвёртая — проверка устойчивости этих результатов к открытой границе, сетке и PML. Только если все четыре пункта выполнены, Maxwell-блок действительно сможет закрывать критерии C4, C5 и часть C7, а не просто давать векторные картинки.

19.4. Schrödinger-постановка как квантовый тест геометрической ловушки

Квантовая часть главы 19 не должна восприниматься как декоративное приложение для полноты. Напротив, в логике всей монографии Schrödinger-постановка играет интересную роль. Именно она проверяет, сохраняется ли аттракторный смысл геометрии не только для классических волн, но и для квантовых квазистационарных состояний.

Основное уравнение для волновой функции ψ: — (ħ^2 / 2m) Δψ + Vψ = Eψ. Граничные условия: ψ = 0 на жёстких стенках, а на открытой границе — излучающее или поглощающее условие типа CAP. Для первого геометрического теста внутри рабочей области допускается принимать V = 0 и жёсткие стенки. Для открытого режима наружная область вводится через CAP или PML-аналог.

Такое упрощение оправдано, поскольку задача раздела IV состоит не в моделировании конкретной квантовой системы с богатой внутренней потенциальной структурой, а в проверке того, удерживает ли сама геометрия квазистационарные состояния и какова их утечка через геометрически организованный выход. Именно поэтому в FEniCS эта задача рассматривается как особенно удобная для параметрических рассчётов по ka и чувствительности по K и χ.

Интерес Schrödinger-блока состоит в том, что он вводит в критерий C7 наиболее строгий тип переносимости. Если, несмотря на различие физической интерпретации, безразмерное окно K, χ, ka оказывается рабочим и здесь, это чрезвычайно усиливает аргумент в пользу подлинной геометрической универсальности механизма.

19.5. Практическое распределение ролей между пакетами

Таблица 25. Практическое распределение ролей между COMSOL, FreeFEM и FEniCS.

Среда	Оптимальный блок	Сильная сторона	Критическое замечание
COMSOL Multiphysics	Helmholtz axisymmetric; RF/EMW 3D; Schrödinger general PDE	Быстрая постановка PML, eigenfrequency, far-field и параметризации по K, χ, ka	Maxwell-секция предпочтительна именно здесь
FreeFEM	Осесимметричный Helmholtz и Schrödinger в weak form	Ясный контроль вариационной формы и сходимости сетки	Полный 3D Maxwell менее удобен; лучше использовать как контрольный полигон для scalar-задач
FEniCS / FEniCSx	Helmholtz, Schrödinger, параметрические рассчёты, чувствительность	Автоматизация расчётных карт и постобработка на Python	Для Maxwell требуется аккуратная работа с edge-elements и базисом Недеlec

Смысл этой таблицы следует понимать особенно ясно. Она не говорит, что один пакет лучше другого вообще. Она распределяет роли так, чтобы сильные стороны каждого инструмента работали на общую задачу монографии. COMSOL оказывается главным полигоном для тех частей, где наиболее важны готовые и устойчивые реализации PML, собственная частота и дальнее поле, то есть прежде всего для Maxwell 3D. FreeFEM нужен там, где особенно ценнен независимый контроль. FEniCS и FEniCSx становятся идеальным слоем для автоматизации рассчётов, чувствительности и постобработки карт.

Очень важно и критическое замечание в последнем столбце таблицы. Оно показывает, где каждая среда перестаёт быть оптимальной. Для Maxwell 3D не стоит утверждать, что любой пакет одинаково удобен; поэтому основной полигон — COMSOL. Для FreeFEM не нужно специально расширять зону применения в сторону тяжёлого векторного 3D Maxwell, если он уже прекрасно работает как скалярный верификатор слабой формы. Для FEniCS нельзя забывать о его сложности. Именно такие уточнения и делают таблицу 25 по-настоящему сильной.

19.6. Как должна быть организована кросс-проверка

Одна из наиболее важных мыслей раздела IV состоит в том, что работы годятся только для отбора области поиска, но не для доказательства устойчивого окна C3 или положительного полноволнового ε*. Любая рабочая точка, найденная на промежуточном слое, должна быть перепроверена на реальной сетке и с реальными граничными условиями. Из этого немедленно следует необходимость кросс-проверки минимум в двух вычислительных пакетах.

Практически такая кросс-проверка должна быть организована ступенчато. Первая ступень — это COMSOL или FreeFEM / FEniCS для осесимметричного Helmholtz, где строятся первичные карты η_center(K, χ, ka). Вторая ступень — независимое повторение формы в другой среде с проверкой сеточной сходимости и интегральных наблюдаемых объектов. Третяя ступень — Maxwell 3D в COMSOL с PML и дальнее поле. Четвёртая ступень — это экспериментальный инструмент в FEniCSx, либо совершенно неизвестная система с открытым исходным кодом для редуцированной проверки. И, наконец, пяая ступень — Schrödinger рассчёт как независимый межфизический тест. Такая структура не избыточна: она является вычислительным аналогом той научной осторожности, которую монография последовательно демонстрирует с самого начала.

Важнейшая практическая деталь при этом уже указана в исходной монографии: для каждого шага должна фиксироваться таблица сходимости, включающая число элементов на длину волны, локальное сгущение в клине, число степеней свободы, толщину PML и устойчивость интегральных наблюдаемых объектов. Это превращает кросс-проверку из общего пожелания в воспроизводимый протокол.

19.7. Выводы по главе

Глава 19 распределяет полные расчётные постановки между COMSOL, FreeFEM и FEniCS не по принципу удобства интерфейса, а по их роли в общей верификационной архитектуре монографии. Helmholtz служит первым уровнем, Maxwell — главным векторным тестом, Schrödinger — квантовым межфизическим тестом.

Для Helmholtz уже задана прозрачная weak form осесимметричной постановки, что делает FreeFEM и FEniCS особенно важными как независимые среды для проверки scalar-задачи и для построения первичных карт η_center(K, χ, ka).

Для полного Maxwell 3D предпочтительным основным полигоном является COMSOL, поскольку именно здесь удобнее всего реализуются PML, far-field, eigenfrequency и open-boundary постановка; FEniCSx в этом блоке требует Nédélec-элементов, а FreeFEM целесообразнее использовать для reduced-проверок, а не как главный Maxwell-движок.

Квантовый Schrödinger-блок должен использовать ту же самую геометрию и тот же безразмерный язык K, χ, ka, чтобы реально участвовать в критерии межфизической универсальности, а не оставаться декоративной аналогией.

Центральное содержание главы 19 — это не сами численные карты, а воспроизводимый протокол их получения: параметрическая геометрия, открытая внешняя граница, таблицы сходимости, кросс-проверка минимум в двух вычислительных пакетах и единый набор интегральных observables.