Настоящая глава выполняет важную переходную функцию внутри всей монографии. Если в предыдущих главах были по отдельности построены геометрия псевдопараболоидов второго порядка, их локальная асимптотика, Monte Carlo-калибровка удержания и аналитические формулы для апертур, то здесь все эти элементы впервые сводятся в один инженерный расчётный язык. Иными словами, именно в этой главе абстрактная безразмерная теория начинает работать как проектный инструмент: задан целевой уровень удержания, выбран тип возбуждения, после чего по известному параметру K=f/R определяется конкретная геометрия открытого режима и его первый дифракционный прогноз.

Сразу нужно подчеркнуть, что расчёты настоящей главы имеют строго определённый статус. Они не заменяют Helmholtz-, Maxwell- или Schrödinger-постановку и не должны пониматься как окончательное доказательство направленного поведения в открытом режиме. Их функция иная: показать механику проектирования, то есть продемонстрировать, как закрытая полость из главы 4 соединяется с апертурной аналитикой главы 5 и с первыми законами направленности главы 6. Именно в таком смысле эти таблицы являются содержательными: они переводят теорию в язык выбора размеров, положений щелей и ожидаемой ширины выходного пучка первого порядка.

Для всей главы фиксируется единая нормировка:

R = 10,
lambda = 1,
K = f / R,
a = R^2 / (4f) = R / (4K),
chi = Delta / lambda.

При такой записи все числа в таблицах становятся прямой инженерной проекцией уже выведенных безразмерных законов. Выбор R=10 и lambda=1 не имеет самостоятельного физического привилегированного статуса; он нужен для того, чтобы на одном и том же масштабе сравнить вертикальную и горизонтальную топологии и не смешивать геометрию с произвольной сменой единиц измерения.

Принцип формирования таблиц таков. Сначала из Monte Carlo-кривых удержания выбираются характерные рабочие точки по K для заданных целевых уровней eta_MC. Затем для этих K подставляются точные формулы положения апертуры. Для вертикальной топологии это полярные окна, для горизонтальной — кольцевая щель. Наконец, для каждой апертуры добавляется первая дифракционная оценка направленности: закон круглой апертуры для вертикального случая и закон тонкого кольца для горизонтального. В результате получается не просто набор чисел, а законченная инженерная цепочка:

целевая метрика удержания -> выбор K -> восстановление f и a -> выбор chi и Delta -> вычисление положения щели -> первый прогноз направленности.

С методологической точки зрения эта глава особенно важна потому, что она наглядно показывает: одна и та же геометрия не даёт единственного универсального процента удержания и единственного универсального выхода. Даже на фиксированном масштабе R=10 поведение определяется сочетанием трёх факторов: топология, тип возбуждения и относительная ширина апертуры. Следовательно, инженерное проектирование псевдопараболоидов не может быть сведено ни к одному «магическому» значению K, ни к одной «правильной» щели. Оно всегда является задачей компромисса между удержанием, выводом и направленностью.

10.1. Вертикальная топология: полярные окна

Вертикальный псевдопараболоид в открытом режиме естественным образом переходит к схеме с полярными окнами. Это непосредственно связано с локальной топологией его активных зон. В замкнутой постановке удержание в вертикальной форме организуется в полярных клиновых областях. Поэтому, если открывать такую геометрию, то наиболее естественно делать это именно вблизи полюсов, где поверхность уже сама подсказывает локальную апертурную структуру. Иначе говоря, полярное окно для вертикальной топологии не навязывается извне, а продолжает собственную геометрию формы.

При этом важно не перепутать два разных вопроса: где апертуру геометрически разумно разместить и будет ли такая апертура сама по себе узконаправленной. На первый вопрос теория отвечает уверенно: да, полярное окно является естественным вариантом. На второй — значительно осторожнее: нет, полярное окно не становится автоматически коллимирующим элементом только потому, что оно лежит в полярной зоне. Это по-прежнему круглая апертура, и её дальнее поле подчиняется обычному закону Эйри. Тем самым уже на уровне аналитики видно, что вертикальная топология скорее приспособлена к управляемому двухосевому выводу, чем к одноступенчатой узкой коллимации.

Для вертикальной топологии используются следующие точные формулы. Если полная ширина каждого полярного окна равна Delta, то локальный радиус окна есть

rho_s = Delta / 2.

Положение среза относительно полюса задаётся формулой

s_exact = (R Delta — Delta^2 / 4) / (4f),

а координаты окон относительно оси X имеют вид

X_s = ±(a — s_exact).

Здесь параметр a равен

a = R^2 / (4f) = R / (4K).

Именно эти соотношения определяют геометрию таблицы 8. Для оценки направленности используется первый нуль диаграммы круглой апертуры:

theta0_vert ≈ arcsin(1.22 lambda / Delta) = arcsin(1.22 / chi).

При lambda = 1 и chi = Delta / lambda это даёт особенно прозрачный инженерный язык: ширина выходного конуса определяется фактически только отношением Delta к длине волны.

Таблица 8. Пример расчёта полярных окон для R = 10 и lambda = 1 на основе значений K.

regime	eta_MC,%	K	f	a	chi	Delta	s_exact	X_s	theta0_vert,deg
central	80	0.0193	0.193	129.533	0.5	0.5	6.3957	123.138	90.0
central	80	0.0193	0.193	129.533	2.0	2.0	24.6114	104.9223	37.5895
central	70	0.0309	0.309	80.9061	0.5	0.5	3.9947	76.9114	90.0
central	70	0.0309	0.309	80.9061	2.0	2.0	15.3722	65.534	37.5895
uniform	80	0.0084	0.084	297.619	0.5	0.5	14.6949	282.9241	90.0
uniform	80	0.0084	0.084	297.619	2.0	2.0	56.5476	241.0714	37.5895
uniform	70	0.013	0.13	192.307	0.5	0.5	9.4952	182.8125	90.0
uniform	70	0.013	0.13	192.307	2.0	2.0	36.5385	155.7692	37.5895

Прежде всего таблица 8 показывает, насколько сильно значение K управляет глубиной и масштабом открытого вертикального резонатора. При уменьшении K параметр a растёт как 1/K, а значит, вся полость резко вытягивается. Поэтому даже небольшое полярное окно с фиксированным Delta вырезается геометрически очень далеко от экватора. Например, при uniform-режиме и eta_MC = 80% величина K = 0.0084 даёт a ≈ 297.619, а окно с Delta = 0.5 располагается при X_s ≈ 282.9241. Это означает, что проектируемая открытый режим геометрия остаётся чрезвычайно длинной и слабо возмущённой относительно исходной замкнутой формы. С точки зрения удержания — это удобно; с точки зрения компактности и коллимации — значительно менее выгодно.

Далее нужно обратить внимание на то, как меняется положение окна при переходе от chi = 0.5 к chi = 2.0. Поскольку s_exact возрастает с ростом Delta, окно уходит глубже внутрь полости. Это соответствует простой физике: чем больше апертура, тем сильнее она срезает полярную часть поверхности. Но эта же операция увеличивает утечку и уменьшает «чистоту» замкнутого режима. Следовательно, один и тот же шаг, как увеличение chi — одновременно улучшает перспективу направленности и ухудшает сохранность внутренней ловушки. В этом и состоит классический открытый режим компромисс, который в псевдопараболоидной теории впервые становится численно обозримым на конкретных примерах.

Особенно показателен последний столбец таблицы 8. Для chi = 0.5 получаем theta0_vert = 90 градусов. Это означает, что первый нуль апертурной диаграммы не формирует узкий осевой пучок; фактически речь идёт о почти широкоугольном выходе. Даже для chi = 2.0 первый нуль остаётся около 37.5895 градуса, то есть поток всё ещё нельзя назвать узкоколлимированным в строгом инженерном смысле. Вертикальный псевдопараболоид может хорошо удерживать энергию и аккуратно выводить её через полярные окна, но сам по себе не даёт игольчатого луча. Именно поэтому в дальнейших инженерных интерпретациях вертикальная топология должна рассматриваться либо как режим управляемого вывода, либо как первая ступень двухкаскадной системы, где окончательная коллимация выполняется внешним элементом.

Сравнение центрального и объёмного возбуждения даёт дополнительный важный вывод. Для объёмного возбуждения те же уровни eta_MC достигаются при меньших K, чем для центрального режима воздуждения. Геометрически это означает ещё более вытянутую полость и ещё более удалённые полярные окна. Следовательно, при объёмном возбуждении вертикальная топология платит за сохранение высокого уровня удержания значительным ростом габаритов. В инженерных терминах это значит, что вертикальный открытый режим особенно чувствителен к задаче масштабирования: высокая эффективность удержания не бесплатна, она оплачивается длиной конструкции и слабой естественной коллимацией.

Отсюда вытекает строгий промежуточный вывод. Вертикальная топология пригодна для проектирования управляемого вывода, причём её геометрия легко поддаётся точному расчёту по формулам s_exact и X_s. Однако её нельзя представлять, как естественный одноступенчатый механизм узконаправленного излучения. Это не недостаток теории, а прямое следствие дифракционной физики круглой апертуры. Чем раньше это ограничение фиксируется прямо в монографии, тем сильнее становится вся дальнейшая инженерная логика монографии.

10.1.1. Проверка внутренней согласованности таблицы 8.

Важным преимуществом настоящей редакции является то, что таблица 8 согласована с уже введённой математикой и с расчётным Python-каркасом. Все значения a получаются из формулы a = R^2 / (4f), а все значения s_exact — из точной формулы полярного среза. Например, для строки central, eta_MC = 80%, K = 0.0193, f = 0.193 и Delta = 2.0 получаем

a = 100 / (4 · 0.193) = 129.5337,

s_exact = (10 · 2.0 — 2.0^2 / 4) / (4 · 0.193) = 24.6114,

X_s = a — s_exact = 104.9223,

что совпадает с таблицей. Аналогично проверяется и формула theta0_vert ≈ arcsin(1.22 / chi): при chi = 2.0 она даёт 37.5895 градуса, а при chi = 0.5 формально выходит за единичный аргумент синуса, что и интерпретируется как практически широкоугольный выход, записанный в таблице как 90.0 градуса. Тем самым таблица 8 внутренне согласована и с аналитикой главы 5, и с дифракционным законом главы 6.

10.2. Горизонтальная топология: кольцевая щель

Горизонтальная топология формирует совершенно иной тип открытого режима конфигурации. Если в вертикальном случае энергия естественно снимается через локализованные полярные области, то здесь апертурный вывод организуется на экваториальном кольце, то есть вдоль всей окружности радиуса, близкого к a. Это означает, что главная геометрическая величина, управляющая направленностью, — не малая высота щели сама по себе, а большой радиус кольца rho_s. Поэтому у горизонтального псевдопараболоида появляется принципиально иной шанс на узкую направленность: она возникает не из большой щели, а из большой эффективной излучающей окружности.

Но и здесь нужно сохранять научную осторожность. Кольцевая щель даёт узкий осевой лепесток не по факту своего существования, а только при выполнении модового условия. На апертуре должна доминировать осесимметричная компонента m = 0. Если же фазовое поле по окружности неосесимметрично, энергия будет уходить в тороидальные лепестки или в широкую многолепестковую диаграмму. Поэтому таблица 9 — это не доказательство автоматически направленного кольцевого излучателя, а аналитически и численно мотивированная демонстрация того, насколько сильным может быть выигрыш по масштабу направленности, если условие m = 0 действительно обеспечено.

Для горизонтальной топологии используются следующие точные формулы. Если полная высота кольцевой щели равна Delta, то

|Z_s| = Delta / 2,

rho_s = (R — Delta / 2)^2 / (4f),

delta_exact = a — rho_s = (R Delta — Delta^2 / 4) / (4f).

Волновой параметр кольца равен

k rho_s = (2 pi / lambda) rho_s.

Первый нуль диаграммы тонкой кольцевой щели описывается формулой

theta0_ring ≈ arcsin(2.4048 / (k rho_s)).

При lambda = 1 это означает, что уже достаточно большой rho_s резко сужает диаграмму. И именно здесь проявляется фундаментальное преимущество горизонтальной топологии: при малых K радиус a велик, следовательно, велик и rho_s, а значит, даже тонкая щель остаётся крупной осесимметричной апертурой.

Таблица 9. Пример расчёта кольцевой щели для R = 10 и lambda = 1 на основе значений K.

regime	eta_MC,%	K	f	a	chi	Delta	delta_exact	rho_s	k_rho_s	theta0_ring,deg
central	80	0.0273	0.273	91.5751	0.5	0.5	4.5215	87.0536	546.9737	0.2519
central	80	0.0273	0.273	91.5751	2.0	2.0	17.3993	74.1758	466.0604	0.2956
central	70	0.0419	0.419	59.6659	0.5	0.5	2.9460	56.7199	356.3814	0.3866
central	70	0.0419	0.419	59.6659	2.0	2.0	11.3365	48.3294	303.6623	0.4538
uniform	80	0.0171	0.171	146.1980	0.5	0.5	7.2186	138.9800	873.2387	0.1578
uniform	80	0.0171	0.171	146.1980	2.0	2.0	27.7778	118.4210	744.0614	0.1852
uniform	70	0.0320	0.320	78.1250	0.5	0.5	3.8574	74.2676	466.6370	0.2953
uniform	70	0.0320	0.320	78.1250	2.0	2.0	14.8438	63.2812	397.6078	0.3465

Если читать таблицу 9 последовательно, то сразу бросается в глаза колоссальная разница по столбцу theta0_ring. Для всех приведённых режимов значения лежат существенно ниже одного градуса. Это не случайная особенность подбора параметров, а прямой геометрический эффект большого кольцевого радиуса. Даже при chi = 0.5 и достаточно умеренных уровнях eta_MC величина rho_s остаётся десятками и сотнями длин волн, так что параметр k rho_s становится очень большим. Следовательно, осевой лепесток для m = 0 по определению оказывается узким. Тем самым горизонтальная топология показывает именно то свойство, ради которого вся линия псевдопараболоидной открытый режим теории и вводилась: возможность совместить удержание с потенциально сильной направленностью не через узкие локальные окна, а через большую кольцевую апертуру.

Однако из таблицы 9 нельзя делать чрезмерно сильный вывод, будто горизонтальная щель уже доказанно работает как универсальный кольцевой коллиматор. Напротив, именно экстремально малые значения theta0_ring заставляют быть ещё осторожнее. Эта оценка справедлива только в той мере, в какой на кольце поддерживается квазиравномерная осесимметричная фаза. В реальной полноволновой 3D Maxwell-постановке небольшая азимутальная асимметрия, поляризационные эффекты, шероховатость кромки или возбуждение мод с m ≠ 0 могут радикально изменить реальную диаграмму. Следовательно, таблица 9 даёт не окончательный вердикт, а мощный аргумент в пользу того, что именно горизонтальная топология заслуживает первоочередного 3D Maxwell-моделирования.

Особенно полезно сравнить, как в таблице 9 ведут себя central- и uniform-режимы. При объёмном возбуждении целевые уровни удержания достигаются при меньших K, чем при центральном, а потому радиус a и связанный с ним rho_s становятся ещё больше. В результате потенциал горизонтальной формы в объёмном режиме усиливается ещё сильнее. Это очень хорошо согласуется с общим выводом раздела I, где горизонтальная топология уже выигрывала у вертикальной по Monte Carlo-показателям именно в режиме равномерного объёмного возбуждения. Таким образом, глава 10 не просто повторяет ранние выводы, а впервые соединяет их с апертурной физикой.

10.2.1. Проверка внутренней согласованности таблицы 9.

Как и в случае таблицы 8, значения таблицы 9 строго согласуются с аналитическими формулами. Например, для строки central, eta_MC = 80%, K = 0.0273, f = 0.273, Delta = 2.0 и R = 10 получаем

a = 100 / (4 · 0.273) = 91.5751,

rho_s = (10 — 1)^2 / (4 · 0.273) = 74.1758,

delta_exact = a — rho_s = 17.3993,

k rho_s = 2 pi · 74.1758 = 466.0604,

theta0_ring ≈ arcsin(2.4048 / 466.0604) = 0.2956 градуса.

Эти значения совпадают с таблицей. Тем самым она действительно является не набором приблизительных оценок, а прямым следствием уже выведенной математики щели и стандартной бесселевой оценки для тонкого кольца.

10.3. Сравнительный инженерный смысл

Только одновременное чтение таблиц 8 и 9 позволяет увидеть подлинную структуру всей открытый режим задачи. Если смотреть на них по отдельности, можно получить ложное впечатление, будто речь идёт просто о двух вариантах вывода из одной и той же полости. Но на самом деле это две разные инженерные философии.

Вертикальная схема реализует аккуратное вскрытие полости в естественных полярных зонах. Её сильные стороны — геометрическая ясность, сравнительно малая площадь вывода и мягкое возмущение внутренней ловушки. Её слабая сторона — отсутствие естественной узкой коллимации на одном шаге. Горизонтальная схема, напротив, использует экваториальное кольцо как глобальную апертуру. Её сильная сторона — потенциально очень узкий осевой лепесток. Её слабая сторона — высокая требовательность к модовому составу и к качеству полноволновой симметрии. Следовательно, сравнение этих топологий должно проводиться не в логике «какая лучше вообще», а в логике «какая лучше для данной функции устройства».

Если целевая задача состоит в том, чтобы снять энергию из резонатора, не разрушая его глубоко и не предъявляя экстремальных требований к фазовой согласованности поля, вертикальная топология остаётся разумным выбором. Если же ставится задача максимальной направленности при наличии возможности контролировать осесимметричный модовый состав, горизонтальная топология становится значительно более перспективной. Это и есть главный проектный итог главы 10: открытый режим теория псевдопараболоидов не навязывает одну «победившую» форму, а впервые даёт язык осмысленного инженерного выбора между двумя различными режимами.

Ещё один принципиальный момент состоит в том, что таблицы 8 и 9 не нужно читать как «таблицы готовых устройств». Они представляют собой именно демонстрационные сечения пространства параметров. В них выбраны только два значения chi и несколько характерных уровней eta_MC. В реальном проектировании нужно будет сканировать более плотную сетку по K, chi и ka, а также проверять чувствительность к неидеальности формы и шероховатости щели. Но даже в текущем виде таблицы уже выполняют важную функцию: они показывают масштаб цифр, характер компромиссов и тип расхождения между вертикальным и горизонтальным открытым режимом. Это превращает их из иллюстрации в инженерный инструмент первого приближения.

10.4. Выводы по главе

Настоящая глава завершает переход от абстрактной геометрии к инженерной проектировочной логике. На конкретном примере при R = 10 и lambda = 1 показано, как Monte Carlo-калибровка удержания, точные формулы размещения апертур и первые законы направленности соединяются в единую схему расчёта.

Главный вывод для вертикальной топологии состоит в том, что полярные окна геометрически естественны и хорошо рассчитываются, но сами по себе не обеспечивают узкую одноступенчатую коллимацию. Главный вывод для горизонтальной топологии состоит в том, что кольцевая щель уже на уровне первой бесселевой оценки даёт экстремально узкий осевой лепесток, однако только при условии доминирования моды m = 0 и сохранения азимутальной симметрии на апертуре. Следовательно, вертикальная схема естественна как режим управляемого вывода, а горизонтальная — как главный кандидат на направленный открытый режим, требующий приоритетного 3D Maxwell-моделирования.