Главная цель главы состоит в том, чтобы строго показать: механизм аттракторности в исследуемом семействе задаётся не формальным наличием «фокусов», а тем, как именно поверхность замыкается, как ведёт себя её производная в активных областях и какие безразмерные параметры управляют этой локальной геометрией. Именно поэтому центральное место здесь занимают корневая особенность, клиновая асимптотика, аспектное отношение, интегральные геометрические характеристики и закон подобия.

Во всех разделах ниже используется единый аппарат обозначений. Для вертикальной топологии внутренняя стенка описывается функцией ρ_v (X) = R − √(4f|X|) при |X| ≤ a, где a = R^2/(4f). Для горизонтальной топологии используется функция ρ_h (Z) = (R − |Z|)^2/(4f) при |Z| ≤ R. Эти две записи не являются альтернативными описаниями одной и той же поверхности, а задают две разные пространственные топологии, получаемые из одной и той же составной параболической образующей при разных осях вращения. Такое различение здесь проводится намеренно, чтобы в дальнейших главах уже не возникало смешения координат, радиальных переменных и локальных асимптотик.

3.1. Полярный клин вертикальной формы

Вблизи полюсов поверхность приобретает линейный закон моделирования. Именно это линейное замыкание и образует полярный клин — активную геометрическую область вертикального псевдопараболоида. Для анализа вводится локальная переменная s, измеряющая расстояние от полюса вдоль продольной оси: X = a − s при s ≪ a. Такой выбор переменной удобен тем, что позволяет рассматривать не всю поверхность целиком, а только её малую окрестность возле точки моделирования, где и возникает асимптотический режим.

Подстановка X = a − s в исходную формулу даёт точное выражение ρ_v (a − s) = R − √(R^2 − 4fs), поскольку 4fa = R^2. Далее используется стандартное разложение корня: √(R^2 − 4fs) = R√(1 − 4fs/R^2). При малых s выражение под корнем близко к единице, и мы получаем асимптотику √(1 − u) ≈ 1 − u/2 + O(u^2). После подстановки u = 4fs/R^2 имеем √(R^2 − 4fs) ≈ R − (2f/R)s + O(s^2). Отсюда немедленно следует линейный закон ρ_v (a − s) ≈ (2f/R)s + O(s^2).

X = a − s, s ≪ a, a = R^2/(4f)

ρ_v (a − s) = R − √(R^2 − 4fs) ≈ (2f/R)s + O(s^2)

α_w = arctan(2f/R)

Научный смысл этого результата состоит в том, что полюс вертикальной формы локально эквивалентен прямому конусу с постоянной первой производной. В отличие от корневой экваториальной зоны, где крутизна становится неограниченной, полярный режим обладает конечным и хорошо определённым углом раскрытия. Если интерпретировать ρ как поперечный радиус, а s как продольную координату вдоль оси, то наклон линейной асимптоты равен 2f/R. Следовательно, половинный угол клина определяется как α_w = arctan(2f/R). Этот угол нельзя путать ни с углом внешней апертуры, ни с дифракционным углом расходимости; он относится исключительно к локальной внутренней геометрии стенки.

Полярный клин важен потому, что именно в нём вертикальная форма приобретает свою первую естественную аттракторную зону в смысле критерия C2. Луч, который многократно попадает в окрестность полюса, взаимодействует уже не с гладкой стенкой, а с почти конической областью, где последовательные отражения происходят в относительно устойчивой клиновой геометрии. Это ещё не означает автоматического существования устойчивой квазимоды, но объясняет, почему в лучевой Monte Carlo-постановке именно полярные зоны оказываются активными для вертикального псевдопараболоида.

Для монографии принципиально важно сформулировать результат аккуратно. Доказанным является не «фокусирующее свойство полюса» и не «готовая ловушка», а точный факт линейного моделирования с коэффициентом 2f/R. Из него уже следует удобный инженерный вывод: при фиксированном R уменьшение K = f/R делает полярный клин более острым, а увеличение K — более открытым. Именно эта зависимость затем переходит в безразмерный язык параметра P = 2K и связывает локальную геометрию с характеристиками удержания в замкнутой полости и с характеристиками вывода в открытом режиме.

3.2. Экваториальный клин горизонтальной формы

Горизонтальный псевдопараболоид устроен геометрически иначе, чем вертикальный. В нём полюса при Z = ±R являются гладкими, а главная активная область переносится на экваториальную кромку, где радиус достигает максимума a = R^2/(4f). Поэтому локальный анализ здесь должен вестись не вблизи осевой точки, а вблизи внешнего радиального края.

Для вывода асимптотики удобно ввести малый параметр δ = a − ρ, характеризующий расстояние до экваториального края по радиусу. Тогда ρ = a − δ, где δ ≪ a. В точном уравнении горизонтальной поверхности |Z| = R − √(4fρ) подстановка ρ = a − δ приводит к формуле |Z| = R − √(R^2 − 4fδ). Дальнейшее разложение по малому δ полностью аналогично вертикальному полярному случаю: √(R^2 − 4fδ) ≈ R − (2f/R)δ + O(δ^2). Следовательно, |Z| ≈ (2f/R)δ + O(δ^2).

ρ = a − δ, δ ≪ a, a = R^2/(4f)

|Z| = R − √(R^2 − 4fδ) ≈ (2f/R)δ + O(δ^2)

α_w = arctan(2f/R)

Этот результат показывает, что экваториальная кромка горизонтальной формы локально является линейным клином. В координатах (δ, |Z|) она описывается прямой первого порядка с тем же коэффициентом наклона 2f/R, что и полярный клин вертикальной формы. Отсюда следует глубокое структурное сходство двух топологий: несмотря на принципиально разную глобальную форму, их наиболее активные линейные зоны управляются одним и тем же безразмерным параметром. Именно это обстоятельство и даёт право говорить не о двух несвязанных фигурах, а о едином семействе псевдопараболоидов с разной топологией аттрактора.

Физически экваториальный клин горизонтальной топологии особенно важен из-за своей кольцевой меры. В вертикальной форме полярная активная зона представлена двумя относительно малыми окрестностями полюсов. В горизонтальной форме активная зона образует целое кольцо радиуса, близкого к a. Поэтому при объёмном возбуждении вероятность того, что луч или модовая энергия неоднократно будут взаимодействовать именно с экваториальной клиновой областью, оказывается существенно выше. Это не является самостоятельным доказательством удержания, но создаёт геометрическую предпосылку для того, почему в Monte Carlo-калибровке горизонтальная топология выигрывает у вертикальной в режиме равномерного объёмного заполнения.

С точки зрения строгой формулировки C2 для горизонтальной формы нельзя говорить о «центральной ловушке» в старом смысле. Более корректно утверждать, что горизонтальный псевдопараболоид обладает экваториальной кольцевой аттракторной зоной, асимптотически эквивалентной линейному клину с углом раскрытия α_w = arctan(2f/R). Именно это экваториальное кольцо и является тем объектом, который должен затем проверяться в лучевой, акустической, электродинамической и, при необходимости, квантовой постановке.

3.3. Единый параметр клиновой открытости

Полученные в разделах 3.2 и 3.3 асимптотики приводят к одному и тому же коэффициенту линейного моделирования: 2f/R. Это обстоятельство имеет далеко идущий смысл. Оно означает, что локальная острота активной зоны определяется не двумя независимыми параметрами и не отдельными формулами для каждой топологии, а одной и той же безразмерной комбинацией геометрических размеров. Вводится единый параметр клиновой открытости P = 2f/R = 2K. Он играет роль моста между геометрией формы и последующими инженерными метриками удержания, вывода и робастности.

Параметр P удобен тем, что он сразу показывает тенденцию: чем меньше K = f/R, тем меньше P и тем острее клиновая зона. В пределе малых K поверхность вытягивается или расширяется так, что локальные активные области становятся всё более узкими. Для вертикальной топологии это означает более тонкий полярный конус и более длинную камеру. Для горизонтальной — более тонкое экваториальное лезвие и более широкий дискообразный радиус. В противоположную сторону, при росте K, клиновые зоны раскрываются, а поверхность становится геометрически более компактной. Таким образом, P — это не только формальный коэффициент первой производной, но и удобный индикатор топологической «остроты» формы.

P = 2f/R = 2K

α_w = arctan(2f/R) = arctan(2K)

Δ ≈ 2Pl = (4f/R)l

Вместе с параметром P естественно вводится и локальный угол клина α_w = arctan(P) = arctan(2K). Этот угол следует понимать, как асимптотический половинный угол линейного моделирования, а не как глобальный угол всей фигуры. Важно подчеркнуть, что α_w не должен смешиваться с безразмерной шириной апертуры χ = Δ/λ, которая появится в открытом режиме. Параметр α_w относится к внутренней геометрии стенки, тогда как χ характеризует уже введённое возмущение в виде щели или окна. Такое разведение обозначений обязательно для аппарата всей монографии.

С инженерной точки зрения P и α_w особенно полезны тем, что они позволяют сразу переписать локальные законы вывода в компактном виде. Если расстояние до идеального моделирования обозначить через l, то локальная полная ширина щели в первом порядке масштаба ведёт себя как Δ ≈ 2Pl. Эта формула ещё не относится к конкретной топологии: она одинаково применима и к полярным окнам вертикальной формы, и к экваториальной кольцевой щели горизонтальной формы. Тем самым в одной строке фиксируется общий линейный закон перехода от внутренней клиновой геометрии к инженерной геометрии апертур.

Для научной логики монографии этот раздел играет роль ключевого узла. Он показывает, что локальная активная зона вертикального и горизонтального псевдопараболоида, несмотря на разную глобальную топологию, подчиняется одному безразмерному управляющему параметру. Следовательно, различие между топологиями начинается не на уровне коэффициента линейного моделирования, а на уровне меры активной области, глобальной геометрии и модово-статистического взаимодействия с возбуждением. Именно это и объясняет, почему одни и те же значения P могут приводить к разной эффективности удержания при разных типах возбуждения.

Рисунок 5. Сравнение точной геометрии и линейной асимптотики для полярного и экваториального клиньев.

3.4. Аспектное отношение

После анализа локальных особенностей естественно перейти к глобальной геометрии формы. Наиболее удобной характеристикой здесь является аспектное отношение Λ = a/R. Оно показывает, насколько далеко по одной координате простирается фигура по сравнению со своим базовым масштабом смещения оси вращения. Для вертикального псевдопараболоида величина a определяет полудлину вдоль продольной оси, так что полная длина равна L_v = 2a = R^2/(2f), а максимальный диаметр остаётся равным D_v = 2R. Для горизонтального псевдопараболоида, наоборот, высота фиксирована как H_h = 2R, а максимальный диаметр диска равен D_h = 2a = R^2/(2f). Несмотря на различие физического смысла, одна и та же безразмерная величина Λ описывает и вытянутость вертикальной формы, и расширенность горизонтальной.

Подставляя a = R^2/(4f), получаем Λ = a/R = 1/(4K). Именно эта простая формула связывает глобальную геометрию с локальным параметром клиновой открытости. Чем меньше K, тем больше Λ: вертикальная полость становится всё длиннее при фиксированном диаметре, а горизонтальная — всё шире при фиксированной высоте. Тем самым одна и та же операция уменьшения K одновременно делает активные клиновые зоны более острыми и увеличивает глобальное аспектное отношение формы. Это один из важнейших геометрических выводов всей главы, поскольку он показывает, что локальная и глобальная геометрия здесь не независимы, а связаны одной и той же параметрической осью.

L_v = 2a = R^2/(2f), D_v = 2R

H_h = 2R, D_h = 2a = R^2/(2f)

Λ = a/R = 1/(4K)

В инженерной интерпретации аспектное отношение важно по двум причинам. Во-первых, оно определяет геометрическую ёмкость полости: при больших Λ увеличивается пространство, в котором могут существовать длинные лучевые траектории и более сложные модовые структуры. Во-вторых, оно влияет на то, насколько сильно активная зона «выделена» на фоне всего объёма. Для вертикальной формы малая клиновая область полюса располагается на концах всё более длинной камеры. Для горизонтальной формы экваториальное кольцо оказывается границей всё более широкого диска. Это различие затем и приводит к разной статистике взаимодействия с возбуждением.

С научной точки зрения здесь особенно важно не переоценить полученный результат. Формула Λ = 1/(4K) ещё не говорит, что большой аспект автоматически гарантирует сильное удержание. Она лишь показывает, что уменьшение K одновременно обостряет активную зону и меняет общую геометрию резонатора. Следовательно, любое утверждение об «оптимальном K» должно опираться уже не только на геометрию, но и на конкретную физическую постановку: лучевую, акустическую, электродинамическую или квантовую. Тем не менее именно аспектное отношение делает параметр K особенно содержательным, поскольку превращает его из локального коэффициента в глобальный индекс формы.

Аспектное отношение рассматривается как обязательный элемент описания семейства. Это позволяет уйти от нестрогих выражений вроде «вытянутый», «плоский», «острый» и заменить их точной безразмерной характеристикой. Такой переход принципиален для дальнейшего сравнения разных реализаций, масштабных копий и расчётных моделей: при совпадении K и, следовательно, Λ, формы являются геометрически подобными независимо от абсолютных размеров.

3.5. Объём вертикального псевдопараболоида

Интегральные геометрические характеристики важны потому, что они переводят локальную форму в измеримые глобальные величины. Первой такой характеристикой является объём вертикального псевдопараболоида. Поскольку вертикальная форма осесимметрична относительно продольной оси X, её объём естественно вычисляется как объём тела вращения с радиусом ρ_v (X). В точной постановке имеем V_v = π∫_{−a}^{a}[ρ_v (X)] ^2 dX = π∫_{−a}^{a}[R − √(4f|X|)]^2 dX. Благодаря чётности подынтегральной функции интеграл удобно удвоить по полуинтервалу [0, a].

Внутри интеграла возникает выражение [R − 2√(fX)] ^2 = R^2 − 4R√(fX) + 4fX. Его почленное интегрирование на отрезке [0, a] не представляет трудности: ∫R^2 dX = R^2a, ∫√X dX = (2/3)X^{3/2}, ∫X dX = X^2/2. После подстановки предела a = R^2/(4f) получается взаимная компенсация коэффициентов, и окончательный результат принимает замкнутый вид V_v = πR^4/(12f). Эквивалентно его можно переписать как V_v = (π/3)R^2a, что особенно удобно для геометрической интерпретации.

V_v = π ∫_{−a}^{a} [R − √(4f|X|)]^2 dX = 2π ∫_{0}^{a} [R − 2√(fX)] ^2 dX

V_v = πR^4/(12f) = (π/3)R^2a

Данный результат имеет несколько важных следствий. Во-первых, при фиксированном R объём вертикальной полости растёт обратно пропорционально f, а значит и обратно пропорционально K. Иначе говоря, уменьшение K не только делает вертикальную форму более длинной, но и прямо увеличивает доступный объём полости. Во-вторых, запись V_v = (π/3)R^2a показывает, что вертикальный псевдопараболоид по масштабу объёма ведёт себя как «эффективная труба» длины порядка a и поперечного масштаба порядка R, но с существенной поправкой на то, что стенка не цилиндрическая, а корнево-параболическая.

Однако научно важно подчеркнуть границу выводов. Сам по себе большой объём не равен сильному удержанию. Объём — это лишь геометрическая мера вместимости, а не динамическая мера устойчивости траекторий или мод. Тем не менее для лучевой статистики и для плотности спектра глобальных собственных состояний он имеет значение: более крупная полость допускает большее разнообразие путей и может по-разному влиять на время нахождения энергии внутри резонатора. Поэтому включение объёма в главу 3 не является декоративным; это необходимая часть перехода от локальной геометрии к глобальной структуре возможной динамики.

Объём вертикального псевдопараболоида трактуется как строго доказанная интегральная характеристика семейства. Это один из тех результатов, которые не требуют Monte Carlo и не зависят от конкретной физики волн. Их сила состоит именно в том, что они выводятся аналитически и служат надёжным основанием для дальнейших инженерных и полноволновых расчётов.

3.6. Объём горизонтального псевдопараболоида

Для горизонтальной топологии объём вычисляется аналогично, но геометрия сечения иная. Теперь ось симметрии совпадает с осью Z, а поперечный радиус определяется функцией ρ_h (Z) = (R − |Z|)^2/(4f). Следовательно, объём равен V_h = π∫_{−R}^{R}[ρ_h (Z)] ^2 dZ = π∫_{−R}^{R}[(R − |Z|)^2/(4f)] ^2 dZ. Подынтегральная функция снова чётна, поэтому достаточно рассмотреть полуинтервал [0, R] и затем удвоить результат.

На промежутке Z ≥ 0 имеем ρ_h (Z) = (R − Z) ^2/(4f), и, следовательно, [ρ_h (Z)] ^2 = (R − Z)^4/(16f^2). После интегрирования по Z от 0 до R получаем стандартный полиномиальный результат: ∫_{0}^{R}(R − Z)^4 dZ = R^5/5. Учитывая коэффициенты и чётность, приходим к точной формуле V_h = πR^5/(40f^2). Эквивалентная запись через параметр a имеет вид V_h = (2π/5)a^2R. Эта форма особенно показательна, поскольку прямо демонстрирует квадратичную зависимость от большого радиуса a.

V_h = π ∫_{−R}^{R} [(R − |Z|)^2/(4f)] ^2 dZ = 2π ∫_{0}^{R} (R − Z)^4/(16f^2) dZ

V_h = πR^5/(40f^2) = (2π/5)a^2R

По сравнению с вертикальной топологией здесь обнаруживается более быстрый рост объёма при уменьшении K. Если при фиксированном R вертикальный объём рос как 1/K, то горизонтальный объём масштабируется как 1/K^2. Геометрически это естественно: у вертикальной формы при уменьшении K в основном растёт длина, а поперечный масштаб остаётся порядка R. У горизонтальной формы при тех же изменениях K расширяется именно большой радиус экваториального диска, и поэтому объём увеличивается быстрее. Эта разница и становится одним из главных интегральных различий двух топологий.

Физически такой результат особенно важен для режимов объёмного возбуждения. Чем больше геометрическая ёмкость полости, тем выше вероятность того, что большое множество начальных точек и направлений будет статистически вовлекаться в взаимодействие с активной клиновой зоной. В горизонтальной форме эта ёмкость распределена вокруг экваториального аттракторного кольца, то есть вокруг геометрически привилегированной области, имеющей большую меру по азимуту. Поэтому аналитический вывод о масштабировании объёма хорошо согласуется с тем фактом, что в лучевой Monte Carlo-калибровке горизонтальная топология особенно выигрывает именно при равномерном объёмном возбуждении.

Как и в предыдущем разделе, важно не подменять геометрическую характеристику динамической. Формула для V_h не доказывает удержание, направленность или модовую устойчивость. Но она строго показывает, что горизонтальный псевдопараболоид образует существенно более «ёмкую» полость при малых K, чем вертикальный. Следовательно, всякий серьёзный сравнительный анализ двух топологий обязан учитывать этот интегральный факт ещё до запуска лучевых или полноволновых расчётов.

3.7. Следствие для геометрической ёмкости

Сопоставление полученных объёмов даёт особенно наглядный интегральный вывод о различии двух топологий. Деление V_h на V_v устраняет общие размерные множители и оставляет простую безразмерную формулу V_h/V_v = 3R/(10f) = 3/(10K). Это означает, что при равных R и f горизонтальный псевдопараболоид становится объёмно выгоднее вертикального тем сильнее, чем меньше параметр K. Уже сама эта формула показывает, что глобальная геометрическая асимметрия между двумя топологиями при малых K не является слабым эффектом; она возрастает как 1/K и потому принципиально важна для всей дальнейшей физической интерпретации.

Здесь можно говорить не просто об отношении объёмов, а о следствии для геометрической ёмкости. Под геометрической ёмкостью здесь понимается не электростатическая и не термодинамическая величина, а интегральная способность полости предоставлять пространство для внутренней динамики траекторий и мод. Такая терминология оправдана постольку, поскольку сравниваются не отдельные точки отражения, а общая вместимость активной геометрии. Горизонтальная форма при малых K содержит значительно больший объём, распределённый вокруг экваториального аттракторного кольца, тогда как вертикальная концентрирует активность на двух сравнительно малых полярных окрестностях.

V_h/V_v = [πR^5/(40f^2)] / [πR^4/(12f)] = 3R/(10f) = 3/(10K)

Именно здесь возникает корректный мост к Monte Carlo. Само отношение объёмов, конечно, не доказывает вероятности удержания. Но оно объясняет, почему в режиме объёмного возбуждения горизонтальный псевдопараболоид обладает статистическим преимуществом: значительная доля начальных состояний уже геометрически находится в конфигурации, где экваториальная кольцевая зона играет большую роль. В вертикальной форме та же доля должна быть «доставлена» к полярным клинам, занимающим существенно меньшую меру. Поэтому аналитическая формула V_h/V_v = 3/(10K) должна рассматриваться как содержательное геометрическое основание для численно наблюдаемого различия, а не как его суррогат.

Особенно важно не превратить этот вывод в чрезмерно сильное утверждение. Геометрическая ёмкость не равна добротности, не равна времени жизни моды и не равна эффективной апертурной направленности. Она лишь показывает, что две топологии обладают разной интегральной мерой внутреннего пространства и что это различие резко усиливается при уменьшении K. Поэтому корректная научная формулировка звучит так: горизонтальная топология обладает возрастающим интегральным преимуществом по геометрической ёмкости при малых K, что делает её естественным кандидатом на более сильный режим статистического вовлечения энергии в активную экваториальную область.

Именно после такого уточнения глава 3 становится методологически сильнее. Она уже не ссылается на Monte Carlo как на первичное основание, а сначала выводит строгий геометрический аргумент, а затем лишь отмечает его согласованность с лучевой калибровкой. Такая последовательность принципиальна для независимой научной защиты теории: сначала аналитическая геометрия, затем инженерная статистика, затем полноволновая проверка.

Рисунок 6. Как параметр K управляет вытянутостью формы и отношением объёмов двух топологий.

3.8. Базовые безразмерные параметры

Для дальнейшего развития теории необходимо перейти от размерных величин к системе безразмерных параметров, в которой сравнение разных масштабов и разных физических постановок становится корректным. Этот переход проводится максимально прозрачно. Геометрический параметр формы определяется как K = f/R. Он уже встречался выше как половина параметра клиновой открытости и как величина, обратная аспектному отношению с точностью до множителя 4. Следовательно, K действительно является главным безразмерным индексом семейства: через него одновременно задаются локальная острота активной зоны, глобальная вытянутость формы и рост интегральных характеристик.

В открытом режиме и в волновых задачах к K добавляются ещё три естественных параметра. Первый из них — χ = Δ/λ, то есть относительная ширина апертуры по отношению к длине волны. Он важен для всех задач вывода и направленности, но уже на уровне главы 3 его следует зафиксировать как часть общего обозначительного аппарата. Второй параметр — q = a/λ = R^2/(4fλ). Он показывает, насколько велик характерный продольный или радиальный размер активной области по сравнению с длиной волны. Третий параметр — ka = 2πa/λ, представляющий собой более привычную волновую форму того же сравнения. Параметры q и ka связаны между собой простым множителем 2π, но в разных физических контекстах удобнее использовать разную запись.

K = f/R, χ = Δ/λ, q = a/λ = R^2/(4fλ), ka = 2πa/λ

Содержательность этого набора состоит в том, что он отделяет чисто геометрический контроль от волнового. Параметр K говорит о форме как таковой; χ — о степени возмущения формы апертурой; q и ka — о том, насколько крупна активная область относительно длины волны. Тем самым уже на уровне обозначений становится ясно, почему утверждение об «универсальности» не может опираться только на геометрию. Даже если форма определяется одним K, физическая картина удержания, вывода и направленности зависит ещё и от волнового масштаба ka, а в открытом режиме — от χ.

Для научной чистоты важно отметить ещё одно обстоятельство. В отличие от более сложных семейств, где внутренняя форма требует двух или трёх независимых безразмерных параметров, псевдопараболоид второго порядка в своей замкнутой канонической постановке действительно структурно одномерен: вся его геометрия после нормировки определяется одним K. Это очень сильный результат, потому что он радикально упрощает последующее картирование рабочих областей. Но именно поэтому особенно важно не перегружать аппарат лишними обозначениями и не смешивать параметры разных смысловых уровней.

Данный набор фиксируется как обязательный стандарт на все последующие главы. Это нужно для того, чтобы исключить англо-русские гибриды, несовпадающие подписи и расплывчатые словесные описания. Начиная с этой главы, K, P, α_w, Λ, χ, q и ka должны использоваться последовательно и в одном и том же смысле.

3.9. Закон подобия

Закон подобия является одним из наиболее сильных аналитических результатов всей монографии, поскольку он переводит частные расчёты для одной геометрии в общее утверждение о целом семействе масштабно связанных резонаторов. Пусть одновременно масштабируются все линейные размеры системы и рабочая длина волны: (R, f, a, λ, Δ) → (sR, sf, sa, sλ, sΔ), где s > 0 — произвольный масштабный множитель. Тогда размерные геометрии различаются абсолютным масштабом, но сохраняют одну и ту же нормированную форму. Именно этот факт и следует называть геометрическим подобием.

Проверка инвариантности безразмерных параметров в такой постановке выполняется непосредственно. Для K = f/R имеем K’ = (sf)/(sR) = K. Для χ = Δ/λ получаем χ’ = (sΔ)/(sλ) = χ. Для q = a/λ имеем q’ = (sa)/(sλ) = q. Наконец, для ka = 2πa/λ также получаем (ka) ‘ = 2π(sa)/(sλ) = ka. Следовательно, весь набор основных безразмерных параметров сохраняется. Это означает, что две системы, связанные одновременным масштабированием геометрии и длины волны, относятся к одной и той же безразмерной задаче.

(R, f, a, λ, Δ) → (sR, sf, sa, sλ, sΔ), s > 0

K’ = K, χ’ = χ, q’ = q, (ka) ‘ = ka

С научной точки зрения этот вывод чрезвычайно важен. Он показывает, что псевдопараболоид нельзя описывать как «одну фигуру, которая работает на всех частотах». Корректная формулировка гораздо строже: существует семейство геометрически подобных резонаторов, для которых при сохранении K, χ и ka ожидается совпадение безразмерного поведения. Такое утверждение значительно сильнее простой эвристики о масштабировании, потому что оно задаёт точный математический язык сравнения акустических, электродинамических и иных реализаций. И в то же время оно аккуратно избегает ложного тезиса о том, будто один и тот же физический объект автоматически универсален на всех длинах волн без перенастройки масштаба.

Закон подобия одновременно усиливает и ограничивает теорию. Он усиливает её потому, что сокращает пространство параметров и позволяет искать не отдельные примеры, а целые области в координатах (K, χ, ka). Он ограничивает её потому, что требует от автора и читателя дисциплины: любое сравнение результатов, полученных при разных абсолютных размерах и частотах, должно выполняться только после приведения к безразмерной форме. Без этого возможны ложные выводы — например, когда различия, вызванные просто сменой масштаба, ошибочно принимаются за изменение физического механизма.

Именно поэтому глава 3 завершает аналитический блок не на объёмах, а на законе подобия. Он превращает частные геометрические формулы в общую структуру семейства и подготавливает переход к следующим главам, где уже будут рассматриваться Monte Carlo-калибровка, апертуры, полноволновые постановки и критерии межфизической совместимости.

3.10. Корректность формулировки универсальности

Завершающий раздел главы должен принципиально развести два уровня утверждений: уже доказанную геометрическую универсальность и ещё не завершённую физическую универсальность. Из предыдущих разделов строго следует, что псевдопараболоиды второго порядка образуют масштабируемое геометрическое семейство, задаваемое одним параметром формы K и обладающее инвариантным законом подобия. Это серьёзный результат, и его не нужно ослаблять. Но столь же важно не подменять его более сильным и пока ещё не доказанным тезисом о межфизической универсальности для всех классов волн и всех режимов вывода.

Корректная научная формулировка на данном этапе такова: псевдопараболоид второго порядка является кандидатом на геометрически масштабируемый аттракторный механизм. В этой фразе слово «кандидат» фиксирует открытую часть программы, а словосочетание «геометрически масштабируемый» опирается на уже доказанные результаты этой главы и предыдущей главы 2. Такой язык защищает теорию от двух крайностей: от чрезмерной риторической гиперболы, когда недоказанные физические следствия объявляются свершившимся фактом, и от неоправданного скепсиса, когда уже полученные аналитические результаты недооцениваются как будто бы «чистая геометрия без содержания».

U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q ≠ ∅ — строгое условие межфизической универсальности

На текущем этапе корректная формула: «псевдопараболоид второго порядка представдляет собой  кандидат на геометрически масштабируемый аттракторный механизм»

Для перехода от геометрической к межфизической универсальности необходимо выполнить более жёсткое условие. Должна существовать непустая рабочая область параметров, в которой одновременно удовлетворяются критерии удержания, вывода, управляемой расходимости и приемлемого уровня боковых лепестков для разных классов волн. На языке монографии это означает необходимость проверять непустое пересечение областей U_EM, U_AC и U_Q в пространстве параметров (K, χ, ka). Только после такого вычислительного закрытия можно будет утверждать, что универсальность имеет не только структурно-геометрический, но и межфизический характер.

Именно здесь становится видно методологическое достоинство всей главы 3. Она даёт тот уровень строгости, на котором можно честно сказать: геометрический механизм уже построен и аналитически описан; его локальные активные зоны, интегральные характеристики и закон подобия уже выведены; однако вопрос о том, насколько один и тот же безразмерный механизм сохраняется в акустике, электродинамике и квантовой постановке, остаётся предметом следующего этапа работы. Такая позиция не ослабляет монографию, а делает её сильнее, потому что показывает научную управляемость заявлений.

3.11. Выводы по главе

Здесь показано, что локальная аттракторная геометрия псевдопараболоидов задаётся не словом «фокус», а взаимосвязанными блоками: клиновой асимптотикой активных зон и глобальной геометрией формы, контролируемой параметром K = f/R. Тем самым критерий C2 получает корректную математическую основу: вертикальная и горизонтальная топологии обладают разными аттракторными областями, но эти области принадлежат одному и тому же масштабируемому семейству.

Дополнительно глава усиливает монографию тем, что выводит замкнутые формулы для объёмов обеих топологий, их отношения и закона подобия. Это позволяет отделить уже доказанное ядро теории (локальную геометрию, интегральные характеристики и безразмерную инвариантность) от того, что ещё должно быть закрыто полноволновыми расчётами. В таком виде глава 3 создаёт прочное основание как для последующей инженерной Monte Carlo-калибровки, так и для более строгого обсуждения межфизической универсальности в дальнейших разделах.