Настоящая глава переводит анализ псевдопараболоидов из чисто геометрической постановки в язык углового распределения излучения. Если предыдущая глава отвечала на вопрос, где именно ввести полярные окна и экваториальную кольцевую щель, то здесь исследуется другой, не менее важный вопрос: какое дальнее поле может быть получено из этих апертур и при каких условиях геометрически организованный вывод действительно превращается в направленный режим.

Для научной строгости в данной главе последовательно различаются три уровня утверждений. Первый уровень — это геометрически точная постановка апертуры, уже полученная в главе 5. Второй уровень — дифракционная модель первого порядка, позволяющая связать размеры окна или кольца с угловой расходимостью. Третий уровень — полноволновая проверка, без которой нельзя окончательно судить о реальной направленности в задаче Maxwell, Helmholtz или Schrödinger. Именно это разграничение защищает монографию от преждевременных утверждений о «автоматической» коллимации за счёт одной только формы.

Главный методологический тезис главы состоит в следующем. Направленность определяется не фактом наличия щели как таковой, а структурой поля на этой щели. Поэтому вертикальная топология с двумя полярными окнами и горизонтальная топология с одной экваториальной кольцевой щелью должны рассматриваться как два физически разных апертурных механизма. В первом случае основным масштабом становится относительный диаметр окна χ = Δ/λ. Во втором случае ключевую роль играет большой кольцевой радиус ρ_s, входящий в параметр kρ_s.

6.1. Полярные окна как круглые апертуры

Вертикальный псевдопараболоид естественным образом приводит к полярным выходным окнам. Вблизи каждого полюса поверхность локально сходится к оси, и введение круглой апертуры диаметра Δ даёт классическую задачу излучения через конечное круговое отверстие. Однако принципиально важно подчеркнуть, что это сходство относится только к апертурной части задачи. Само поле в окне формируется внутренней квазимодой полости, а потому по определению не обязано совпадать с полем в абстрактной свободной круглой апертуре.

В первом приближении, если амплитуда по окну меняется медленно, а фаза на отверстии близка к плоской, дальнее поле подчиняется закону Эйри. Такая редукция полезна потому, что она даёт прозрачную оценку того, насколько быстро вертикальный вывод может быть сужен простым увеличением диаметра окна. В этом случае интенсивность в дальнем поле записывается через бесселеву функцию первого порядка, а первый нуль диаграммы определяет характерный угол расходимости.

Именно здесь проявляется фундаментальное ограничение вертикальной топологии. Параметр χ = Δ/λ должен быть достаточно большим, чтобы первый нуль вообще появился внутри полупространства наблюдения. Если χ меньше 1,22, то первый нуль функции Эйри не помещается в диапазон от 0 до 90 градусов. Это означает, что малое полярное окно не может работать как узкий направленный излучатель. Оно остаётся хорошим каналом управляемого вывода энергии, но не даёт одноступенчатой сильной коллимации.

Для инженерной интерпретации это замечание исключительно важно. В предыдущей главе было показано, что малые щели лучше сохраняют удержание. Но в текущей главе видно, что те же малые щели плохо работают как средство формирования узкого луча. Следовательно, вертикальный открытый режим изначально подчинён более жёсткому компромиссу между удержанием и направленностью, чем горизонтальный. В этом смысле вертикальный псевдопараболоид естественнее трактовать как систему управляемого вывода, а не как простую геометрическую коллиматорную схему.

Наконец, даже в рамках закона Эйри нужно помнить, что у вертикальной топологии всегда присутствуют окна. Если оба полюса открыты одновременно и возбуждаются симметрично, система фактически формирует два канала излучения. Это обстоятельство удобно для симметричного вывода энергии, но усложняет постановку задачи об односторонней направленности. Для получения одностороннего режима требуется либо асимметрия возбуждения, либо изменение граничных условий на одном из полюсов, что уже выводит задачу за пределы чисто скалярной апертурной оценки первого порядка.

I_vert(θ) = [ 2 J1(x) / x ]^2,

x = π (Δ/λ) sin θ = π χ sin θ,

θ0,vert ≈ arcsin(1.22 λ / Δ) = arcsin(1.22 / χ).

Полученная формула должна интерпретироваться как дифракционный закон первого порядка, а не как полное доказательство направленности конкретного псевдопараболоидного резонатора. Она корректно описывает связь между размером окна и углом первой нулевой линии, но не отвечает сама по себе на вопрос о фактическом распределении амплитуды и фазы на апертуре. Поэтому в дальнейшем все количественные выводы для вертикального режима должны перепроверяться в открытой полноволновой постановке.

Тем не менее уже на аналитическом уровне можно сделать строгий вывод: вертикальная топология не обладает естественным механизмом сильной коллимации при малых χ. Это делает её менее выгодным кандидатом на узкий осевой луч, но сохраняет её ценность как устойчивого режима контролируемой двусторонней утечки через компактные полярные окна.

6.2. Кольцевая щель как плоскость излучения

Для горизонтального псевдопараболоида ситуация качественно иная. Здесь активная зона и выходная апертура размещаются не вблизи оси, а на большом экваториальном радиусе. В результате внешнее поле формируется не круглым диском малого диаметра, а тонким кольцом большого радиуса ρ_s. Это различие радикально меняет масштаб направленности. Если для полярного окна её определяет величина χ = Δ/λ, то для кольцевой щели главным параметром становится kρ_s = 2πρ_s/λ.

В осесимметричном первом приближении, когда по кольцу сохраняется почти постоянная фаза, дальнее поле выводится как интеграл по окружности и естественным образом сводится к бесселевой функции нулевого порядка. Угловая структура диаграммы определяется не шириной щели, а фазовым сложением вкладов по большому кольцевому радиусу. Поэтому даже тонкая экваториальная щель может иметь очень узкий осевой главный лепесток, если только кольцо велико по сравнению с длиной волны.

Именно этот механизм делает горизонтальную топологию принципиально более интересной для направленного режима. Геометрия псевдопараболоида автоматически поставляет большой радиус ρ_s, поскольку при умеренно малых K экваториальный радиус a = R^2/(4f) становится значительным. После введения щели радиус излучающего кольца остаётся близким к a и лишь немного уменьшается по точной формуле главы 5. Поэтому параметр kρ_s может быть большим уже при умеренных волновых числах и без необходимости делать саму щель широкой.

Это обстоятельство меняет весь инженерный компромисс. Для вертикального режима попытка сузить диаграмму требует увеличивать диаметр окна, а значит усиливать утечку. Для горизонтального режима существенное сужение диаграммы достигается в первую очередь ростом кольцевого радиуса, то есть за счёт геометрии всей полости, а не за счёт грубого увеличения Δ. Иначе говоря, кольцевая щель даёт возможность разнести требования к удержанию и направленности по разным геометрическим масштабам.

Разумеется, такой вывод справедлив только в режиме тонкой щели. Если Δ становится сравнимой с ρ_s, реальная апертура уже перестаёт быть «нитью» на окружности и её дальнейшее поле должно описываться более общей двумерной интегральной формулой. Однако для проектного анализа первого порядка предположение Δ << ρ_s является естественным и физически содержательным, поскольку именно в этой области горизонтальный псевдопараболоид рассматривается как перспективный носитель кольцевого направленного режима.

E_ring(θ) ∝ J0( k ρ_s sin θ ),

I_ring(θ) ∝ J0^2( k ρ_s sin θ ),

θ0,ring ≈ arcsin( 2.4048 / (k ρ_s) ).

Важнейшее следствие этих формул состоит в том, что ширина главного лепестка уменьшается не с ростом Δ, а с ростом ρ_s. Тем самым горизонтальная топология обладает встроенным геометрическим потенциалом узкой направленности, который в принципе отсутствует у полярных окон при том же уровне малой апертурной возмущённости.

Но именно здесь нельзя подменять возможность фактом. Бесселева диаграмма J0^2 появляется только при достаточно хорошей азимутальной симметрии. Если фаза вдоль окружности разорвана, то даже очень большое кольцо не будет давать чистого узкого осевого лепестка. Поэтому геометрическое преимущество кольцевой щели существует, но реализуется только при правильной модовой организации поля на апертуре.

Рисунок 9. Примеры дифракционных диаграмм: полярное окно (слева) и тонкая кольцевая щель (справа).

6.3. Ограничение по модовому составу и поляризации

В отличие от круглого окна, для которого скалярная теория первого порядка уже даёт качественно правильный язык расходимости, кольцевая экваториальная щель требует явного учёта азимутального модового состава. Поле на окружности естественно раскладывается по гармоникам exp(i m φ), и именно индекс m определяет, какие бесселевы функции будут управлять дальним полем. С этого момента геометрия перестаёт быть единственным определяющим фактором: решающим становится вопрос, какая модовая компонента реально возбуждена внутри открытой полости.

Если на апертуре доминирует осесимметричная гармоника m = 0, осевая интенсивность максимальна и система может реализовать узкий центральный лепесток. Но для всех m, отличных от нуля, значение поля на оси обращается в нуль. Физически это означает, что энергия начинает перераспределяться в тороидальные или многолепестковые структуры, а ожидаемая «игольчатая» диаграмма разрушается. Поэтому условие доминирования m = 0 является не технической деталью, а принципиальной предпосылкой направленного режима.

В электродинамической постановке добавляется ещё один слой сложности. Поле на апертуре становится векторным, а TE- и TM-конфигурации относительно оси симметрии ведут себя по-разному. Краевые сингулярности, конечная толщина щели, шероховатость и даже слабая эллиптичность кольца могут по-разному влиять на распределение поляризаций. Следовательно, для Maxwell-задачи вопрос о направленности никогда не сводится к одной только скалярной формуле J0^2. Необходим полный векторный расчёт с разложением по m, открытой границей и контролем боковых лепестков.

Этот вывод особенно важен для всей логики монографии. Кольцевая щель действительно демонстрирует мощный геометрический потенциал направленного вывода, но строгий научный статус такого вывода появляется только после проверки доли моды m = 0 на апертуре. Если в реальной полости возбуждение естественно приводит к смеси нескольких азимутальных гармоник, то фактическая диаграмма окажется шире и сложнее, чем идеализированная осесимметричная модель первого порядка.

E_m(θ) ∝ J_m( k ρ_s sin θ ),

E_m(0) = 0 при m ≠ 0, E_0(0) ≠ 0.

Отсюда следует строгая формулировка для данной монографии: осевой направленный вывод из кольцевой щели возможен только при доминировании осесимметричной компоненты поля и при сохранении высокой азимутальной согласованности фазы по всей окружности.

Для вертикальных полярных окон проблема модового состава выражена слабее, но полностью не исчезает. Даже круглое окно может быть неравномерно возбуждено, а значит реальная диаграмма в общем случае отличается от идеального закона Эйри. Тем не менее именно у кольцевой щели модовый вопрос становится центральным и выводит монографию к обязательной 3D Maxwell-верификации.

6.4. Сопоставление двух механизмов направленности

Теперь можно дать строгий сравнительный вывод. Полярное окно и кольцевая щель принадлежат к разным классам апертур. В первом случае направленность обусловлена эффективным диаметром отверстия и растёт медленно, поскольку требует увеличения χ. Во втором случае направленность обусловлена прежде всего пространственным разносом излучающих элементов по большой окружности. Поэтому даже при тонкой щели кольцевая апертура может давать существенно меньший угол первого нуля.

Однако вертикальная и горизонтальная топологии нельзя сравнивать только по минимуму угла расходимости. Вертикальная схема конструктивно проще и более естественно сохраняет внутреннее удержание, так как суммарная площадь двух окон остаётся малой. Горизонтальная схема сильнее возмущает полость по площади вывода, зато обладает гораздо более мощным потенциалом узкого осевого режима. Это различие должно стать центральным элементом инженерной классификации псевдопараболоидов в открытой постановке.

Таким образом, вертикальный псевдопараболоид следует связывать прежде всего с контролируемым двуполярным выводом и умеренной направленностью, тогда как горизонтальный — с условно-узким кольцевым выводом при правильной модовой организации. Такое разведение ролей делает теорию внутренне более сильной: вместо попытки приписать обеим топологиям один и тот же универсальный сценарий монография получает физически осмысленную специализацию режимов.

Рисунок 10. Масштабные законы расходимости: полярная круглая апертура требует большого χ = Δ/λ, тогда как кольцевая щель сужается при росте kρ_s.

6.5. Границы применимости дифракционной модели первого порядка

Несмотря на аналитическую ясность полученных формул, глава 6 не должна интерпретироваться как закрытие критерия направленности. Все приведённые выражения относятся к дифракционной модели первого порядка и предполагают совокупность упрощающих условий: дальнюю зону наблюдения, отсутствие повторного взаимодействия с корпусом, достаточно гладкую амплитуду на апертуре, малость краевых возмущений и, в случае кольца, хорошую азимутальную симметрию.

На практике открытый псевдопараболоид представляет собой связанную систему «полость — щель — внешняя область». Поле вблизи выхода формируется не только самой апертурой, но и внутренней модой, краевой геометрией, отражениями на кромке и возможным обратным влиянием внешнего пространства. Поэтому для строгой верификации необходимо решать полноволновую задачу с открытой границей, поглощающим слоем PML, контролем сеточной сходимости и явным анализом диаграммы в дальнем поле.

Именно в этом месте дифракционная теория первого порядка играет правильную методологическую роль: она не заменяет полный расчёт, но задаёт осмысленные стартовые параметры, позволяет быстро сравнить топологии и формулирует проверяемые гипотезы. В частности, она предсказывает, что для вертикальной топологии узкая коллимация потребует больших χ, а для горизонтальной — больших kρ_s при доминировании m = 0. Дальнейшая задача монографии состоит не в повторении этих формул, а в вычислительном подтверждении или опровержении этих гипотез в полном 3D.

6.6. Выводы по главе

В главе 6 направленность вывода для псевдопараболоидов описана как отдельный аналитический объект, не сводимый ни к чистой геометрии, ни к одной только апертурной интуиции. Для вертикальной топологии показано, что полярные окна наследуют физику круглой апертуры и потому требуют больших χ для заметного сужения диаграммы. Для горизонтальной топологии получено противоположное по духу утверждение: кольцевая щель может быть узконаправленной уже за счёт большого радиуса ρ_s, но только при условии азимутальной фазовой согласованности.

Главный результат главы состоит в том, что вопрос направленности для псевдопараболоидов впервые поставлен в корректной трёхслойной форме: геометрия апертуры, дифракционная модель первого порядка и полноволновая проверка.

В контексте общей программы монографии это означает следующее. Горизонтальный псевдопараболоид сохраняет статус главного кандидата на направленный кольцевой режим, но его направленность является модово-условной. Вертикальный псевдопараболоид остаётся более естественным носителем контролируемого двухполярного выхода, однако не должен описываться как универсальный одноступенчатый коллиматор. Такое разграничение не ослабляет теорию, а напротив, делает её физически строгой, внутренне непротиворечивой и готовой к дальнейшему численному закрытию.

Ключевая формулировка для всей монографии: наличие щели ещё не означает направленного режима. Для полярных окон направленность ограничивается параметром χ = Δ/λ, а для кольцевой щели осевой узкий вывод возможен только при доминировании моды m = 0 и после полноволновой 3D-верификации.