Предыдущие главы уже зафиксировали каноническую геометрию псевдопараболоидов, их локальную асимптотику, лучевую калибровку удержания и аналитическую постановку открытых апертур. Однако до этого момента язык критериев C1–C8 всё ещё сохранял в себе следы более ранней программы, разработанной для псевдогиперболоидов 2-го порядка [12]. Поэтому именно здесь необходимо выполнить принципиально важную методологическую операцию: не механически перенести прежние критерии C4 и C5, а заново определить их так, чтобы они соответствовали реальной физике двух топологий псевдопараболоида — вертикальной и горизонтальной.

В исходной архитектуре псевдогиперболоидов второго порядка [12] критерий C4 относился к совместимости удержания и вывода, а критерий C5 — к направленному кольцевому излучению. Для псевдопараболоидов такая формулировка уже не является нейтральной. Вертикальная форма естественно поддерживает полярные окна и осевой режим вывода, тогда как горизонтальная форма приводит к экваториальной кольцевой щели и к другой, существенно более чувствительной к модовому составу задаче направленности. Следовательно, критерии C4 и C5 должны быть переформулированы так, чтобы охватывалть оба механизма вывода без потери физической строгости.

Главная задача состоит в том, чтобы придать критериям вычислимую форму. Для теории недостаточно сказать, что полость должна одновременно удерживать энергию и выпускать её наружу. Нужно задать функционалы, которые можно извлекать из открытой задачи, сравнивать между собой, оптимизировать по параметрам K, χ и ka и затем использовать как основу межфизической проверки. Именно поэтому в данной главе вводятся функционалы полезности открытого режима, обсуждается роль апертурной добротности, формулируется инженерный смысл направленности и прямо указывается, какие величины должны быть получены из полноволновых Maxwell, Helmholtz и Schrödinger-постановок.

7.1. Новый критерий C4_pp: совместимость удержания и вывода как вычислимая величина

Для псевдопараболоидов критерий C4 в его прямом наследовании из псевдогиперболоидной программы [12] недостаточен. Причина состоит в том, что замкнутая Monte Carlo-модель из главы 4 измеряет только вероятность устойчивого входа луча в аттракторный режим, но ничего не говорит о том, какая доля энергии покинет полость после появления апертуры. Между тем именно открытая постановка должна решать основной инженерный вопрос: можно ли сохранить полезное внутреннее удержание и при этом получить управляемый внешний поток, а не хаотическую утечку. Следовательно, новый критерий C4_pp должен быть задан не для замкнутой, а только для открытой задачи.

В качестве минимального набора наблюдаемых вводятся три величины. Первая — η_center, то есть доля энергии, остающейся в аттракторном режиме или в близкой к нему квазимоде после введения апертуры. Вторая — η_out, доля энергии, уходящей через выходное окно или кольцевую щель. Третья — D_axis(θ_max), то есть доля внешней мощности, попадающая в заранее заданный осевой конус полуугла θ_max. Такой выбор не случаен. Он позволяет отделить собственно “выход” от “полезного выхода”: утечка как таковая ещё не делает режим инженерно значимым, если энергия уходит в широкую диаграмму или в боковые лепестки.

На этом основании естественный первый функционал открытого режима записывается как произведение удержания и вывода. Его смысл предельно прозрачен: если одно из двух свойств стремится к нулю, полезность режима исчезает. В частности, идеально удерживающая, но полностью закрытая полость не является открытым устройством; равно как широкое открытое кольцо с большим потоком наружу не образует конструктивного резонаторного режима. Поэтому именно произведение η_center и η_out выражает минимальную совместимость удержания и вывода.

Сильная сторона такой формулировки в том, что она сразу выводит задачу в пространство оптимизации. Критерий C4_pp больше не является словесным требованием “удерживать и выпускать одновременно”, а становится функцией от параметров геометрии, частоты и возбуждения. Это позволяет строить карты уровня в координатах (K, χ, ka), выделять области положительной полезности и сравнивать вертикальную и горизонтальную топологии на едином языке.

Φ_open = η_center · η_out,

G_dir = η_out · D_axis(θ_max).

Величина Φ_open играет роль базового функционала компромисса, тогда как G_dir уже содержит в себе направленную составляющую и потому ближе к прикладному смыслу устройства. Если, например, η_out велика, но значительная часть энергии уходит под большими углами, то G_dir окажется малой даже при большом Φ_open. В этом различии заключена фундаментальная логика главы: открытый режим оценка должна быть как минимум двухуровневой и не может сводиться к одной цифре “эффективности”.

Именно поэтому в будущих расчётах C4_pp должен считаться определённым не тогда, когда найдена одна удачная конфигурация, а тогда, когда построена карта Φ_open(K, χ, ka) и показано существование устойчивой рабочей области, в которой удержание и вывод совместимы не случайно, а структурно. В таком виде C4_pp становится не локальным наблюдением, а критерием существования физически осмысленного открытого режима.

7.2. Интерпретация C5_pp: направленность как свойство поля на апертуре, а не одной только щели

Если C4_pp отвечает за совместимость удержания и вывода, то новый C5_pp должен отвечать за вопрос более высокого уровня: является ли внешний поток направленным в инженерно значимом смысле. Для псевдопараболоидов этот критерий принципиально неоднороден, потому что две топологии реализуют два разных апертурных механизма. Вертикальная форма работает через полярные окна, горизонтальная — через экваториальную кольцевую щель. Поэтому один и тот же термин “направленность” скрывает два разных физических режима и должен интерпретироваться раздельно.

Для вертикальной топологии C5_pp означает возможность формирования контролируемого осевого вывода через полярные окна. Даже в наилучшем приближении этот режим наследует физику круглой апертуры, а значит его расходимость управляется главным образом параметром χ = Δ/λ. Отсюда следует, что вертикальный вариант естественно согласуется с управляемым выходом, но не с экстремально узкой одноступенчатой коллимацией при малых окнах. Такой вывод уже был подготовлен главой 6 и здесь получает формальное место в архитектуре критериев.

Для горизонтальной топологии критерий C5_pp значительно жёстче. Кольцевая щель может давать узкий осевой лепесток только в том случае, если на апертуре доминирует осесимметричная компонента поля, то есть мода m = 0. При наличии сильных азимутальных неоднородностей внешний поток распадается на широкие или тороидальные структуры, и тогда сама геометрия кольца уже не спасает ситуацию. Следовательно, для горизонтального режима C5_pp не может быть закрыт чисто геометрически: он обязательно включает в себя модовый анализ поля на апертуре.

Таким образом, C5_pp должен формулироваться не как “наличие щели, способной излучать”, а как доказуемое существование такого поля на щели, которое создаёт приемлемую долю мощности внутри заданного углового конуса и при этом не порождает разрушительных боковых лепестков. Эта формулировка сразу делает критерий совместимым с Maxwell-проверкой и устраняет ложное впечатление, будто направленность автоматически следует из одной только формы тела.

В практической постановке это означает, что C5_pp должен опираться не только на значение D_axis(θ_max), но и на структуру боковых лепестков. Если основная мощность сосредоточена в узком конусе, но при этом значительная энергия уходит в удалённые вторичные максимумы, устройство не может считаться качественно направленным. Поэтому в рамках монографии разумно рассматривать C5_pp как совокупность двух условий: достаточно большая осевая доля мощности и достаточно малое отношение боковых лепестков к главному максимуму.

7.3. Критерий полезности открытого режима и существование внутреннего максимума

После введения функционалов Φ_open и G_dir появляется следующий естественный вопрос: имеет ли открытый режим внутренний оптимум или любая апертура выигрывает от простого увеличения щели. Это вопрос о том, существует ли область, где устройство остаётся резонатором с организованным выводом, а не переходит в режим почти свободной утечки. Для псевдопараболоидов ответ должен быть положительным: по мере роста χ апертурные потери сначала помогают вывести полезную энергию наружу, но затем начинают разрушать саму квазимоду, которая эту энергию организует.

Именно поэтому полезность открытого режима не должна возрастать монотонно с размером щели. При очень малых χ апертура почти не влияет на полость: η_center остаётся высокой, но η_out оказывается слишком маленькой, а дальнее поле статистически трудно измерить. В противоположном пределе, когда χ становится слишком большой, апертура начинает доминировать в балансе потерь, η_out растёт, но η_center падает, и резонаторная структура размывается. Между этими крайностями должна существовать внутренняя область, где произведение удержания и вывода достигает максимума.

Это замечание имеет не только качественный, но и строгий методологический смысл. Если в расчётах не удаётся обнаружить внутренний максимум по χ, это означает либо что модель ещё не разрешает нужный масштаб, либо что в выбранной постановке псевдопараболоид не формирует устойчивый открытый режим режим. И наоборот, наличие отчётливого максимума Φ_open(K, χ, ka) может рассматриваться как важный численный индикатор того, что геометрия действительно организует совместимость удержания и вывода, а не просто пропускает энергию наружу.

Таким образом, одна из центральных задач главы 7 состоит в том, чтобы перенести обсуждение из языка качественных характеристик в язык экстремальных задач. В будущем это позволит сравнивать не только отдельные диаграммы или снимки поля, но и сами карты оптимума: где именно расположен максимум, насколько он широк, как он меняется при переходе от Helmholtz к Maxwell и сохраняется ли он при малых нарушениях симметрии. Именно такие вопросы и должны стать основой строгой верификации C4_pp и C5_pp.

7.4. Апертура, добротность и разрушение квазимоды

Ключ к правильной интерпретации открытого режима даёт язык добротности. Даже если в конкретной численной схеме не вычисляется собственная добротность в полном спектральном смысле, баланс потерь всё равно можно аналитически разложить на стеночные, апертурные и прочие каналы. Это особенно важно для псевдопараболоидов, потому что геометрический аттракторный режим существует не сам по себе, а как структура многократного взаимодействия с границей. Если апертура становится слишком сильным каналом утечки, она разрушает не только запас энергии, но и сам механизм пространственной организации поля.

На этом основании вводится стандартное разложение для полной добротности. Его роль в монографии двояка. Во-первых, оно объясняет, почему открытый режим не может становиться бесконечно лучше при росте χ. Во-вторых, оно соединяет геометрический язык предыдущих глав с привычной для резонаторной физики терминологией. Это важно и для акустики, и для электродинамики, и для квантовой постановки, потому что в каждой из этих дисциплин разрушение квазимоды при слишком сильном открытии системы является естественным и узнаваемым явлением.

1 / Q_total = 1 / Q_wall + 1 / Q_ap + 1 / Q_other.

Здесь Q_ap играет центральную роль. Именно эта величина наиболее сильно зависит от χ и от геометрии конкретной апертуры (полярного окна или кольцевой щели). При малых χ апертурная добротность велика, и система ведёт себя почти как закрытая полость. При росте χ Q_ap уменьшается, увеличивая внешнюю утечку. Но если уменьшение становится слишком сильным, структура внутреннего поля начинает распадаться, и η_center падает быстрее, чем растёт инженерная польза внешнего канала. Отсюда снова следует существование внутреннего оптимума, обсуждавшегося в предыдущем разделе.

Для вертикальной и горизонтальной топологий этот процесс протекает по-разному. У вертикального режима площадь вывода остаётся сравнительно малой, поэтому апертурное разрушение квазимоды начинается позднее, но выигрыш по направленности ограничен физикой круглого окна. У горизонтального режима площадь кольцевой щели потенциально значительно больше, и потому его направленный выигрыш может быть высоким, но и чувствительность к переоткрытию системы также возрастает. Именно поэтому критерий C5_pp для горизонтальной топологии должен проверяться вместе с контролем Q_ap и структуры поля на кольце.

7.5. Связь с 3D Maxwell: m = 0, поляризация, PML и боковые лепестки

Глава была бы неполной, если бы критерии C4_pp и C5_pp не были напрямую связаны с тем самым вычислительным блоком, который сама монография называет обязательным следующим шагом. Речь идёт о полном трёхмерном Maxwell-анализе: векторное поле, разложение по азимутальным гармоникам m, открытая внешняя область с PML и явная оценка боковых лепестков. Без этого особенно для горизонтальной кольцевой щели нельзя считать вопрос направленности закрытым, потому что именно электродинамика в полном векторном виде определяет, сохранится ли осесимметричный фазовый режим на апертуре.

С математической точки зрения условие доминирования m = 0 означает, что поле на кольцевой щели должно иметь преимущественно нулевую азимутальную гармонику. Только в этом случае осевая компонента дальнего поля не подавляется симметрией. Если же значимыми становятся гармоники m ≠ 0, центральный осевой максимум ослабевает или исчезает, а энергия перераспределяется в тороидальные и боковые структуры. Следовательно, проверка критерия C5_pp для горизонтальной топологии должна включать не только диаграмму интенсивности, но и явную долю осесимметричной моды на апертуре.

Не менее существен вопрос поляризации. В векторной Maxwell-постановке TE- и TM-подобные режимы по-разному реагируют на острую кромку, на локальную сингулярность поля и на нарушения симметрии. Поэтому одна и та же геометрия кольца может демонстрировать разную устойчивость направленности для разных поляризаций. Это означает, что критерий C5_pp не должен формулироваться как скалярный универсальный факт. Он должен закрываться либо отдельно по поляризационным классам, либо через строгое указание того режима возбуждения, для которого получена нужная диаграмма.

Наконец, для всей открытой задачи критична корректная постановка внешней границы. PML или эквивалентный открытый оператор нужны не как техническая деталь, а как часть самого критерия. Если внешняя область моделируется грубо, значения η_out, D_axis и уровня боковых лепестков оказываются загрязнёнными паразитными отражениями. Поэтому в логике данной главы полный критерий C5_pp может считаться вычислительно закрытым только после трёх независимых проверок: сеточной сходимости, сходимости по параметрам PML и устойчивости диаграммы к малым нарушениям симметрии возбуждения.

Именно этот раздел соединяет монографию с её самым сильным возможным продолжением. Теперь путь к усилению работы становится формально ясен: для каждой точки в пространстве (K, χ, ka) нужно построить векторное поле, разложить его по m на апертуре, вычислить η_center, η_out, D_axis, уровень боковых лепестков и затем проверить, сохраняется ли решение в соседстве по параметрам. Только после такого цикла можно будет строго обсуждать не просто направленность, а воспроизводимый критерий C5_pp в полном физическом смысле.

7.6. Предварительная инженерная интерпретация диапазонов χ для расчёта открытого режима

Хотя окончательная рабочая карта открытого режима должна строиться полноволновым способом, уже на уровне аналитической программы полезно ввести предварительную инженерную классификацию диапазонов χ = Δ/λ. Такая таблица не подменяет расчёт, но задаёт стартовую навигацию для численного сканирования. Её назначение — показать, какие области параметра χ разумно рассматривать как почти закрытую полость, управляемый вывод малого возмущения, сильный вывод или апертурно-доминирующий режим.

Смысл этой классификации особенно важен для организации будущих расчётов. Вместо того чтобы случайно выбирать значения χ, можно систематически исследовать четыре характерные области. При этом сама таблица не утверждает универсальности ни одной из них: она лишь фиксирует, какой физический смысл ожидается в каждом диапазоне и где вероятнее всего искать рабочий компромисс для C4_pp и C5_pp.

Таблица 6. Предварительная инженерная интерпретация диапазонов χ для расчёта в открытом режиме.

Диапазон χ = Δ/λ	Ожидаемый режим	Физический смысл	Статус для монографии
χ < 0,3	Почти закрытая полость	Утечка слаба, направленность статистически плохо извлекается; режим близок к замкнутому.	Рабочая гипотеза первого приближения
0,3 ≤ χ ≤ 1	Управляемый вывод малого возмущения	Наиболее естественный старт поиска компромисса между η_center и η_out; режим ещё не обязан разрушать квазимоду.	Предпочтительный старт Monte Carlo / FEM
1 < χ ≤ 3	Сильный вывод	Утечка заметна, возможна деградация ловушки; вертикальный вариант остаётся широкоугольным, горизонтальный требует контроля m = 0 и боковых лепестков.	Нужна полноволновая проверка
χ > 3	Апертура доминирует	Ловушка может перестать быть главным механизмом; направление определяется уже в значительной степени апертурой и внешним полем.	Не считать универсальным режимом без расчёта

С научной точки зрения таблица 6 важна тем, что она не выдаёт диапазоны χ за уже доказанную универсальную норму. Напротив, каждый диапазон снабжён статусной пометкой, показывающей, на каком уровне зрелости находится соответствующее утверждение. Тем самым таблица остаётся частью строгой исследовательской программы, а не превращается в преждевременный проектный стандарт.

В дальнейшем именно с этой таблицей удобно связывать карты Φ_open, G_dir, Q_ap и доли m = 0 на апертуре. Тогда каждый диапазон χ будет не просто словесно охарактеризован, а получит численно подтверждённую область применимости или, напротив, будет исключён как неустойчивый для требуемой физики. Это делает таблицу 6 удобным промежуточным инструментом между аналитикой и расчётной верификацией.

7.7. Выводы по главе

Эта глава подготавливает две следующие задачи всей монографии. Первая — перейти к полнофизической постановке Helmholtz, Maxwell и Schrödinger, где введённые здесь функционалы станут реальными измеряемыми величинами. Вторая — соединить критерии C4_pp и C5_pp с критериями C7 и C8, то есть проверить, существуют ли непустые пересечения рабочих областей для разных классов волн и какой положительный запас устойчивости ε* имеет найденный режим. В этом смысле глава 7 является центральным методологическим узлом всей программы: она превращает идею “открытого режима” в строгий набор вычислимых требований.