Глава 14. Пороговые проектные карты по K = f/R на базе Monte Carlo

Настоящая глава переводит результаты Monte Carlo-калибровки из главы 4 в форму, непосредственно пригодную для проектирования. Если раньше зависимость эффективности удержания от геометрии записывалась как прямая функция
η_MC = η_MC(K),
то здесь решается обратная задача: для заданного целевого уровня удержания нужно определить, насколько острым или, наоборот, насколько «мягким» может быть псевдопараболоид, то есть какие значения
K = f / R
ещё допустимы. Именно в этом и состоит смысл пороговой карты: она отвечает не на вопрос «какова эффективность при данном K», а на вопрос «какой K ещё допустим, если требуется не ниже заданного уровня η».

Эта глава имеет особое значение для всей дальнейшей инженерной логики монографии. В главах 4 и 10 было показано, что параметр K одновременно управляет и геометрией полости, и уровнем closed-cavity удержания, а через величину
a = R^2 / (4f) = R / (4K),
опосредованно влияет на открытый режим работы. Следовательно, если удаётся получить пороговые значения K для различных целевых η, то мы автоматически получаем и проектные ограничения на f, на характерные размеры a, на клиновой угол
α_w = arctan(2K),
а затем и на целесообразность перехода к дальнейшей волновой проверке. В этом смысле пороговые карты являются естественным продолжением и fitted-кривых удержания из главы 4, и инженерных таблиц из главы 10.

Сразу необходимо подчеркнуть научный статус этих карт. Они не являются окончательной технологической нормой и не заменяют Helmholtz-, Maxwell- или Schrödinger-верификацию. Их основа — лучевая Monte Carlo-модель с метрикой p_run_ge5 и последующим степенным сглаживанием. В самом тексте монографии уже было ясно сказано, что для очень малых K прямое перенесение Monte Carlo-таблиц недопустимо, а fitted-законы следует использовать лишь в пределах той области, где геометрооптическая картина ещё остаётся интерпретируемой. Поэтому сила главы 14 не в том, что она «закрывает» физику, а в том, что она задаёт первый строгий проектный фильтр.

14.1. Пределы действия геометрической оптики

В общем виде геометрическая оптика правомерна тогда, когда локальная длина волны достаточно мала по сравнению с характерными геометрическими масштабами кривизны и отражения. В тексте главы 14 это сформулировано через условие вида
k ρ_c ≫ 1
или, эквивалентно,
ρ_c / λ ≫ 1,
где ρ_c — характерный локальный радиус кривизны, а λ — длина волны. Хотя конкретная промежуточная запись для локальной кривизны в исходнике повреждена типографически, сама идея раздела ясна и полностью согласуется с результатами предыдущих глав: при чрезмерно малых K лучевая модель начинает обещать всё более высокий уровень удержания, но волновая проверка уже не обязана этот рост поддерживать. Следовательно, глава 14 должна читать пороговые карты только через фильтр области применимости геометрооптики.

Для инженерной работы удобно различать три режима:

Режим I:
K ≳ 0.04.
Здесь лучевая картина считается устойчивой, а fitted-законы η_MC(K) допустимо использовать как основную инженерную норму первого порядка.

Режим II:
примерно 0.015 ≲ K ≲ 0.04.
Здесь дифракционные потери уже заметны, и потому пороговые карты следует использовать только вместе с дополнительным запасом и обязательной последующей полноволновой проверкой.

Режим III:
K ≲ 0.015 для акустики,
K ≲ 0.008 для электродинамики,
K ≲ 0.002 для квантовой постановки.
Здесь прямое перенесение Monte Carlo-таблиц уже недопустимо.

Эта трёхрежимная картина особенно важна именно для главы 14, потому что пороговые карты по самой своей природе тяготеют к малым K. Чем выше желаемое удержание, тем меньше должен быть K. Но как раз в этом направлении возрастает риск выйти из области применимости лучевой модели. Следовательно, пороговая карта — это не просто «чем меньше K, тем лучше», а всегда двойной график: с одной стороны, он показывает требуемую геометрию для данного η, а с другой — напоминает, в какой части этого графика Monte Carlo ещё можно читать буквально, а где оно уже превращается только в подсказку для полного волнового расчёта. В этом и состоит главный научный смысл раздела 14.1.

14.2. Обратная задача для кривых удержания

Если зависимость удержания имеет вид

η(K) = 1 / (1 + C K^p),

то для заданного целевого значения
η_target
обратная формула даёт максимально допустимый параметр формы

K_crit(η_target) = ((1 / η_target — 1) / C)^(1/p).

Именно эта процедура реализована в расчётном Python-каркасе монографии через функцию

K_from_eta(eta, C, p) = ((1.0 / eta — 1.0) / C)^(1.0 / p),

после чего для каждого уровня η_target автоматически вычисляются не только K_vertical и K_horizontal, но и соответствующие им
f = R K,
a = R^2 / (4f),
α = arctan(2K).
Это обстоятельство имеет большое значение. Благодаря ему проектная карта уже не является набором отдельных «хороших» точек Monte Carlo-сканирования. Она превращается в гладкую инженерную функцию: выбрав необходимый уровень удержания, можно сразу восстановить порог по K, затем — допустимый диапазон f при данном R, затем — характерный размер a и даже локальный клиновой угол. В практическом смысле это означает, что глава 14 переводит Monte Carlo из исследовательского результата в инженерный инструмент обратного проектирования. Именно так эту главу и следует читать.

Особенно важно, что в коде и в самой монографии рассматриваются отдельно два типа возбуждения (центральный источник и равномерное объёмное возбуждение) и отдельно две топологии — вертикальная и горизонтальная. Следовательно, пороговые карты по самой своей конструкции подчёркивают фундаментальный вывод всей монографии: не существует единого «правильного» K для псевдопараболоидов. Существует четыре разные проектные зависимости: вертикальная/ценральная, горизонтальная/центральная, вертикальная/объёмная, горизонтальная/объёмная. И каждая из них несёт собственный физический смысл.

14.3. Смысл порога по K как проектного ограничения

Здесь нужно пояснить, что означает «порог по K» в инженерном и физическом смысле. Если для некоторого режима и целевого уровня удержания найдено значение
K_crit,
то это не «лучшая точка» и не «единственно допустимая геометрия». Это верхняя граница параметра остроты формы при заданном минимальном требовании к η. Иными словами, условие проектирования записывается не как
K = K_crit,
а как

K ≤ K_crit.

Это различие принципиально. Значение K_crit задаёт границу допустимого семейства, внутри которого всё ещё можно ожидать необходимую лучевую эффективность. Чем меньше K внутри этой области, тем выше предсказываемое удержание — но тем ближе система к границе, где геометрооптика перестаёт быть надёжной. Поэтому пороговая карта всегда должна интерпретироваться совместно с разделом 14.1.

Из этой логики следует важное инженерное следствие. Если проектировщику нужно, например, не меньше 80% удержания, то таблица главы 14 не говорит ему: «строй резонатор с таким-то K». Она говорит: «не превышай такого-то K, а дальше выбирай внутри допустимой области ту точку, которая ещё согласуется с технологичностью, апертурой и последующей волновой верификацией». Для настоящей монографии это чрезвычайно важный переход: теория перестаёт быть описанием поведения и становится языком ограничений и допусков. Именно в этом и состоит ценность пороговых карт.

С физической точки зрения порог по K одновременно задаёт четыре вещи. Во-первых, он определяет, насколько быстро стенка уходит от активной зоны. Во-вторых, он через
a = R / (4K)
задаёт габаритный масштаб полости. В-третьих, он определяет клиновой угол
α_w = arctan(2K).
И, в-четвёртых, он отделяет область, где ловушка ещё считается достаточно эффективной, от области, где геометрия уже слишком «тупая» для данного уровня удержания. Следовательно, пороговая карта — это не только карта эффективности, но и карта формы.

14.4. Пороговые карты для режима центрального возбуждения

Рассмотрим сначала центральный источник. В этом режиме вертикальная и горизонтальная топологии, как уже было показано в главе 4, отличаются не радикально: горизонтальная форма даёт небольшой выигрыш почти на всём диапазоне K, но оба семейства остаются сравнительно близкими по эффективности. Именно поэтому пороговые карты для режима центрального возбуждения особенно полезны как средство тонкого сравнения двух топологий: они позволяют увидеть, где различие действительно существенное, а где оно почти исчезает.

Для центрального режима возбуждения имеем, в частности, следующие характерные уровни:

для 95% удержания:
K_vert = 0.0050,
K_hor = 0.0079;

для 90% удержания:
K_vert = 0.0096,
K_hor = 0.0143;

для 80% удержания:
K_vert = 0.0193,
K_hor = 0.0273;

для 70% удержания:
K_vert = 0.0309,
K_hor = 0.0419;

для 60% удержания:
K_vert = 0.0454,
K_hor = 0.0595;

для 50% удержания:
K_vert = 0.0646,
K_hor = 0.0820.

Эти числа нужно интерпретировать предельно внимательно. Горизонтальная топология почти во всём диапазоне допускает несколько большие K при том же уровне η. Это означает, что она позволяет использовать менее экстремально «тонкие» и «длинные» геометрии при том же целевом удержании. В инженерном смысле это очень важно: при прочих равных горизонтальная форма чуть менее требовательна к геометрической остроте. Но выигрыш в central-режиме всё же невелик. Следовательно, если устройство предполагает центральный тип возбуждения, то выбор между вертикальной и горизонтальной топологиями не определяется только пороговой картой удержания; потребуется учитывать и характер открытого режима, и желаемую направленность.

Особенно поучителен уровень 80%. Для него
K_vert = 0.0193,
а
K_hor = 0.0273.
Оба значения уже лежат в переходной зоне между режимами I и II применимости Monte Carlo. То есть даже сравнительно «умеренное» требование по удержанию выводит проектирование в область, где лучевая карта ещё полезна, но уже не должна читаться без волновой поправки. Следовательно, пороговые карты хорошо работают как предварительный геометрический фильтр, но не как автономный предсказатель готового физического режима.

14.5. Пороговые карты для режима равномерного объёмного возбуждения

Именно здесь глава 14 становится особенно важной, потому что в режиме равномерного объёмного возбуждения различие двух топологий оказывается принципиальным. В главе 4 уже было показано, что горизонтальная топология резко выигрывает у вертикальной за счёт большей ловящей меры экваториального кольца по сравнению с узким полярным конусом. В пороговой форме этот результат становится ещё более наглядным: для одного и того же целевого η горизонтальный псевдопараболоид допускает существенно большие K, чем вертикальный. А значит, он позволяет использовать значительно менее экстремальные геометрии при том же уровне удержания.

Для режима равномерного объёмного возбуждения имеем характерные пороги:

для 95% удержания:
K_vert = 0.0024,
K_hor = 0.0028;

для 90% удержания:
K_vert = 0.0044,
K_hor = 0.0067;

для 80% удержания:
K_vert = 0.0084,
K_hor = 0.0171;

для 70% удержания:
K_vert = 0.0130,
K_hor = 0.0320;

для 60% удержания:
K_vert = 0.0186,
K_hor = 0.0535;

для 50% удержания:
K_vert = 0.0258,
K_hor = 0.0858.

Эти значения показывают не просто количественную, а качественную разницу между топологиями. Например, при требовании 70% удержания вертикальная форма требует
K ≈ 0.013,
то есть фактически находится уже в нижней части переходной зоны и на границе прямой применимости Monte Carlo для акустики. Горизонтальная же форма при том же уровне допускает
K ≈ 0.032,
то есть остаётся в гораздо более комфортной проектной области. Это означает, что при объёмном возбуждении горизонтальный псевдопараболоид не только эффективнее по удержанию, но и значительно проще для практического масштабирования: требуемый резонатор не должен быть столь экстремально вытянутым или тонким.

Ещё ярче это видно на уровне 60%. Для вертикальной формы
K_vert = 0.0186,
для горизонтальной
K_hor = 0.0535.
Последнее значение лежит в рабочей области режима I.

Таким образом, глава 14 не только количественно подтверждает преимущество горизонтальной формы, но и показывает, что это преимущество напрямую конвертируется в более удобную область проектных параметров.

14.6. Сводная пороговая карта

Все описанные выше значения полезно собрать в единую проектную таблицу, которая в монографии должна сохранить исходную нумерацию.

Таблица 19. Пороговые проектные карты по K = f/R на базе Monte Carlo.

η, %	K_vert, center	K_hor, center	K_vert, uniform	K_hor, uniform
95	0.0050	0.0079	0.0024	0.0028
90	0.0096	0.0143	0.0044	0.0067
80	0.0193	0.0273	0.0084	0.0171
70	0.0309	0.0419	0.0130	0.0320
60	0.0454	0.0595	0.0186	0.0535
50	0.0646	0.0820	0.0258	0.0858

Здесь значения K понимаются как максимально допустимые для заданного целевого уровня удержания η_MC. Связанные величины f, a и α_w извлекаются по формулам
f = R K,
a = R^2 / (4f),
α_w = arctan(2K).

Если читать таблицу 17 построчно, то видно, как быстро растёт цена высоких уровней удержания. Переход от 50% к 80–90% удержанию требует резкого уменьшения K, а следовательно — роста размера
a = R/(4K).
Это означает, что по-настоящему высокое удержание достигается ценой всё более экстремальной геометрии. Именно поэтому таблица 19 важна не только как карта «возможностей», но и как карта геометрической стоимости режима. Чем выше желаемое η, тем глубже проект уходит в область тонких, длинных, узкоклиновых структур.

Если же читать таблицу по столбцам, то становится видна сравнительная топология задачи. Для central-режима выигрыш горизонтальной формы умерен. Для uniform-режима он становится принципиальным. Именно эта структурная асимметрия и должна быть одним из главных выводов главы 14: горизонтальная топология не просто «слегка лучше»; при объёмном возбуждении она переводит заданные уровни удержания в существенно более технологичные значения K.

Рисунок 19. Пороговые значения K = f/R для различных целевых уровней удержания.

На рисунке показаны четыре пороговые кривые. Чем ниже располагается кривая, тем более «строгой» геометрии требует соответствующий режим. В этом смысле наиболее жёсткой кривой должна быть вертоикальная/объёмная, а наиболее «мягкой» — горизонтальная объёмная на умеренных уровнях η. Именно такой рисунок визуально фиксирует главный проектный смысл главы: не все псевдопараболоиды одинаково хороши по геометрии, и не все типы возбуждения одинаково благоприятны.

Такую пороговую карту особенно удобно интерпретировать как карту отбора дальнейших расчётов. Если нужный проектный режим требует значений K, попадающих в режим III применимости Monte Carlo, то этот режим нельзя считать «запрещённым», но его нельзя и принимать на веру. Он немедленно переводится в категорию обязательного полноволнового приоритета. Напротив, если требуемый η достигается при K, лежащих в режиме I, то лучевая карта уже может служить достаточно надёжной инженерной нормой первого порядка. Таким образом, рисунок 19 должен читаться одновременно как карта возможностей и как карта уровня доверия к этим возможностям.

14.7. Что доказано, а что ещё нет

После построения пороговых карт важно жёстко зафиксировать их научный статус. Эта глава действительно доказывает, что для каждой из четырёх комбинаций «топология / тип возбуждения» существует воспроизводимая обратная зависимость между целевым уровнем удержания и допустимым параметром формы K. Более того, она показывает, что эта зависимость обладает ясным геометрическим смыслом и может быть прямо использована для первичного проектирования. Следовательно, как инженерный слой первого приближения глава 14 уже является содержательно замкнутой.

Но столь же жёстко нужно зафиксировать её границы. Пороговые карты не доказывают окончательное физическое удержание в полном волновом смысле. Они не учитывают поляризацию, потери, шероховатость, открытые граничные условия и модовую структуру при реальном 3D излучении. Они не замыкают критерий C3 и не вычисляют окна по ka. Они не дают величин
η_out, θ_div, S_dB, ε*.
Следовательно, глава 14 не заменяет ни главу 13, ни последующие Maxwell-, Helmholtz- проверки. Её роль другая: она строит пороговый геометрический фильтр, который показывает, какие семейства K вообще заслуживают дальнейшей сложной верификации.

14.8. Выводы по главе

Пороговая проектная карта строится как обратная функция к законам удержания
η(K) = 1 / (1 + C K^p),
а потому задаёт максимально допустимое значение
K_crit(η_target)
для каждого целевого уровня удержания. Это переводит Monte Carlo-блок из описательного результата в инструмент обратного проектирования.

Геометрическая оптика применима к этим картам не везде. Для
K ≳ 0.04
они могут служить основной инженерной нормой первого порядка; в области
0.015 ≲ K ≲ 0.04
они требуют волновой проверки; при ещё меньших K их нельзя понимать как надёжный физический прогноз без полного Helmholtz/Maxwell/Schrödinger-пересчёта.

Для центрального возбуждения  вертикальная и горизонтальная топологии остаются сравнительно близкими по пороговым значениям K, хотя горизонтальная почти везде даёт небольшой выигрыш. Для объёмного возбуждения различие становится принципиальным: горизонтальная форма допускает существенно большие K при том же η и потому оказывается гораздо более технологичной.

Таблица 17 и Рисунок 19 следует интерпретировать не как карту готовых устройств, а как карту допустимой геометрии и одновременно карту уровня доверия к геометрооптическому предсказанию. В этом и состоит их реальная научная и инженерная ценность.

Главный смысл главы 14 состоит в том, что она впервые даёт проектный язык отбора семейства параметров по одному только требованию к удержанию. Тем самым она естественным образом подготавливает переход к следующей главе — критерию робастности и запасу устойчивости ε*.