Раздел IV. COMSOL / FreeFEM / FEniCS, полные расчётные постановки, карты η_center(K, χ, ka) и первое численное вычисление ε*
После завершения главы 17 теория псевдопараболоидов второго порядка входит в новый этап. Если предыдущие разделы монографии вели нас от строгой геометрии к критериям спектральных окон, открытого режима, робастности и межфизической универсальности, то теперь становится необходим последний переход. Главное, это не просто сформулировать, что нужно проверять, а зафиксировать, как именно это должно быть вычислено в реальных численных средах. Именно этим и занимается Раздел IV.
Такая постановка чрезвычайно важна, потому что она переводит всю предшествующую теорию из статуса аналитико-методологической программы в статус воспроизводимой вычислительной архитектуры.
Смысл Раздела IV заключается не в механическом описании того, какой программный пакет удобнее открыть. Его задача гораздо глубже: построить единый вычислительный протокол, который одинаково поддерживает закрытую локализацию, открытый режим, спектральное сканирование, направленность, боковые лепестки и, в конечном счёте, запас устойчивости ε*. Это означает, что вычислительный пакет в данном разделе рассматривается не как «чёрный ящик», а как носитель конкретной формы задачи: геометрия должна быть параметризуема через K, апертура — через χ, спектр — через ka, а итоговые наблюдаемые должны извлекаться в том же языке, который уже был введён в главах 9, 15, 16 и 17. В этом смысле Раздел IV является прямым продолжением критериев C3–C8, а не внешней инженерной вставкой.
Ещё один фундаментальный момент состоит в том, что раздел IV впервые делает явным различие между теорией как системой утверждений и теорией как системой воспроизводимых вычислений. До настоящего места уже было доказано, что псевдопараболоиды представляют собой геометрически строгое семейство, что у них есть аналитически выделенные активные зоны, что для них возможно лучевое удержание первого порядка и что горизонтальная топология особенно перспективна для открытого режима и волнового согласованного режима. Но до тех пор, пока не существует набора воспроизводимых шаблонов, позволяющих другому исследователю запустить Helmholtz, Maxwell или Schrödinger-проверку на той же геометрии и получить те же карты ((K,\chi,ka)), теория остаётся не до конца замкнутой. Следовательно, Раздел IV — это раздел воспроизводимости, а не просто раздел «чисел».
Глава 18. Исходная геометрия и параметризация открытого режима
Настоящая глава открывает Раздел IV и выполняет функцию вычислительного фундамента. До этого момента геометрия псевдопараболоидов уже неоднократно вводилась в аналитическом виде, а открытый режим описывался через точные формулы полярных окон и кольцевой щели. Однако для перехода к COMSOL / FreeFEM / FEniCS этого уже недостаточно. Теперь требуется сделать следующий шаг: представить геометрию и апертуру в такой форме, чтобы они стали прямыми объектами параметрического сканирования. Иными словами, глава 18 — это глава о том, как аналитическая теория превращается в вычислимую управляемую геометрию. Именно поэтому она должна быть написана не как повторение ранних формул, а как их окончательная унификация для последующего численного цикла.
Сразу нужно подчеркнуть: глава 18 не вводит новую геометрию поверх ранее доказанной. Напротив, её задача — окончательно зафиксировать ту же самую каноническую геометрию, но уже в виде, пригодном для численного параметрического рассчёта.
Вертикальная топология описывается корневой зависимостью
ρ(X) = R — √(4f|X|),
а горизонтальная — квадратичной по высоте зависимостью
ρ(Z) = (R — |Z|)^2 / (4f).
Именно эти выражения должны быть положены в основу и аналитики, и визуализации, и построения сеток, и расчётных скриптов. Только в этом случае вся дальнейшая вычислительная программа будет внутренне согласована с уже проведённой научной переработкой монографии.
18.1. Почему исходная геометрия должна быть зафиксирована заново
На первый взгляд может показаться, что после глав 2–5 в отдельной вычислительной главе уже нет нужды снова говорить о геометрии. Но это было бы ошибкой. Аналитическая геометрия и вычислительная геометрия — это не одно и то же. В аналитическом тексте можно работать с профилем, локальной асимптотикой и нормировкой. В вычислительном же пакете нужно иметь строгую функцию границы, чёткие правила параметризации апертуры, однозначную систему координат и набор безразмерных параметров, которые будут менять геометрию без двусмысленности. Любая неточность именно на этом шаге делает бессмысленными последующие карты (\eta_{center}(K,\chi,ka)), потому что они уже могут относиться не к той геометрии, которую описывает монография. Поэтому глава 18 и нужна как отдельный уровень фиксации.
Кроме того, именно здесь геометрия должна быть впервые подана не только как форма закрытого резонатора, но и как носитель открытого режима. В главах 5–7 было показано, что переход к открытому режиму не является скрытым свойством замкнутой полости. Он должен вводиться явно через апертуру, а сама апертура должна параметризоваться так, чтобы можно было независимо изменять геометрию удержания и геометрию вывода. Следовательно, глава 18 должна зафиксировать не просто поверхность псевдопараболоида, а поверхность вместе с правилом её усечения для полярных окон или кольцевой щели. В этом смысле она становится главой о полной вычислительной геометрии открытого режима.
Наконец, эта глава нужна ещё и потому, что именно на её уровне теория впервые переходит к прямому языку параметрических рассчётов. До этого момента параметр K фигурировал прежде всего как аналитический маркер формы, а χ — как безразмерная ширина щели. Теперь же они становятся координатами вычислительной сетки. Следовательно, геометрия должна быть записана так, чтобы для каждого значения ((K,\chi)) получался однозначный closed/open вариант резонатора. Это радикально повышает требования к ясности формулировок, и именно поэтому глава 18 должна быть развёрнута более тщательно, чем обычная «глава о построении модели».
18.2. Каноническая геометрия как вход вычислительного цикла
Для вертикальной топологии вычислительная геометрия задаётся через продольную координату X и радиальную координату ρ:
ρ(X) = R — √(4f|X|),
|X| ≤ a,
a = R^2 / (4f).
Эта формула должна читаться как определение внутренней границы полости, а не просто как иллюстрация профиля. При каждом заданном K = f/R параметр a автоматически определяется как
a = R / (4K),
что сразу задаёт длину всей вертикальной камеры
L_V = 2a = R / (2K).
Именно это свойство делает вертикальную форму удобной для параметрических рассчётов: достаточно зафиксировать R и менять K, чтобы автоматически получать всё семейство. Такая запись полностью согласуется и с аналитической геометрией ранних глав, и с Python-каркасом построения, где радиус вращения задаётся через
r_x = R — y_full,
а сама образующая — через
y = 2√(f|x|).
Для горизонтальной топологии геометрия задаётся через высоту Z и радиус ρ:
ρ(Z) = (R — |Z|)^2 / (4f),
|Z| ≤ R.
Здесь уже параметр a играет роль экваториального радиуса:
a = R^2 / (4f) = R / (4K).
Соответственно, разметка по K автоматически задаёт и радиальный размер дискообразной формы. Важно отметить, что именно эта параметризация особенно удобна для осесимметричных Helmholtz- и Maxwell-постановок, потому что позволяет естественно выделять экваториальную область как вычислительно значимую зону. Для горизонтальной геометрии формула ρ(Z) должна рассматриваться не как вспомогательная, а как центральная определяющая связь всей вычислительной модели.
Эти две записи вместе окончательно задают закрытое семейство псевдопараболоидов в форме, пригодной для любого из трёх основных вычислительных классов: скалярного Helmholtz, векторного Maxwell и квантового Schrödinger. Смысл главы 18 здесь особенно важен: она не создаёт три разные геометрий под три физики, а фиксирует одну и ту же геометрию, которая затем нагружается разными операторами. Именно это делает последующее межфизическое сравнение корректным. Если бы под акустику, электродинамику и квантовую механику использовались три разные геометрии, критерий C7 терял бы смысл. Глава 18 предотвращает такую ошибку заранее.
18.3. Переход от закрытой геометрии к открытый параметризации
Следующий необходимый шаг состоит в том, чтобы превратить закрытый режим в открытый. Монография совершенно справедливо подчёркивает, что открытый режим не является автоматическим следствием формы, как в теории псевдогиперболоидов [12]. Он должен быть введён через апертуру, и именно поэтому в главе 18 геометрия уже должна включать не только форму стенки, но и способ её локального усечения. Для вертикальной топологии это означает два полярных окна, а для горизонтальной — кольцевую экваториальную щель. Тем самым глава 18 становится прямым продолжением главы 5, но уже в форме, пригодной для рассчётов.
Для вертикальной формы при полной ширине окна Δ имеем локальный радиус окна
ρ_s = Δ / 2,
а точное положение среза относительно полюса определяется формулой
s_exact = (RΔ — Δ^2 / 4) / (4f),
так что положение окон по оси X задаётся как
X_s = ±(a — s_exact).
Эта запись важна тем, что в численном пакете она даёт однозначную геометрию усечения: открытая часть границы Γ_slot определяется не «на глаз», а через точную формулу, связанную с тем же K, что и вся основная геометрия. Это полностью исключает произвольность при параметрическом сканировании по ((K,\chi)).
Для горизонтальной формы при полной высоте кольцевой щели Δ имеем
|Z_s| = Δ / 2,
ρ_s = (R — Δ/2)^2 / (4f),
δ_exact = a — ρ_s = (RΔ — Δ^2 / 4) / (4f).
В открытом режиме это означает, что при каждом значении ((K,\chi)) кольцевая щель однозначно восстанавливается как геометрический объект. Здесь особенно важно понимать, что величина χ = Δ/λ — это уже не просто безразмерный параметр теории, а реальная координата вычислительного параметрического пространства. И именно в таком качестве она должна быть введена в главе 18. Иначе дальнейшие карты η_center(K, χ, ka) будут математически неполными.
Вычислительная геометрия открытого режима должна быть однозначной функцией параметров K и χ. Ни полярные окна, ни кольцевая щель не должны вводиться как неформальные «варианты усечения». Они должны быть встроены в параметрическое семейство так же строго, как и сама закрытая форма.
18.4. Почему именно (K, χ, ka) являются координатами карт
Один из главных смыслов главы 18 — показать, почему будущие вычислительные карты должны строиться именно в координатах
(K, χ, ka).
Это не декоративный выбор и не просто следование аналитической традиции предыдущих глав. Каждый из этих параметров отвечает за отдельный физический слой задачи.
Параметр
K = f / R
задаёт саму форму резонатора: его вытянутость, геометрическую ёмкость, аспектное отношение и клиновую остроту. По существу, K контролирует механизм удержания.
Параметр
χ = Δ / λ
задаёт относительную ширину выходной апертуры. Он контролирует интенсивность утечки и степень возмущения исходной ловушки. В открытом режиме именно χ связывает внутреннюю локализацию с внешним выводом.
Параметр
ka = 2πa / λ
контролирует положение волнового режима на спектральной оси. Он задаёт, насколько геометрия already resolved волной и какова модовая структура внутри полости.
Таким образом,
K, χ и ka
не дублируют друг друга, а отвечают за три разные стороны одной и той же физической задачи: геометрия, аппертура и спектр. Именно поэтому карты
η_center(K, χ, ka)
и, позднее,
η_out(K, χ, ka), θ_div(K, χ, ka), S_dB(K, χ, ka)
естественно строить именно в этих координатах.
Кроме того, выбор ((K,\chi,ka)) особенно важен для критерия межфизической универсальности. В главе 16 уже было показано, что рабочие области
U_EM, U_AC, U_Q
должны сравниваться именно в этом пространстве. Следовательно, глава 18 не просто готовит вычисления «как удобно для пакета», а сразу фиксирует ту систему координат, в которой позже будет проверяться непустота
U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q.
Иначе говоря, параметризация главы 18 является непосредственным техническим фундаментом критерия C7. Это делает её не второстепенной технической главой, а центральным вычислительным основанием всей финальной части монографии.
18.5. Иллюстрация апертурной геометрии
В исходной структуре раздела IV уже предусмотрена ключевая иллюстрация, которую необходимо сохранить.
Рисунок 22. Базовые варианты апертур: кольцевая экваториальная щель / полярные окна.
Рисунок должен восприниматься не как геометрическая схема «для красоты», а как визуальное представление двух разных механизмов. Для вертикальной формы рисунок показывает, что открытый режим организуется через локальные полярные окна с малой общей площадью вывода. Для горизонтальной формы — что вся окружность большого радиуса превращается в распределённую апертуру. Именно поэтому дальнейшая направленность, роль моды m = 0 и чувствительность к нарушению азимутальной симметрии оказываются столь различными для двух топологий.
Этот рисунок ещё и визуально фиксирует, почему глава 18 связана с главой 15 о робастности. Полярные окна в вертикальной топологии локальны и потому особенно чувствительны к смещению полюсной геометрии. Кольцевая щель в горизонтальной форме глобальна и потому особенно чувствительна к потере симметрии и к ошибке в Δ. Следовательно, уже из одной схемы рисунка 22 становится понятно, почему каналы чувствительности C8 различны для двух форм.
18.6. Сводная таблица вычислительной параметризации
Таблица 24. Геометрическая параметризация апертур для двух топологий.
| Топология | Тип апертуры | Положение | Локальный размер | Комментарий |
| Вертикальная | Два полярных окна | X_s = ±(a — s), s = ΔR/(4f) в тонкощелевом приближении; точнее s_exact = (RΔ — Δ^2/4)/(4f) | ρ_s ≈ Δ/2 | Вывод организован вдоль оси; сильное удержание, но без гарантии узкой коллимации |
| Горизонтальная | Кольцевая экваториальная щель | ρ_s = a — δ, δ = ΔR/(4f) в тонкощелевом приближении; точнее ρ_s = (R — Δ/2)^2/(4f) | |Z_s| ≈ Δ/2 | Кольцевой вывод; сильный потенциальный выигрыш по направленности, но высокая чувствительность к m-составу и симметрии |
Для вертикальной формы важно различать точное положение полярного окна и тонкощелевую асимптотику. Для горизонтальной — точный радиус кольца и соответствующий отступ от идеального экваториального края. Именно эта двуступенчатая запись особенно полезна в вычислительной практике: сначала рассчёт может проводиться на тонкощелевом приближении как на быстром слое, а затем для лучших точек — уточняться по точным формулам.
Ещё одно важное достоинство таблицы 23 состоит в том, что она сразу связывает геометрию с качественным физическим статусом режима. Вертикальная форма даёт аккуратный, но локальный вывод, который слабее по естественной направленности. Горизонтальная форма даёт потенциально сильный кольцевой выход, но при этом цена успеха — большая чувствительность к модовой структуре и симметрии поля. Тем самым таблица 24 уже на уровне геометрии подготавливает и Maxwell-блок, и раздел о робастности. Это делает её гораздо более содержательной, чем обычную табличку «параметры модели».
18.7. Что доказано, а что ещё нет
После столь подробной параметризации важно снова чётко развести статус результатов. Глава 18 действительно делает несколько вещей строго. Во-первых, она окончательно фиксирует каноническую закрытую геометрию обеих топологий в вычислимом виде. Во-вторых, она переводит открытый режим в форму параметризуемых апертур, которые однозначно задаются через K и χ. В-третьих, она показывает, что пространство параметров ((K,\chi,ka)) является не просто аналитическим, а непосредственно вычислительным пространством будущих карт. И, в-четвёртых, она создаёт геометрическую основу для запуска задач в COMSOL / FreeFEM / FEniCS без расхождения с уже доказанной аналитикой. Всё это уже является реальным и завершённым результатом.
Но также важно сказать , что глава 18 пока не решает. Она ещё не строит сами карты
η_center(K, χ, ka).
Она ещё не распределяет задачи между пакетами. Она ещё не вычисляет ни (η_out), ни (θ_div), ни (S_{dB}), ни ε*. Следовательно, эта глава не завершает раздел IV, а лишь открывает его фундаментальным вычислительным слоем. И это абсолютно нормально: без правильно зафиксированной геометрии — любая последующая карта была бы бессмысленной.
18.8. Выводы по главе
Глава открывает Раздел IV и переводит аналитическую теорию псевдопараболоидов в форму строгой вычислительной геометрии, пригодной для COMSOL / FreeFEM / FEniCS.
Для вертикальной и горизонтальной топологий окончательно фиксируются канонические формы
ρ(X) = R — √(4f|X|),
ρ(Z) = (R — |Z|)^2 / (4f),
а также соответствующие правила открытого режима усечения через полярные окна и кольцевую щель.
Параметры
K, χ и ka
выступают здесь уже не только как аналитические маркеры, но и как координаты прямого параметрического сканирования. Тем самым глава 18 становится техническим фундаментом карт
η_center(K, χ, ka)
и последующих критериев C3, C7 и C8.
Таблица 22 и Рисунок 22 следует понимать как окончательное определение вычислительной геометрии открытого режима, а не как иллюстративную схему. Именно через них формируются все последующие модели и рассчёты.
Глава 18 ещё не содержит собственно карт режимов и не вычисляет ε*, но делает главное: полностью снимает геометрическую неоднозначность и подготавливает корректный запуск всего раздела IV.