Глава 2. Каноническая геометрия вертикального и горизонтального псевдопараболоидов (Критерий C1)

Главная задача состоит не только в изложении канонических уравнений двух топологий, но и в окончательном устранении внутренних противоречий между текстовыми формулами, нормированными профилями и Python-построениями. В этой редакции координаты, правила построения, обозначения и геометрический смысл параметров фиксируются в едином виде, чтобы последующие главы о локальной асимптотике, Monte Carlo-калибровке, апертурном выводе и полноволновой постановке опирались на одну и ту же геометрическую модель.

2.1. Исходная образующая, смещённая ось вращения и правило построения семейства

Геометрический фундамент псевдопараболоидов второго порядка следует начинать не с трёхмерной поверхности, а с двумерной образующей в плоскости построения. Именно здесь возникает основной отличительный признак семейства: в качестве исходного профиля используется не одна обычная парабола и не стандартный параболоид вращения, а составная симметричная параболическая образующая, представляющая собой две ветви, сходящиеся в центральной точке линии фокусов. В декартовой плоскости построения этот профиль записывается как y(x) = √(4 f |x|) = 2√(f|x|), где параметр f > 0 задаёт кривизну исходных ветвей. Такое задание уже показывает, что речь идёт о корневом, а не линейном профиле: вблизи x = 0 касательная не остаётся конечной, а наклон ветви стремится к бесконечности. Следовательно, ещё до перехода к трёхмерной геометрии в объект встроена корневая особенность, которая затем определяет физический смысл активной зоны.

Второй принципиальный элемент построения — это выбор оси вращения, не совпадающей с самой линией фокусов, а смещённой относительно неё на величину R > 0. Именно это смещение создаёт новый класс поверхностей. Если бы вращение осуществлялось вокруг исходной оси параболической ветви, получился бы один из стандартных параболоидных объектов классической геометрии. В псевдопараболоиде же вращение происходит вокруг прямой, параллельной оси исходной образующей, но поднятой или ориентированной так, чтобы расстояние от профиля до оси было переменной величиной. В Python-построениях это записано прямо: локальный радиус вращения равен r(x) = R − y(x), то есть разности между фиксированным смещением оси и высотой исходной образующей. Тем самым объект определяется не одной кривой и не одним радиусом, а парой взаимосвязанных геометрических правил: формой исходной ветви и правилом смещённого вращения. Эта пара и образует строгую основу критерия C1 для рассматриваемого семейства.

Из условия моделирования следует естественная граница допустимых значений продольной координаты. Поскольку локальный радиус вращения не может быть отрицательным, необходимо требовать y(x) ≤ R. Подстановка y(x) = √(4 f |x|) даёт |x| ≤ a, где a = R^2/(4f). Параметр a не вводится извне, а выводится непосредственно из геометрии как точка, в которой ветвь впервые касается смещённой оси вращения. Следовательно, a имеет строгий смысл предела геометрии: в вертикальной топологии это полудлина камеры до полярного моделирования, а в горизонтальной топологии — экваториальный радиус готовой фигуры. Это обстоятельство особенно важно для всей монографии, поскольку a затем входит и в нормировки, и в апертурные формулы, и в безразмерные волновые параметры q = a/λ и ka = 2πa/λ.

Именно на этой стадии необходимо устранить одну из главных причин путаницы в прежних редакциях. В плоскости построения используются координаты исходной образующей, где переменная y означает расстояние от линии фокусов до профиля. После вращения основной физически значимой величиной становится уже не сама y, а внутренний радиус поверхности относительно оси симметрии готового тела, который в разных топологиях обозначается через ρ. Эти величины связаны, но не совпадают по смыслу. В вертикальном случае ρ(X) = R − √(4f|X|), а в горизонтальном случае ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f). Если не различать координату образующей и цилиндрический радиус готовой поверхности, то легко получить ложное ощущение противоречия между формулами, графиками и кодом. Проводится граница между этапом построения профиля и этапом описания уже сформированной поверхности.

Научное значение такого подхода состоит в том, что геометрия псевдопараболоида перестаёт быть наглядной эвристикой и приобретает статус воспроизводимого алгоритма. Имея только два положительных параметра f и R, исследователь может однозначно восстановить исходную образующую, определить предел a, построить тело вращения, получить его нормированные профили и далее перейти к лучевой или волновой задаче. Другими словами, объект задаётся конструктивно, а не описательно. Это особенно важно для дальнейшей полноволновой верификации: Maxwell-, Helmholtz- и Schrödinger-постановки должны быть поставлены на одной и той же геометрии, а не на разных вариантах интерпретации текста. В этом смысле уже сама данная глава выполняет не только объяснительную, но и стандартизирующую функцию для всей монографии.

Рисунок 1. Пример построения псевдопараболоида второго порядка через составную параболическую образующую и смещённую ось вращения.

2.2. Вертикальный псевдопараболоид: каноническое уравнение, геометрический смысл и корректная интерпретация

Для вертикальной топологии естественно выбрать продольную ось X, совпадающую с направлением, вдоль которого исходная образующая протягивается между двумя будущими полюсами. Поперечное расстояние от этой оси до внутренней поверхности обозначается через ρ = √(Y^2 + Z^2). При таком выборе координат каноническое уравнение внутренней поверхности принимает вид ρ(X) = R − √(4f|X|), |X| ≤ a, a = R^2/(4f). Это уравнение полностью согласовано с нашими Python-моделями, где радиус вращения вычисляется как r(x) = R − y(x) при y(x) = √(4f|x|). Тем самым вертикальный псевдопараболоид определяется как осесимметричная поверхность вращения корневого профиля вокруг продольной оси. В геометрическом отношении это вытянутая капсульная или трубчатая полость, у которой максимальный радиус достигается в центре, а в крайних точках X = ±a поверхность замыкается в два полюса.

Отдельного внимания требует экваториальная область X = 0. Подстановка X = 0 в каноническое уравнение даёт ρ(0) = R, то есть именно в центре вертикальная фигура обладает наибольшим поперечным размером. Однако это не обычный гладкий экватор эллипсоида или цилиндра. Поскольку профиль содержит корневую зависимость от |X|, производная dρ/dX по модулю ведёт себя как 1/√|X| и стремится к бесконечности при приближении к центру. Следовательно, экватор вертикального псевдопараболоида — это не просто точка максимального радиуса, а корневая геометрическая особенность, от которой в дальнейшем зависит механизм резкой переориентации лучей и мод. Именно поэтому данную поверхность нельзя заменять линейным приближением на всём интервале: линейная замена уничтожила бы ключевой локальный признак активной зоны.

Вторая характерная область — полюса X = ±a. Здесь радиус ρ обращается в нуль, и поверхность замыкается в две конечные точки. В отличие от экваториальной особенности, вблизи полюса вертикальная форма допускает линейную асимптотику, из которой затем выводится локальный клин. Поэтому вертикальная топология сочетает в себе два разных геометрических режима: нелинейную корневую структуру в центре и линейно-клиновое замыкание на концах. Такое сочетание делает её существенно отличной от классических тел вращения второго порядка, где обычно доминирует либо гладкая квадратичная кривизна, либо стандартная коническая окрестность. С точки зрения дальнейшей физики это означает, что вертикальный псевдопараболоид является двуполюсной ловушкой, у которой центральная область управляет перестройкой траекторий, а полярные области — локальным режимом удержания и, в открытой постановке, возможным выводом.

В научной редактуре особенно важно устранить подмену, появившуюся в одной из поздних версий текста, где вертикальное уравнение было записано линейно, как ρ(X) = R − |X|/(4f). Такая формула несовместима ни с исходной образующей y(x) = √(4f|x|), ни с Python-функцией F_vertical, ни с нормированным профилем r*(x*) = 1 − √|x*|. Линейное уравнение описывало бы совершенно другую геометрию: без корневой особенности в центре, с иной производной, иной локальной асимптотикой и иным физическим содержанием. Поэтому в данной редакции главы фиксируется окончательное каноническое выражение вертикальной формы исключительно в корневом виде. Это не вопрос стилистики, а вопрос научной корректности всей дальнейшей монографии.

Если теперь перейти к интегральному описанию, то вертикальная топология естественно характеризуется длиной L_v = 2a = R^2/(2f) и максимальным диаметром D_v = 2R. Уже из этих двух величин видно, что при уменьшении безразмерного параметра K = f/R фигура становится всё более вытянутой вдоль продольной оси: длина растёт как 1/K, тогда как максимальный диаметр при фиксированном R не изменяется. Поэтому вертикальный псевдопараболоид можно интерпретировать как геометрический резонатор с регулируемой осевой вытянутостью и фиксированным центральным радиусом. Этот вывод особенно важен для сравнения с горизонтальной топологией: обе формы строятся из одного и того же профиля, но распределяют геометрическую «ёмкость» принципиально по-разному.

Рисунок 2. Вертикальный псевдопараболоид: каноническое 2D-сечение и его геометрическая интерпретация.

2.3. Горизонтальный псевдопараболоид: эквивалентные записи уравнения и перенос активной зоны к экватору

Во второй топологии меняется не исходная образующая, а выбор оси вращения. Теперь естественной продольной координатой служит высота Z, а радиальное расстояние до оси симметрии обозначается через ρ = √(X^2 + Y^2). При таком выборе поверхность задаётся эквивалентными соотношениями |Z| = R − √(4fρ) и ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f), |Z| ≤ R. Эти записи описывают один и тот же объект: первую удобно использовать для анализа локальной асимптотики по радиусу, вторую — для прямого построения поперечных сечений и численного задания геометрии. Именно эта формула используется в нашем Python-коде для горизонтальной топологии, где радиус сечения вычисляется как r(z) = (R − |z|)^2/(4f). Следовательно, горизонтальная поверхность, как и вертикальная, имеет однозначно фиксированное аналитическое выражение.

В отличие от вертикального случая, максимальный радиус горизонтальной фигуры достигается не в полюсах, а на экваторе Z = 0. Подстановка даёт ρ(0) = a = R^2/(4f). Это означает, что геометрический предел a, который в вертикальной топологии выступал полудлиной, здесь становится внешним радиусом экваториального кольца. При Z = ±R, напротив, получаем ρ = 0, то есть верхний и нижний полюса являются точками гладкого осевого моделирования. Таким образом, горизонтальный псевдопараболоид представляет собой линзоподобную или дискообразную фигуру, у которой главная активная область перенесена с оси к периферийному экватору. Уже это одно различие показывает, почему вертикальная и горизонтальная формы не могут рассматриваться как два тривиальных ракурса одного и того же резонатора: они организуют разные аттракторные механизмы.

Особый интерес представляет геометрия экваториальной кромки. Из записи |Z| = R − √(4fρ) видно, что в окрестности максимального радиуса ρ = a поверхность снова переходит в клиновой режим. Но в отличие от вертикального случая корневая особенность не сидит в центре фигуры, а вынесена на периферию и воспринимается как острое кольцевое лезвие. Именно поэтому горизонтальная топология обычно оказывается более естественным кандидатом на широкий захват при объёмном возбуждении: активная зона имеет не точечную и не двуполюсную, а окружную меру. Этот геометрический факт сам по себе ещё не доказывает лучевое или волновое преимущество, но создаёт мощную геометрическую предпосылку, которая затем подтверждается в Monte Carlo-калибровке.

Если сопоставить габариты горизонтальной формы, то её высота равна H_h = 2R, а максимальный диаметр D_h = 2a = R^2/(2f). Следовательно, при малом K = f/R горизонтальный псевдопараболоид не удлиняется по оси, а разрастается в радиальном направлении. В результате одна и та же пара параметров (f, R) порождает две формы с противоположной логикой аспектного отношения: вертикальная топология делает акцент на длине, горизонтальная — на ширине. Это замечание важно не только для геометрического воображения, но и для дальнейшего выбора численных сеток, внешних областей PML и диапазонов апертурного параметра. В практической постановке горизонтальная форма может требовать значительно более широкого вычислительного окна именно из-за роста радиуса a.

С методологической точки зрения горизонтальная топология играет в монографии ещё одну важную роль. Именно на ней наиболее естественно формулируются последующие вопросы об экваториальной кольцевой щели, модах с азимутальным номером m и возможности осевого вывода при доминировании m = 0. Следовательно, строгая запись горизонтального канонического уравнения — это не локальный геометрический результат, а необходимый фундамент для всего Maxwell-блока. Если горизонтальная поверхность задана неточно, то теряют определённость и радиус щели ρ_s, и параметр kρ_s, и сама логика перехода от геометрии к направленности. Поэтому в данной редакции уравнение ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f) закрепляется как базовая форма, к которой далее должны быть приведены все численные модели и все аналитические оценки открытого режима.

Рисунок 3. Горизонтальный псевдопараболоид: каноническое 2D-сечение, в котором главный геометрический излом вынесен на экваториальное кольцо.

2.4. Универсальные нормированные профили и безразмерное единство семейства

Одним из наиболее сильных результатов всей главы является не просто вывод уравнений двух топологий, а доказательство того, что после естественной нормировки обе поверхности переходят в универсальные безразмерные профили. Именно этот шаг переводит обсуждение из языка отдельных геометрических примеров в язык целого масштабируемого семейства. Для вертикальной формы вводятся переменные x* = X/a и r* = ρ/R. Подстановка канонического уравнения ρ(X) = R − √(4f|X|) с учётом a = R^2/(4f) даёт r*(x*) = 1 − √|x*|, |x*| ≤ 1. Для горизонтальной формы при z* = Z/R и s* = ρ/a получаем s*(z*) = (1 − |z*|)^2, |z*| ≤ 1. Эти два профиля уже не содержат ни абсолютного масштаба, ни частных значений f и R: они выражают чистую внутреннюю форму двух топологий.

Следствие этого факта состоит в том, что параметры f и R играют двойную роль. С одной стороны, они задают конкретную физическую реализацию объекта: реальные размеры, ширину экватора, длину камеры, радиус будущей апертуры и так далее. С другой стороны, после нормировки их влияние концентрируется в одном-единственном безразмерном числе K = f/R, или, эквивалентно, в аспектном отношении a/R = 1/(4K). Именно поэтому псевдопараболоиды второго порядка нельзя рассматривать как набор независимых фигур. Это одно геометрическое семейство, в котором разные масштабные реализации имеют одинаковый нормированный чертёж и различаются тем, насколько этот чертёж растянут по продольной или поперечной координате. Такое устройство семейства чрезвычайно важно для строгого содержания критерия C6, но его аналитическое основание закладывается именно здесь, в главе 2.

Важно подчеркнуть, что универсальность нормированного профиля не означает тождества физического поведения для любых размеров и любых частот. Она означает лишь то, что геометрия подобия формулируется строго и однозначно: если одновременно масштабировать все линейные размеры и длину волны по правилу (R, f, a, λ, Δ) → (sR, sf, sa, sλ, sΔ), то безразмерные комбинации K, χ = Δ/λ, q = a/λ и ka = 2πa/λ сохраняют свою структуру. Следовательно, вопрос об универсальности переносится из пространства абсолютных размеров в пространство безразмерных критериев. Это и есть научно корректный смысл геометрической масштабируемости. Без такого перехода любые заявления об «одной форме для всех волн» превращались бы в физически некорректную риторику.

Нормированные профили также выполняют ещё одну важную функцию: они являются лучшим инструментом проверки внутренней согласованности текста, кода и иллюстраций. Если вертикальная форма действительно задаётся корневой геометрией, то её безразмерный профиль обязан иметь вид 1 − √|x*|, а не 1 − |x*|. Именно на этом уровне проще всего обнаруживаются скрытые подмены формул. В данной редакции главы этот тест согласованности используется осознанно: окончательно принимаются только те записи, которые одновременно совместимы с исходной образующей, с каноническими уравнениями поверхностей и с Python-кодом построения. Тем самым нормированные профили выступают не только способом визуализации, но и строгим инструментом внутренней верификации геометрии.

Для дальнейшей монографии это имеет прямые последствия. Все будущие карты удержания η(K), все вычисления щелей вывода и все карты робастности ε* должны строиться уже не на случайных наборах размеров, а на координатах безразмерного пространства параметров. Именно поэтому глава 2 должна завершаться не простым сравнением форм, а переходом к языку параметрического семейства. На этом языке вертикальная и горизонтальная топологии оказываются разными ветвями одного и того же конструктивного принципа: одна и та же составная параболическая образующая, один и тот же параметр смещения R, один и тот же предел a = R^2/(4f), но два различных закона распределения геометрической ёмкости и два разных типа активной зоны.

Рисунок 4. Нормированные профили вертикальной и горизонтальной топологий.

2.5. Согласование формул и сравнительная интерпретация

После того как обе топологии выписаны в каноническом виде, необходимо явно зафиксировать правила. Они формулируются следующим образом. Первое: исходная образующая в плоскости построения задаётся формулой y(x) = √(4f|x|). Второе: вертикальная внутренняя поверхность описывается уравнением ρ(X) = R − √(4f|X|). Третье: горизонтальная поверхность описывается уравнением ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f). Четвёртое: нормированные профили имеют вид r*(x*) = 1 − √|x*| и s*(z*) = (1 − |z*|)^2. Пятое: все Python-процедуры построения, sampling и трассировки должны использовать именно эти выражения. Эти пять правил образуют минимальный стандарт геометрической чистоты для всей монографии. Здесь на первый план выходят различия между двумя топологиями псевдопараболоидов. Вертикальная форма вращается вдоль линии фокусов, имеет экваториальный радиус R и длину 2a = R^2/(2f). Горизонтальная форма вращается поперёк линии фокусов, имеет экваториальный радиус a = R^2/(4f) и высоту 2R. Из этих данных прямо видно, что один и тот же параметр K = f/R по-разному перераспределяет геометрию: уменьшение K удлиняет вертикальную полость и одновременно расширяет горизонтальную.

Вертикальная топология, имея два полюса и центральную корневую особенность, естественно ведёт к постановке о полярных конусах, двуполюсной локализации и полярном выводе. Горизонтальная, напротив, ведёт к постановке об экваториальном кольце, кольцевой щели, азимутальном числе m и условии доминирования m = 0. Иными словами, уже в пределах чистой геометрии становится ясно, что дальнейшие C2, C4 и C5 не могут быть полностью одинаковыми для обеих топологий.

Таким образом критерий C1 для псевдопараболоидов второго порядка считается выполненным только в том случае, если объект задан как семейство двух топологий, построенных из одной составной параболической образующей при смещённом вращении, если предел a выведен из условия моделирования, если канонические уравнения поверхностей записаны в согласованном корневом виде, если нормированные профили являются универсальными, а все численные и графические реализации подчинены этим же формулам. Глава 2 становится геометрическим ядром монографии. Она не просто даёт определения, а фиксирует тот единственный язык, на котором вся последующая физика псевдопараболоидов должна быть поставлена, проверена и, при необходимости, опровергнута.

Таблица 2. Сравнительные характеристики вертикального и горизонтального псевдопараболоидов (номер таблицы сохранён в соответствии с исходной монографией).

Характеристика	Вертикальный псевдопараболоид	Горизонтальный псевдопараболоид	Научный смысл различия
Ось вращения	Вдоль линии фокусов (продольная ось X)	Поперёк линии фокусов (ось Z)	Одно и то же 2D-ядро порождает две принципиально разные 3D-топологии.
Каноническое уравнение	ρ(X) = R − √(4f|X|), |X| ≤ a	ρ(Z) = (R − |Z|)^2/(4f), |Z| ≤ R	Вертикальная форма корневая по продольной координате, горизонтальная — квадратичная по высоте.
Геометрический предел a	Полудлина до полярного моделирования	Экваториальный радиус	Один и тот же параметр a меняет физический смысл в зависимости от топологии.
Максимальный радиус	R при X = 0	a при Z = 0	В вертикальной форме максимум радиуса в центре, в горизонтальной — на экваториальном кольце.
Характерная длина	L_v = 2a = R^2/(2f)	H_h = 2R	Вертикальная форма управляет продольной вытянутостью, горизонтальная — толщиной диска.
Тип активной зоны	Центральная корневая область + два полярных моделирования	Экваториальное кольцевое лезвие	Уже на геометрическом уровне предсказываются разные механизмы удержания и вывода.
Нормированный профиль	r*(x*) = 1 − √|x*|	s*(z*) = (1 − |z*|)^2	Обе формы универсальны после нормировки, но универсальность имеет разные аналитические законы.

2.6. Выводы по главе

Каноническая геометрия псевдопараболоидов зафиксирована в виде единого непротиворечивого конструктивного аппарата. Это означает, что в последующих главах можно без двусмысленности строить локальную асимптотику, вычислять объёмы, запускать Monte Carlo, формулировать апертурные задачи и переходить к полноволновым моделям.