Настоящая глава открывает собственно вычислительный слой раздела IV. После того как в главах 18 и 19 были окончательно зафиксированы геометрия псевдопараболоидов, параметризация открытого режима и распределение ролей между COMSOL, FreeFEM и FEniCS, становится необходим следующий шаг: построить первый воспроизводимый промежуточный слой, который позволит быстро переходить от аналитической теории к рабочим картам в пространстве (K, chi, ka). Именно этим слоем и является модель главы 20. В монографии она введена предельно честно: не как замена реального FEM-расчёта, а как промежуточный уровень для двух задач — получить первые карты eta_center(K, chi, ka) и перевести критерий C8 в инженерный язык допуска ещё до полного полноволнового закрытия.

Это чрезвычайно важная методологическая позиция. Во многих работах промежуточная модель либо вообще отсутствует, и тогда между теорией и тяжёлым вычислением образуется разрыв, либо, наоборот, она начинает использоваться как суррогат истины, подменяя собой реальную волновую проверку. В нашей монографии выбран третий, гораздо более зрелый путь: модель вводится как простая закрытая схема, которая ускоряет поиск рабочих областей, но не выдаётся за окончательное доказательство.

Смысл главы 20 можно сформулировать так. До этого момента в монографии уже были получены: законы Monte Carlo удержания eta_MC(K), апертурный параметр chi = Delta / lambda, спектральный параметр ka = 2pi a / lambda и строгие критерии C3–C8. Но для быстрого построения карт этого недостаточно: нужно ввести простую нормировочную функцию по ka, а затем простое, но внутренне согласованное правило, как удержание в закрытом режиме деградирует при открытии апертуры. Глава 20 делает именно это. Тем самым она строит первый вычислительный мост между главой 4, главами 13–16 и последующими картами раздела IV.

20.1. Модель

Сама постановка раздела IV показывает, что без промежуточного вычислительного слоя теория оказывается в неудобном положении. С одной стороны, уже есть аналитика и подходящие законы Monte Carlo. С другой — полный Helmholtz / Maxwell / Schrödinger рассчёты по трёхмерному пространству параметров (K, chi, ka) чрезвычайно дорог и не должен запускаться вслепую. Именно поэтому модель и необходима: она не заменяет полного расчёта, но позволяет быстро очертить те области, где такой расчёт вообще имеет смысл. В монографии это сформулировано совершенно точно: модель нужна, чтобы получить первые карты eta_center(K, chi, ka) и перевести C8 в инженерный язык допуска ещё до полного FEM-закрытия.

Это особенно важно в контексте всей логики монографии. Критерий C3 требует найти конечные рабочие окна по ka. Критерий C4 требует увидеть компромисс между удержанием и выводом. Критерий C8 требует ввести хотя бы первый численный язык допуска. Но если сразу пытаться закрывать всё это полным 3D Maxwell-блоком, вычислительная программа становится слишком тяжёлой и плохо управляемой. Промежуточный слой решает эту проблему: он создаёт грубую, но непрерывную поверхность в пространстве параметров, на которой уже можно увидеть структуру режимов и выделить кандидаты на более дорогую верификацию. Следовательно, глава 20 не ослабляет теорию, а делает её практически поддающейся вычислению.

Нужно подчеркнуть и ещё одну сторону вопроса. Модель особенно важна для новой теории именно потому, что она заставляет явно разделить, что уже известно из Monte Carlo, что вводится как спектральная нормировка, и что является гипотезой открытого режима. Без такого разделения последующие карты легко выглядели бы как «физические результаты сами по себе», хотя на деле они являются смешением нескольких источников. Глава 20 делает эту структуру явной, а потому повышает прозрачность всей монографии.

20.2. Закрытый режим, как  база раздела IV

База раздела не придумывает новую модель удержания, а берёт в качестве исходного уровня те же Monte Carlo-зависимости, которые уже были подробно проанализированы раньше. Это обеспечивает внутреннюю преемственность всей монографии.

Для удобства проектирования в этом разделе законы eta_MC(K) принимаются как исходные. Это означает, что глава 20 рассматривает Monte Carlo-удержание как базовую envelope-функцию, отвечающую за геометрически организованную ловушку до открытия апертуры. Затем к этой базе добавляется спектральная нормировка по ka и апертурная деградация по chi. Такая архитектура чрезвычайно логична: удержание зависит прежде всего от K, а открытый режим и спектр модифицируют его уже поверх этого основного геометрического слоя.

Полезно ещё раз явно выписать этот исходный слой.

Таблица 26. Closed-cavity законы eta_MC(K), принятые как исходный уровень удержания.

Топология	Режим	eta_MC(K)
Вертикальная	center	1 / (1 + 23.36 · K^1.15)
Горизонтальная	center	1 / (1 + 23.36 · K^1.26)
Вертикальная	uniform	1 / (1 + 93.31 · K^1.24)
Горизонтальная	uniform	1 / (1 + 8.27 · K^0.86)

Таблица 26 играет в главе 20 фундаментальную роль. Она показывает, что модель не является произвольной аппроксимацией «с нуля». Её часть уже калибрована на Monte Carlo-результатах и тем самым связана с аналитической геометрией и лучевой физикой раздела I. Это особенно важно для доверия к дальнейшим картам: их первый слой опирается не на эвристику, а на уже имеющийся численный фундамент.

20.3. Нормировочная спектральная функция

Следующий шаг — введение нормировочной конечной спектральной функции. Это очень важный ход. До этого момента теория уже многократно говорила о необходимости конечных спектральных окон, но честно признавала, что сами окна ещё не вычислены прямым FEM-расчётом. Чтобы при этом всё же иметь рабочую спектральную ось для раздела IV, вводится простая воспроизводимая функция:

W(ka) = 1 / (1 + ((ka — 3.0) / 1.2)^2).

В монографии прямо сказано, что она не претендует на замену реальных спектральных окон FEM-расчёта, а лишь задаёт воспроизводимую рабочую шкалу раздела IV. Именно в таком статусе её и нужно понимать.

Научный смысл этой функции состоит в том, что она впервые вводит конечную спектральную огибающую прямо в слой. Иными словами, даже на этом уровне теория сознательно отказывается от идеи бесконечной «равноработающей» частотной оси. Уже здесь модель навязывает конечную окрестность по ka, где локализационный режим считается максимально вероятным, и ослабляет его по мере удаления от центра. Это очень важно методологически: даже промежуточная модель следует логике критерия C3 и не позволяет незаметно вернуться к идее неограниченной частотной универсальности.

При этом форма функции проста: это гладкий симметричный горб с максимумом при ka = 3.0 и характерной шириной порядка 1.2. Выбор именно такой формы не является физическим «законом» для псевдопараболоидов. Он выполняет другую задачу: создаёт удобную и воспроизводимую нормировку, на которой можно отлаживать сам язык карт. Это нужно подчёркивать очень жёстко. Если этого не сделать, читатель может принять максимум в ka = 3.0 за уже вычисленное истинное оптимальное окно, тогда как в реальности это только центр шкалы раздела IV.

Именно поэтому иллюстрация этой функции должна иметь ясную интерпретацию.

Рисунок 23. Нормировочная функция W(ka), задающая пилотное конечное окно локализации.

Рисунок визуализирует не физически доказанное окно, а только окно, в пределах которого слой будет строить первые карты. Его задача — не подменить критерий C3, а создать управляемую спектральную ось для раздела IV. Это крайне важное различие. Именно оно сохраняет честность всей вычислительной программы.

20.4. Pilot-модель открытой полости

Монография вводит простую модель открытого режима:

eta_center(K, chi, ka) = eta_MC(K) · W(ka) / (1 + chi),

eta_out(K, chi, ka) = 0.8 · eta_MC(K) · W(ka) · chi / (1 + chi),

Phi(K, chi, ka) = eta_center · eta_out.

Эти три формулы составляют ядро главы 20. Их смысл нужно раскрыть максимально подробно, потому что именно отсюда начинают расти все карты раздела IV.

Первая формула говорит, что внутренняя локализация в открытом режиме строится как удержание в закрытой полости, ослабленное двумя факторами: спектральной envelope W(ka) и апертурной деградацией 1 / (1 + chi). Это соответствует очень естественной логике. Чем благоприятнее исходная геометрия по K, тем выше базовое удержание. Чем ближе режим к центру окна по ka, тем сильнее сохраняется локализация. И, наконец, чем больше относительная апертура chi, тем слабее удержание в уже открытой системе. Эта формула не является физически строгим выводом из Maxwell или Helmholtz. Но как первая схема она чрезвычайно осмысленна: она монотонна в правильных направлениях и внутренне согласована с уже введённой логикой разделов I–III.

Вторая формула задаёт выход через апертуру. Здесь используется множитель chi / (1 + chi), который выражает очевидную идею: при очень малой апертуре утечка мала, при росте chi она усиливается, но затем saturates. Множитель 0.8 вводит дополнительную нормировочную поправку, задающую realistic scale для eta_out. И, наконец, та же envelope eta_MC(K) · W(ka) означает, что значимый результат может возникать лишь там, где сама внутренняя ловушка и спектральная шкала ещё поддерживают режим.

Третья формула вводит Phi(K, chi, ka) = eta_center · eta_out. Тем самым прямо в слое появляется первый аналог критерия C4. Это очень важное достоинство главы 20. Она не ограничивается только картой удержания, а сразу строит и функционал полезности открытого режима. Следовательно, слой уже способен различать области, где система слишком закрыта, и области, где апертура слишком сильно разрушает локализацию. Именно в таком виде модель превращается из простой сглаженной поверхности в первый полезный проектный инструмент.

20.5. Что именно умеет эта модель и чего она не умеет

Модель умеет делать три полезные вещи. Во-первых, она позволяет быстро строить первые трёхмерные или двумерные сечения карт в пространстве (K, chi, ka). Во-вторых, она даёт рабочий язык для оценки компромисса между удержанием и выводом. В-третьих, она впервые позволяет ввести ε* в численный разговор до того, как будет завершён полный FEM-слой. Именно это и было специально отмечено в исходнике.

Но также важно, что модель не умеет. Она не может предсказать настоящую модовую перестройку. Она не различает поляризацию Maxwell-поля. Она не проверяет долю гармоники m = 0 на кольцевой щели. Она не даёт реального дальнего поля и therefore не может честно вычислить theta_div и S_dB. Она не закрывает спектральные окна критерия C3. И она, разумеется, не даёт истинного полноволнового значения ε*.

Именно поэтому глава 20 должна постоянно подчёркивать: модель — это не замена FEM, она сужает область поиска, но не подменяет окончательного доказательства.

20.6. Почему модель уже полезна для критерия C8

Одна из самых ценных идей главы 20 состоит в том, что даже такая простая модель полезна не только для карт eta_center, но и для первого перевода критерия C8 в численный язык. На первый взгляд может показаться, что до полного FEM-слоя говорить о робастности бессмысленно. Но это не так. Уже модель позволяет увидеть, какие области (K, chi, ka) обладают хотя бы положительным пилотным запасом по базовым порогам удержания и вывода. В исходной монографии это прямо сформулировано как одна из двух главных целей слоя.

Здесь очень важно не преувеличивать, что ε * не является доказательством технологической реализуемости. Но он выполняет другую, чрезвычайно полезную функцию: он показывает, есть ли вообще смысл тратить вычислительный ресурс на полноволновое уточнение данной точки. Если уже на слое никакой положительный запас не возникает, то такая область параметров с высокой вероятностью не заслуживает детальной Maxwell / Helmholtz / Schrödinger-проверки. Если же ε* положителен, это не доказывает успех, но поднимает точку в приоритетный список для дальнейших полноволновых расчётов. В этом и состоит подлинная вычислительная ценность главы 20.

Таким образом, модель встраивается в общую логику критериев очень аккуратно. Для C3 она задаёт спектральную огибающую. Для C4 — первый функционал Phi. Для C8 — первый численный язык допуска. И всё это делается без притязания на то, что эти карты уже являются окончательной физической истиной. Именно такая архитектура и делает раздел IV научно сильным.

20.7. Выводы по главе

1. Глава 20 вводит модель раздела IV не как замену FEM, а как уровень для быстрого построения первых карт eta_center(K, chi, ka) и для первичного перевода критерия C8 в численный язык допуска.

2. Базой слоя служат калиброванные Monte Carlo-законы eta_MC(K) из Таблицы 24. Это обеспечивает преемственность между разделами I и IV.

3. Для спектральной оси вводится нормировочная функция W(ka) = 1 / [1 + ((ka — 3.0) / 1.2)^2]. Она задаёт воспроизводимую рабочую шкалу, но не претендует на замену реальных спектральных окон FEM.

4. Модель открытой полости задаётся формулами eta_center(K, chi, ka) = eta_MC(K) · W(ka) / (1 + chi), eta_out(K, chi, ka) = 0.8 · eta_MC(K) · W(ka) · chi / (1 + chi), Phi = eta_center · eta_out. Это делает слой первым вычислимым аналогом критерия C4.

5. Сглаженность карт не должна интерпретироваться как физическая гладкость реальной задачи. В прямом Helmholtz / Maxwell / Schrödinger расчёте карты будут изрезаны резонансными пиками, модовыми переключениями и интерференционными провалами.

6. Модель годится для навигации, но не для окончательного доказательства.

Итоги раздела IV

Раздел IV завершает переход, который только намечался в предыдущих частях монографии: от аналитически строгой геометрии и системы критериев C1–C8,  к воспроизводимой вычислительной архитектуре, в которой эти критерии начинают получать численное наполнение.

Раздел IV делает теорию не только формулируемой, но и операциональной.

При этом особенно важно подчеркнуть: раздел IV не подменяет собой полный цикл Helmholtz, Maxwell и Schrödinger. Математическая и вычислительная сила раздела состоит не в том, что он уже «доказал всё», а в том, что он впервые организовал область поиска так, чтобы финальная проверка стала практически выполнимой.

Итогом раздела IV следует считать окончательную фиксацию вычислительной геометрии. В главах 18–19 геометрия псевдопараболоидов была приведена к форме, пригодной для прямого рассчёта по параметрам. Вертикальная топология окончательно задаётся профилем rho(X) = R — sqrt(4f|X|), а горизонтальная — профилем rho(Z) = (R — |Z|)^2 / (4f). Тем самым полностью снята двусмысленность между аналитической и численной формой геометрии. Для открытого режима столь же однозначно заданы и апертуры: полярные окна для вертикальной формы и экваториальная кольцевая щель для горизонтальной. Это чрезвычайно важный итог, потому что без такой фиксации любые дальнейшие карты в пространстве (K, chi, ka) не имели бы строгого объекта, к которому они относятся.

Второй ключевой итог — окончательная параметризация вычислительного пространства через K = f / R, chi = Delta / lambda и ka = 2pi a / lambda. До раздела IV эти величины уже существовали как аналитические параметры формы, апертуры и спектра. Но именно здесь они становятся координатами прямого численного сканирования. Это переводит весь язык монографии в пространство, где позднее и должно проверяться условие U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q ≠ пустому множеству. Иначе говоря, раздел IV не просто использует прежние обозначения, а превращает их в реальные координаты вычислительной карты.

Третий итог — распределение ролей между COMSOL, FreeFEM и FEniCS. В главе 19 уже показано, что COMSOL предпочтителен для осесимметричного Helmholtz и особенно для 3D Maxwell с PML и far-field, FreeFEM удобен как прозрачный weak-form полигон для scalar-задач, а FEniCS и FEniCSx — как инструмент параметрических рассчётов, чувствительности и постобработки. Это принципиально важно для всей дальнейшей верификации: теория получает не один пакет «для всего», а архитектуру кросс-проверки, где ключевые результаты не опираются на единственный вычислительный стек.