Приложение A. Единый список основных формул

A.1. Базовые геометрические параметры

Основной безразмерный параметр формы: K = f / R.

Геометрический предел семейства: a = R^2 / (4f) = R / (4K).

Аспектное отношение: Λ = a / R = 1 / (4K).

Эти формулы являются центральными для всего семейства псевдопараболоидов и задают переход от размерной геометрии к единому безразмерному описанию.

A.2. Каноническая геометрия вертикальной топологии

Внутренняя поверхность вертикального псевдопараболоида задаётся формулой: ρ(X) = R — sqrt(4f|X|), при |X| ≤ a.

Это исправленная и согласованная каноническая форма, соответствующая как геометрической теории монографии, так и исходному Python-построению через образующую y(x) = 2sqrt(f|x|) и радиус вращения ρ = R — y.

Нормированный профиль вертикальной топологии: x* = X / a, r* = ρ / R.

Нормированный закон: r*(x*) = 1 — sqrt(|x*|), при |x*| ≤ 1.

A.3. Каноническая геометрия горизонтальной топологии

Эквивалентные формы записи поверхности: |Z| = R — sqrt(4fρ), либо ρ(Z) = (R — |Z|)^2 / (4f), при |Z| ≤ R.

Нормированный профиль горизонтальной топологии: z* = Z / R, s* = ρ / a.

Нормированный закон: s*(z*) = (1 — |z*|)^2, при |z*| ≤ 1.

Эти выражения задают вторую основную топологию семейства и полностью согласуются с вычислительным описанием раздела IV.

A.4. Локальная асимптотика активных зон

Экваториальная корневая особенность вертикальной формы: ρ(X) = R — 2sqrt(f|X|), при X → 0.

Полярный клин вертикальной формы при X = a — s и s << a: ρ(a — s) ≈ (2f / R) · s.

Экваториальный клин горизонтальной формы при ρ = a — δ и δ << a: |Z| ≈ (2f / R) · δ.

Единый параметр клиновой открытости: P = 2f / R = 2K.

Клиновой угол: α_w = arctan(2f / R) = arctan(2K).

Эти формулы задают локальный геометрический механизм, который в книге рассматривается как ядро аттракторного эффекта.

A.5. Интегральные геометрические характеристики

Объём вертикального псевдопараболоида: V_v = π ∫ от -a до a (R — sqrt(4f|X|))^2 dX = πR^4 / (12f) = (π / 3) R^2 a.

Объём горизонтального псевдопараболоида: V_h = π ∫ от -R до R ((R — |Z|) / (2sqrt(f)))^4 dZ = πR^5 / (40f^2) = (2π / 5) a^2 R.

Отношение объёмов: V_h / V_v = 3R / (10f) = 3 / (10K).

Эти формулы обосновывают, почему горизонтальная топология при малых K обладает большей геометрической ёмкостью.

A.6. Базовые безразмерные параметры открытого режима

Относительная ширина апертуры: χ = Δ / λ.

Спектральный параметр: q = a / λ.

Эквивалентная спектральная запись: ka = 2πa / λ.

Именно тройка (K, χ, ka) образует основное пространство параметров всей вычислительной части монографии.

A.7. Формулы апертур вертикальной топологии

Полная ширина каждого полярного окна: Δ.

Локальный радиус окна: ρ_s = Δ / 2.

Точное положение среза относительно полюса: s_exact = (RΔ — Δ^2 / 4) / (4f).

Положение окон по оси X: X_s = ±(a — s_exact).

Эти выражения задают геометрию и определеие вертикальной топологии.

A.8. Формулы апертур горизонтальной топологии

Полная высота кольцевой щели: Δ.

Координата щели по высоте: |Z_s| = Δ / 2.

Радиус кольцевой щели: ρ_s = (R — Δ / 2)^2 / (4f).

Отступ от идеального экваториального края: δ_exact = a — ρ_s = (RΔ — Δ^2 / 4) / (4f).

Эти формулы задают геометрию и определеие горизонтальной топологии.

A.9. Первые дифракционные оценки направленности

Для вертикальной круговой апертуры: θ_0,vert ≈ arcsin(1.22λ / Δ) = arcsin(1.22 / χ).

Для горизонтальной тонкой кольцевой щели: kρ_s = (2π / λ) · ρ_s.

Первый нуль диаграммы кольца: θ_0,ring ≈ arcsin(2.4048 / (kρ_s)).

Эти формулы используются как оценки первого порядка и не подменяют полноволновые расчёты.

A.10. Monte Carlo fitted-законы удержания

Для режима central: η_V,center(K) ≈ 1 / (1 + 23.36 K^1.15).

Для режима central: η_H,center(K) ≈ 1 / (1 + 23.36 K^1.26).

Для режима uniform: η_V,uniform(K) ≈ 1 / (1 + 93.31 K^1.24).

Для режима uniform: η_H,uniform(K) ≈ 1 / (1 + 8.27 K^0.86).

Именно эти fitted-законы использованы как closed-cavity база surrogate-слоя раздела IV.

A.11. Surrogate-модель раздела IV

Нормировочная pilot-спектральная функция: W(ka) = 1 / (1 + ((ka — 3.0) / 1.2)^2).

Pilot-модель внутренней локализации: η_center(K, χ, ka) = η_MC(K) · W(ka) / (1 + χ).

Pilot-модель выхода: η_out(K, χ, ka) = 0.8 · η_MC(K) · W(ka) · χ / (1 + χ).

Функционал полезности открытого режима: Φ(K, χ, ka) = η_center · η_out.

Эти формулы предназначены для навигации по пространству параметров, а не для замены полного Helmholtz / Maxwell / Schrödinger-расчёта.

A.12. Критерий робастности

Единая консервативная норма ошибки: ε = max(|δ_R|, |δ_f|, |δ_Δ|, ||s||∞ / R).

Строгая форма запаса устойчивости: ε*_((w,T)) = sup { ε > 0 : η_center ≥ η_min, η_out ≥ η_out,min, θ_div ≤ θ_max, S_dB ≤ S_max }.

Именно эта формула задаёт математическое ядро критерия C8.

A.13. Критерий межфизической универсальности

Рабочая область для каждой физики: U_w = { (K, χ, ka) ∈ Π : η_center ≥ η_min, η_out ≥ η_out,min, θ_div ≤ θ_max, S_dB ≤ S_max }.

Строгий критерий универсальности: U_EM ∩ U_AC ∩ U_Q ≠ ∅.

Эта формула отделяет уже доказанную геометрическую универсальность формы от ещё не завершённой физической универсальности режима.

Приложение B. Единый словарь обозначений

R         крупномасштабный геометрический размер, связанный со смещением оси вращения.

f           параметр кривизны базовой параболической образующей.

a          геометрический предел семейства: полудлина вертикальной и горизонтальной топологии псевдопараболоида, или экваториальный радиус .

K = f / R          главный безразмерный параметр формы.

Λ = a / R         аспектное отношение.

ρ          радиальная координата поверхности.

X         продольная координата вертикальной и горизонтальной топологии псевдопараболоида.

Z          осевая координата вертикальной и горизонтальной топологии псевдопараболоида.

x*, z*  нормированные координаты.

r*, s*   нормированные профили.

Δ         полная ширина апертуры.

χ = Δ / λ          относительная ширина апертуры.

λ          длина волны.

q = a / λ           безразмерный геометрический масштаб.

ka = 2πa / λ     спектральный параметр.

P = 2f / R = 2K           параметр клиновой открытости.

α_w = arctan(2K)       клиновой угол.

ρ_s      характерный радиус апертуры или кольцевой щели.

s_exact            точный полярный отступ окна.

δ_exact           точный экваториальный отступ кольцевой щели.

η_MC  Monte Carlo-метрика удержания первого порядка.

η_center          доля энергии, вероятности или потока в активной зоне.

η_out   доля энергии, выходящая через апертуру.

Φ         функционал полезности открытого режима.

θ_div   угловая расходимость главного лепестка.

S_dB   уровень боковых лепестков.

Q, Q_shape     добротность и её суррогатная shape-метрика.

m         азимутальный номер моды.

ε          норма суммарного возмущения.

ε*        положительный запас устойчивости рабочего режима.

U_w    рабочая область для данной физики.

Π         общее пространство безразмерных параметров.

Приложение C. Итоговые иллюстрации

Рисунок П1. Логическая схема верификации теории псевдопараболоидов: от геометрии и Monte Carlo-слоя к полноволновым расчётам, универсальности и полному ε*.

Рисунок П2. Пространство параметров (K, χ, ka) и идея рабочей области U_w, внутри которой совместно выполняются критерии локализации, вывода и направленности.

Рисунок П3. Лестница критериев C1–C8 и переход к полноволновому подтверждению робастности и межфизической универсальности.