Настоящая глава фиксирует геометрию границы общего внутреннего объёма. После того как построены одиночный объём n-го порядка и рядная система из m экземпляров, следующий ключевой вопрос состоит не в том, сколько формальных ветвей породила рекурсия, а в том, какая реальная граница отделяет внутреннюю область от внешнего пространства. Именно эта граница станет отражающей стенкой для лучевой постановки, носителем граничных условий для волновых задач и основой для будущей дискретизации.

Граница понимается строго как граница объединённого множества. Это означает, что она не равна простой сумме всех ветвей, не равна внешней огибающей и не создаётся искусственным соединением разорванных частей. Она возникает только после интервальной рекурсии, операции Merge и осевого объединения рядов. Поэтому структура границы в общем случае является кусочно-гладкой: она состоит из гладких участков, точек касания, мест смены активного интервала, осевых предельных зон и сопряжений между рядами.

10.1. Граница как граница объединённого объёма

Пусть Ω обозначает общий внутренний объём выбранной конфигурации. Это может быть одиночный объект Ωₙ или рядная система Ωₙ,ₘ. Граница определяется топологически:

∂Ω = cl(Ω) \ int(Ω).

Эта формула принципиально важна. Она говорит, что граница определяется не историей построения, а итоговым объединённым множеством. Если два интервала или два ряда перекрылись, общая внутренняя часть не становится стенкой. Она принадлежит объёму и не должна отображаться как самостоятельная отражающая поверхность. Если же между компонентами есть реальный пустой зазор, скрипт обязан оставить разрыв и не имеет права соединять края прямой линией.

В меридиональном сечении при фиксированной осевой координате ξ общий объём задаётся системой объединённых интервалов

I(ξ) = { [α₁(ξ), β₁(ξ)], …, [α_q(ξ), β_q(ξ)] }.

Граничными кривыми сечения являются верхние границы ρ = β_j(ξ) и нижние границы ρ = α_j(ξ), если α_j(ξ) > 0. Если α_j(ξ) = 0, то это не внутренняя тороидальная стенка, а оседостигающая часть объёма. В пространственном теле вращения ось не должна автоматически считаться физической отражающей стенкой: она является координатной особенностью цилиндрического описания, а не искусственно добавленной поверхностью.

10.2. Ветви, интервалы и активная граница

Формальные ветви показывают, откуда возникли возможные радиальные уровни. Но активная граница определяется только после объединения интервалов. Поэтому число формальных ветвей Nₙ = 2ⁿ⁻² не равно числу реальных граничных компонент. Часть ветвей может оказаться внутри объединённого объёма и исчезнуть как граница; часть может стать внутренней стенкой; часть может образовать внешнюю стенку; а в некоторых режимах граница может переключаться с одной порождающей ветви на другую.

Так возникает понятие активной границы. При данном ξ активной является та кривая α_j(ξ) или β_j(ξ), которая реально ограничивает объединённый интервал. Внутренние дублирующие границы, лежащие внутри Ω, не участвуют в отражении луча и не должны изображаться как самостоятельные стенки.

10.3. Регулярные гладкие участки

Регулярным участком границы называется участок, на котором граница задаётся одной гладкой функцией ρ = f(ξ), причём f(ξ) > 0 и нет смены активного интервала. При вращении такого участка вокруг оси возникает гладкая поверхность. Для вертикального типа параметризация имеет вид

X(ξ, φ) = (ξ, f(ξ) cos φ, f(ξ) sin φ),

а для горизонтального типа, где осевая координата откладывается вдоль y, можно записать

X(ξ, φ) = (f(ξ) cos φ, ξ, f(ξ) sin φ).

На таких участках существует нормаль, что делает возможным применение стандартного закона зеркального отражения и классических граничных условий волновых задач. Именно поэтому регулярные участки являются первой опорной частью будущей физической постановки.

10.4. Сингулярное множество границы

Граница общего объёма в общем случае не является одной гладкой поверхностью. Её удобно разложить на регулярную часть и сингулярное множество:

∂Ω = ∂Ω^reg ∪ Σ,

где ∂Ω^reg состоит из гладких участков, а Σ содержит точки и линии, в которых нормаль неоднозначна, разрывна или требует специальной численной обработки.

К сингулярным элементам относятся:

• точки рождения и исчезновения интервалов, где β_j(ξ) = α_j(ξ);

• места касания интервалов, которые после Merge становятся одной областью;

• точки смены активной границы, где одна порождающая ветвь перестаёт быть внешней или внутренней стенкой, а другая становится активной;

• оседостигающие зоны, где нижняя граница α_j(ξ) обращается в ноль;

• контактные и перекрывающиеся зоны рядной системы, управляемые параметром h;

• изломы, появляющиеся в горизонтальном типе при разделении по положениям рядов, чтобы не возникало ложного сглаживания.

Для будущего лучевого моделирования это означает, что закон отражения на ∂Ω^reg можно задавать стандартно, а вблизи Σ нужно вводить специальные правила: локальное уточнение сетки, регуляризацию, вероятностную обработку попадания в угол или исключение нулевой меры из статистики.

10.5. Пересечения, вложения и исчезновение дублирующих стенок

Если отдельные порождающие компоненты пересекаются или вложены, скрипт не удаляет сами объёмы как элементы построения. Но их общая часть в итоговом множестве учитывается один раз. Это фундаментальное правило: удаляется не объект, а дублирование объёма. Поэтому граница пересекающихся компонент после Merge не является суммой всех исходных стенок. Внутренние поверхности, оказавшиеся внутри объединённого объёма, перестают быть границей ∂Ω.

Такой режим особенно важен для геометрической волновой инженерии. Именно здесь формируется не простая оболочка, а внутренняя архитектура с переходами, горловинами и зонами смены активной границы. На рисунке 10.5 показан пример режима, где R₁ меньше базового максимального радиуса, что приводит к оседостигающим и объединяющим эффектам.

Рис. 10.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, режим с внутренним пересечением/вложением и активным Merge. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 1; h = 0.

10.6. Граница рядной системы: зазор, касание и перекрытие

В рядной системе граница усложняется не за счёт нового порядка, а за счёт осевого объединения нескольких одинаковых экземпляров. Параметр h управляет расстоянием между соседними центрами через шаг

step = 2H + h.

Если h > 0, между рядами существует реальный пустой промежуток. Этот промежуток обязан оставаться пустым: нельзя соединять края соседних рядов линией или поверхностью. Если h = 0, возникает контактный режим. Если h < 0, области перекрываются, и общая граница после Merge изменяется: часть бывших стенок становится внутренней дублирующей поверхностью и больше не принадлежит ∂Ωₙ,ₘ.

Рис. 10.6. Вертикальная рядная система 4-го порядка при положительном зазоре. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = 6. Видны реальные пустые промежутки, которые скрипт не соединяет.

Рис. 10.7. Вертикальная рядная система 4-го порядка при перекрытии. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = -4. Граница является границей объединённого объёма, а не суммой всех наложенных контуров.

Рис. 10.8. Горизонтальная рядная система 4-го порядка при перекрытии. Параметры те же, что на рис. 10.8.

10.7. Пространственная граница и поверхности вращения

Финальный скрипт визуализирует не заполненную CAD-модель, а поверхности границы общего объёма, полученные вращением активных граничных кривых. Для внешней границы используется верхняя функция β_j(ξ), для внутренней тороидальной стенки — нижняя функция α_j(ξ), если α_j(ξ) > 0. Это согласовано с физическим смыслом: отражение и граничные условия задаются именно на ∂Ω, а не во всём объёме одновременно.

Рис. 10.9. Вертикальная рядная система 4-го порядка при h = -4: 3D поверхности границы общего объёма.

Рис. 10.10. Горизонтальная рядная система 4-го порядка при h = -4: 3D поверхности границы общего объёма.

10.8. Нормаль к регулярной границе

На регулярной поверхности вращения, порождённой функцией ρ = f(ξ), нормаль может быть выражена через производную f′(ξ). Для вертикального типа, где поверхность записана как X(ξ, φ) = (ξ, f cosφ, f sinφ), один из направлений нормали пропорционален

n ∼ (-f′(ξ), cosφ, sinφ).

После нормировки получаем

n = (-f′(ξ), cosφ, sinφ) / √(1 + f′(ξ)²).

Для горизонтального типа, при параметризации X(ξ, φ) = (f cosφ, ξ, f sinφ), соответствующая запись имеет вид

n = (cosφ, -f′(ξ), sinφ) / √(1 + f′(ξ)²).

Эти формулы не означают, что текущий скрипт уже выполняет лучевую трассировку или вычисляет нормали. Они фиксируют математическую основу будущего расширения. Текущая версия скрипта строит геометрию и визуализирует границу; последующие расчётные модули должны брать нормали именно на регулярной части ∂Ω^reg.

10.9. Запрет искусственных линий как геометрический закон

Для данной теории запрет искусственных соединительных линий является не вопросом графического стиля, а частью математической корректности. Если две компоненты не соединены через общий внутренний объём, то никакая линия на рисунке не имеет права создавать видимость соединения. Если интервал исчезает и появляется другой интервал, нельзя соединять их прямым отрезком. Если рядные экземпляры разделены зазором h > 0, между ними должна оставаться пустота.

Именно поэтому финальный скрипт отключает заливку 2D областей, не использует fill_between или fill_betweenx для создания замыкающих прямых, разбивает кривые при скачках радиуса и добавляет контрольные точки в пустые промежутки между осевыми проекциями компонент. Эти операции не добавляют новую геометрию; наоборот, они защищают изображение от ложной геометрии.

10.10. Значение границы для волновой инженерии

В геометрической волновой инженерии граница является не пассивным контуром, а активным организатором движения энергии. Гладкие участки задают регулярные отражения и устойчивые направления распространения. Сингулярные зоны, горловины, касания и переключения активной границы могут создавать задержки, перераспределения и локальные режимы многократного взаимодействия. Именно поэтому теория границы должна предшествовать лучевой и волновой постановке.

Революционный смысл предлагаемого класса геометрий состоит в том, что сложность границы возникает не произвольно, а из простой рекурсивной схемы, интервального объединения и рядной осевой компоновки. Это делает псевдогиперболоидные объёмы управляемыми: изменяя R₁, R₂, …, Rₙ₋₂, m и h, можно перестраивать не только внешний вид, но и саму топологию области, на которой будет распространяться волна.

10.11. Выводы главы

1. Граница общего внутреннего объёма определяется как ∂Ω = cl(Ω) \ int(Ω), то есть как граница итогового объединённого множества, а не как сумма всех порождающих ветвей.

2. Активная граница появляется только после интервальной рекурсии и операции Merge; дублирующие внутренние поверхности не являются отражающими стенками.

3. На регулярных участках граница задаётся гладкими функциями ρ = f(ξ) и имеет нормаль, пригодную для будущих лучевых и волновых расчётов.

4. Сингулярное множество Σ включает касания, переключения активной границы, осевые предельные зоны, исчезающие интервалы и сопряжения рядов.

5. Рядность изменяет структуру границы через параметр h: зазор, касание и перекрытие создают разные граничные режимы без изменения внутреннего порядка n.

6. Финальный скрипт корректно защищает геометрию от искусственных прямых линий: он отображает только реальные границы объединённого объёма.

7. Эта глава завершает качественное описание границы и подготавливает переход к количественным геометрическим характеристикам общего объёма.