Настоящая глава вводит количественный язык для общего внутреннего объёма рядных псевдогиперболоидов. После построения границы возникает следующий естественный шаг: нужно научиться измерять построенную область. Для геометрической волновой инженерии это принципиально, потому что управление волнами начинается не с декларации формы, а с измеримых характеристик пространства, в котором распространяются лучи, моды и поля.

Здесь важно не приписывать финальному скрипту больше, чем он действительно делает. Эталонный скрипт строит общий объём, 2D меридиональные сечения и 3D поверхности границы. Он возвращает параметры, предупреждения и список сохранённых файлов, но не возвращает в штатном виде площадь сечения, полный объём, число компонент связности или интегральные характеристики. Поэтому настоящая глава формулирует корректные вычислимые характеристики и показывает, как они должны быть получены из тех же интервальных данных [lo, hi], на которых уже основан скрипт.

11.1. Назначение геометрических характеристик

Геометрические характеристики нужны для перехода от качественной формы к количественной инженерии. Один и тот же порядок n может давать различные волновые режимы в зависимости от параметров a, b, R, R₁, R₂, …, m и h. Поэтому недостаточно сказать, что объект имеет четвёртый или пятый порядок. Нужно знать площадь сечения, объём, максимальный радиус, внутренний радиальный зазор, эффективную осевую длину, число активных интервалов и характер связности.

Эти величины должны вычисляться не по отдельным ветвям, а по уже объединённому объёму. Иначе будут учтены дублирующиеся части, искусственные внутренние стенки или ложные компоненты, которые исчезают после операции Merge. Поэтому все определения ниже опираются на интервальное описание

Iₙ,ₘ(ξ) = { [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] }₍ⱼ₌₁₎^{M(ξ)},    0 ≤ αⱼ(ξ) ≤ βⱼ(ξ).

Именно эта запись соответствует вычислительному состоянию после построения, слияния и осевой сборки рядной системы.

Финальный скрипт уже создаёт необходимые исходные данные для будущего блока измерений: глобальную ось, списки нижних радиальных границ lo_components и списки верхних радиальных границ hi_components. После этого строятся 2D и 3D изображения. Однако сами численные интегралы в текущей версии не возвращаются как отдельные результаты.

Поэтому научно корректная формулировка должна быть такой: геометрические характеристики являются не уже встроенным результатом финального скрипта, а естественным и строгим постпроцессингом тех интервальных данных, которые скрипт уже строит. Это важное уточнение защищает теорию от завышенного утверждения и одновременно показывает прямой путь развития вычислительного аппарата.

Таблица 11.1. Основные геометрические характеристики, которые должны вычисляться по объединённым интервальным данным.

Характеристика	Обозначение	Смысл
Площадь меридионального сечения	S_mer	Площадь объединённой области в плоскости ось–радиус
Полный объём вращения	V	Пространственный объём после вращения интервалов вокруг оси
Максимальный радиус	ρ_max	Наибольший внешний радиальный размер
Внутренний радиальный зазор	ρ_min⁺	Минимальная положительная внутренняя граница, если она существует
Среднее число интервалов	⟨M⟩	Средняя многозонность по осевой координате
Эффективная осевая длина	L_eff	Длина проекции активной области на общую ось

Рис. 11.1. Вертикальный тип, 2-й порядок: базовая область для измерения. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0.

Рис. 11.2. Горизонтальный тип, 2-й порядок: базовая область для измерения. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0.

11.2. Площадь меридионального сечения

Площадь меридионального сечения должна вычисляться по объединённым интервалам. Если при фиксированном ξ активны интервалы [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)], то в полном меридиональном сечении учитываются две симметричные стороны относительно оси. Поэтому локальная ширина области равна

w(ξ) = 2 Σⱼ [ βⱼ(ξ) — αⱼ(ξ) ].

Тогда площадь меридионального сечения задаётся интегралом

S_mer = ∫ w(ξ) dξ = 2 ∫ Σⱼ [ βⱼ(ξ) — αⱼ(ξ) ] dξ.

Эта формула не считает ветви дважды и не создаёт искусственных заполнений. Если αⱼ(ξ)=0, интервал доходит до оси; если αⱼ(ξ)>0, возникает кольцевая зона в меридиональном сечении. В обоих случаях площадь считается по одному и тому же правилу, потому что исходный объект уже прошёл операцию Merge.

11.3. Полный объём тела вращения

Пространственный объём вращения также должен вычисляться по объединённым радиальным интервалам. Для одного интервала [α, β] площадь поперечного кольца равна π(β² — α²). Поэтому полный объём записывается как

V = π ∫ Σⱼ [ βⱼ²(ξ) — αⱼ²(ξ) ] dξ.

Эта формула особенно важна для волновой инженерии, потому что объём определяет масштаб доступного пространства для поля. Однако сам по себе большой объём не означает лучшего удержания или большей локализации. Для физического анализа объём должен рассматриваться вместе с числом интервалов, горловинами, связностью и геометрией границы.

Рис. 11.3. Вертикальный тип, 4-й порядок, одиночный объект. По таким объединённым интервалам должны вычисляться S_mer и V. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 1; h = 0.

Рис. 11.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок, одиночный объект. Параметры те же, что на рис. 11.3.

11.4. Радиальные и осевые масштабы

Ключевыми масштабами общего объёма являются максимальный внешний радиус, минимальная положительная внутренняя граница и эффективная осевая длина. Максимальный радиус определяется как

ρ_max = max_{ξ,j} βⱼ(ξ).

Внутренний положительный радиальный зазор удобно задавать как

ρ_min⁺ = min { αⱼ(ξ) : αⱼ(ξ) > 0 }.

Если все активные интервалы доходят до оси, то такая положительная внутренняя граница отсутствует и объект не является строго тороидальным по данному критерию. Эффективная осевая длина задаётся длиной проекции активной области на общую ось:

L_eff = max D_active — min D_active.

Для рядных систем L_eff зависит не только от одного экземпляра, но и от параметров m и h. При h > 0 эффективная длина растёт с разрывами между рядами; при h < 0 перекрытие уменьшает суммарную протяжённость активной области.

11.5. Интервальная сложность и связность

Для волновых задач особенно важна не только метрическая величина объёма, но и внутренняя сложность. В фиксированном сечении ξ число активных интервалов M(ξ) показывает, сколько радиальных зон доступно в данной осевой точке. Среднее число интервалов можно записать как

⟨M⟩ = (1 / |D_active|) ∫_{D_active} M(ξ) dξ.

Эта характеристика показывает, насколько объект является однозонным или многозонным. Однако её нельзя путать с числом формальных ветвей Nₙ = 2ⁿ⁻². Формальных ветвей может быть много, но после Merge физическое число интервалов может быть меньше. Именно это различие является одним из центральных результатов новой объёмной трактовки.

Число компонент связности должно определяться по реальной объединённой области, а не по количеству рядов и не по количеству ветвей. В текущем тексте полезно различать две величины: число компонент проекции на ось и полное число компонент связности в меридиональном сечении или в 3D. Первая величина проще вычисляется по активным участкам оси; вторая требует отдельного топологического анализа или дискретной связной разметки области.

Рис. 11.5. Вертикальная рядная система 4-го порядка при h = 6: режим раздельных осевых участков. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3.

Рис. 11.6. Вертикальная рядная система 4-го порядка при h = -4: режим перекрытия. Параметры те же, что на рис. 11.5, но эффективная осевая длина уменьшается.

11.6. Геометрические характеристики как язык волновой инженерии

Для геометрической волновой инженерии характеристики из этой главы играют роль измеримого словаря формы. Площадь сечения определяет доступную меридиональную область. Полный объём задаёт пространственный масштаб. Максимальный радиус и эффективная длина задают габариты. Среднее число интервалов и связность характеризуют внутреннюю многозонность. Внутренний радиальный зазор показывает, содержит ли объект настоящие кольцевые зоны или доходит до оси.

Смысл этого перехода состоит в том, что форма перестаёт быть только рисунком. Она становится измеримой средой, параметры которой можно связывать с временем удержания лучей, распределением отражений, плотностью траекторий, спектром собственных мод и возможностью направленного вывода энергии. Однако такие физические утверждения должны оставаться проверяемой программой, а не заранее объявленным доказанным результатом.

11.7. Требование к следующей версии скрипта

Следующая версия вычислительного скрипта должна сохранить все правила финальной геометрической версии и добавить отдельный модуль метрик. Этот модуль не должен менять построение формы, дорисовывать линии или удалять внутренние компоненты. Он должен только читать уже построенные массивы global_axis, lo_components и hi_components и вычислять характеристики общего объёма.

Минимальный набор выходных величин следующего модуля должен включать:

• площадь меридионального сечения S_mer;

• объём вращения V;

• максимальный радиус ρ_max;

• минимальную положительную внутреннюю границу ρ_min⁺;

• эффективную осевую длину L_eff;

• среднее и максимальное число активных интервалов M(ξ);

• число компонент активной осевой проекции;

• по возможности — полную связность меридиональной области и 3D-объёма.

Именно такой модуль превратит визуальный скрипт в полноценный геометрический измерительный инструмент.

11.8. Выводы главы

1. Геометрические характеристики должны вычисляться по общему внутреннему объёму после Merge, а не по отдельным формальным ветвям.

2. Площадь меридионального сечения задаётся интегралом S_mer = 2∫Σ(βⱼ-αⱼ)dξ.

3. Полный объём вращения задаётся интегралом V = π∫Σ(βⱼ²-αⱼ²)dξ.

4. Число формальных ветвей Nₙ не равно числу физических интервалов и не равно числу компонент связности.

5. Текущий финальный скрипт создаёт данные для таких расчётов, но не возвращает эти характеристики как штатный результат.

6. Следующий вычислительный шаг должен добавить модуль метрик без изменения геометрии и без искусственного дорисовывания.