Настоящая глава систематизирует области допустимости параметров и классификацию режимов построения рядных псевдогиперболоидов. После того как в предыдущих главах были определены базовая гиперболическая образующая, рекурсивные интервалы, общий внутренний объём, рядная компоновка, граница и геометрические характеристики, необходимо зафиксировать, какие режимы считаются регулярными, какие являются предельными, какие приводят к внутренним пересечениям и какие требуют обязательного объединения через Merge.

12.1. Назначение классификации режимов

Классификация режимов нужна не для того, чтобы выбрать один «правильный» тип псевдогиперболоида и отбросить остальные. Напротив, она нужна для того, чтобы различать геометрически разные сценарии, каждый из которых может иметь собственное волновое значение. Регулярный режим удобен для проверки рекурсивной чистоты и числа формальных ветвей. Контактный режим показывает пороги перестройки внутренней структуры. Пересекающийся и оседостигающий режимы особенно важны для будущей геометрической волновой инженерии, потому что именно в них могут возникать зоны связи, горловины, внутренние переходы и области перераспределения энергии.

Следовательно, слово «допустимость» в этой теории имеет два разных смысла. Первый смысл — алгоритмическая допустимость: параметры должны позволять скрипту построить область без ошибки. Второй смысл — морфологическая допустимость: параметры могут переводить систему в регулярный, пограничный или пересекающийся режим, но все эти режимы остаются объектами исследования. Пересечение не является браком; браком является неправильная потеря геометрической информации.

12.2. Алгоритмически допустимые входные параметры

На уровне запуска финального скрипта существуют простые обязательные ограничения. Параметры a, b и R должны быть положительными. Параметр m должен быть целым числом не меньше единицы. Тип геометрии должен быть одним из трёх значений: vertical, horizontal или both. Режим вывода должен быть section, surface или all. Эти ограничения относятся к корректности вычислительного запуска, а не к морфологической классификации внутреннего объёма.

a > 0,    b > 0,    R > 0,    m ∈ N,    m ≥ 1.

Рекурсивные параметры R₁, R₂, … в текущем скрипте используются как числовые смещения. Для научной теории их следует рассматривать как положительные радиальные масштабы рекурсивных шагов. Если на некотором шаге параметр меньше текущего максимального радиуса предыдущего уровня, это не останавливает построение, а переводит объект в режим пересечения, вложения или достижения оси. Именно поэтому в скрипте проверка offsets носит предупреждающий, а не блокирующий характер.

12.3. Рекурсивный максимум и строгая классификация одиночного объекта

Пусть q₂ обозначает максимальный радиус базового второго порядка на рассматриваемом осевом диапазоне. Для вертикального типа q₂ = R, поскольку максимальный радиус достигается в вершинах открытого профиля. Для горизонтального типа q₂ равен максимуму функции xₕ(u), то есть

q₂,h = max xₕ(u) = a √(1 + (R / b)²).

Далее рекурсивный максимум формально растёт по правилу

qₖ₊₁ = Rₖ₋₁ + qₖ,    k ≥ 2.

Если на шаге k выполняется строгое неравенство

Rₖ₋₁ > qₖ,

то разностная часть не достигает нуля и сохраняется чисто кольцевая, или тороидальная, структура соответствующего шага. Если

Rₖ₋₁ = qₖ,

возникает предельный режим касания оси или внутреннего порога. Если

Rₖ₋₁ < qₖ,

то разностная компонента достигает нулевого радиуса после операции max(Rₖ₋₁ − β, 0), и объект переходит в режим внутреннего пересечения, вложения или оседостигающего объединения. Такой режим не запрещён: он требует правильного применения интервального оператора C_R и Merge.

Таблица № 12.1. Рекурсивный максимум и строгая классификация одиночного объекта

Условие на шаге	Геометрический смысл	Статус в теории
Rₖ₋₁ > qₖ	Регулярное разнесение радиальных зон; разностная граница положительна	Допустимый регулярный режим
Rₖ₋₁ = qₖ	Порог касания; внутренний радиус может достигать нуля	Допустимый предельный режим
Rₖ₋₁ < qₖ	Пересечение, вложение или достижение оси; требуется объединение интервалов	Допустимый режим Merge, не ошибка построения

12.4. Нельзя смешивать строгую классификацию с грубой меткой скрипта

В финальном скрипте существует вспомогательная функция morphology_class. Она сравнивает базовый параметр R только с max(offsets) и возвращает грубую текстовую метку. Эта метка полезна как краткая подпись запуска, но её нельзя считать полной научной классификацией режима. Полная классификация должна учитывать рекурсивные максимумы qₖ, отдельные шаги R₁, R₂, …, тип геометрии, интервальный Merge и рядный параметр h.

Поэтому в теории нужно соблюдать следующее правило: morphology_class — это диагностическая строка скрипта, а не окончательная теорема о топологии общего внутреннего объёма. Научная классификация задаётся рекурсивными условиями Rₖ₋₁ ≷ qₖ и анализом интервальной структуры после Merge.

12.5. Регулярный режим

Регулярным будем называть такой режим одиночного псевдогиперболоида, при котором на каждом рекурсивном шаге выполняется строгое условие Rₖ₋₁ > qₖ. В этом случае разностные интервалы не обрезаются до нулевого радиуса, а радиальные зоны остаются разнесёнными. Такой режим особенно удобен для демонстрации рекурсивного порядка, потому что формальная ветвь и реальная зона ещё легко сопоставляются.

Для яркой демонстрации регулярного четвёртого порядка использованы параметры: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0. Здесь первый и второй рекурсивные шаги находятся в строгом регулярном режиме.

Рис. 12.1. Регулярный вертикальный псевдогиперболоид 4-го порядка. Параметры: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0. Радиальные зоны разнесены; искусственных соединений нет.

Рис. 12.2. Регулярный горизонтальный псевдогиперболоид 4-го порядка при тех же параметрах. Горизонтальный тип имеет иной осевой домен, но подчиняется той же интервальной логике.

12.6. Предельный контактный режим

Предельный режим возникает, когда на одном из рекурсивных шагов смещение равно текущему максимальному радиусу предыдущего уровня. В этом случае разностная граница касается нулевого радиуса или внутреннего порога. Такой режим важен теоретически: он показывает момент перестройки между чисто кольцевой многозонной структурой и оседостигающим объединением.

В демонстрационном примере использованы параметры: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 10; R₂ = 24; m = 1; h = 0. Для вертикального типа первый рекурсивный шаг находится на пороге R₁ = q₂ = R. Поэтому третий уровень уже касается оси, а четвёртый показывает последствия этого порогового перехода.

Рис. 12.3. Предельный вертикальный режим 4-го порядка. Параметры: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 10; R₂ = 24; m = 1; h = 0. Видно пороговое достижение внутренней радиальной границы.

12.7. Пересекающийся и оседостигающий режим

Если на некотором шаге Rₖ₋₁ < qₖ, то формальные ветви уже не могут интерпретироваться как независимые положительные оболочки. В этом случае работает объёмная логика скрипта: разностная часть обрезается снизу нулём, интервалы сливаются, а общая область рассматривается как объединение. Такой режим особенно важен, потому что он создаёт внутренние соединения и перестраивает геометрию из простого набора оболочек в более сложную область.

Демонстрационный пример: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 7; R₂ = 18; m = 1; h = 0. Здесь уже первый рекурсивный шаг нарушает регулярное условие R₁ > q₂. Поэтому вертикальный объект переходит в режим достижения оси и активного Merge.

Рис. 12.4. Пересекающийся вертикальный режим 4-го порядка. Параметры: a = 0,6; b = 1; R = 10; R₁ = 7; R₂ = 18; m = 1; h = 0. Это не ошибка, а допустимый режим объединения объёмов.

12.8. Рядные режимы по параметру h

После построения одиночного объекта возникает внешний уровень классификации — рядность. Он не меняет порядок n и не изменяет рекурсивные параметры R₁, R₂, …, но определяет взаимное расположение нескольких одинаковых экземпляров на общей оси. Если H обозначает половину осевой длины одного экземпляра, то шаг между центрами соседних экземпляров равен

step = 2H + h,

а сдвиги центров имеют вид

Δⱼ = −j(2H + h),    j = 0, 1, …, m − 1.

Для вертикального типа H = L = a√(1 + (R/b)²), для горизонтального типа H = R. При h > 0 ряды разделены зазором; при h = 0 они касаются; при h < 0 они перекрываются. Обычная геометрическая интерпретация рядности предполагает h > −2H, иначе шаг между центрами становится нулевым или меняет знак, и требуется отдельная оговорка о вырожденной компоновке.

Таблица № 12.2. Рядные режимы по параметру h

Условие	Название режима	Геометрический смысл
h > 0	Раздельный рядный режим	Между соседними экземплярами существует реальный осевой зазор
h = 0	Контактный рядный режим	Соседние экземпляры касаются по предельным осевым точкам
−2H < h < 0	Перекрывающийся рядный режим	Соседние экземпляры имеют общую осевую область; требуется объединение
h ≤ −2H	Вырожденная или инвертированная компоновка	Требует отдельного анализа и не должна называться обычным перекрытием

Для демонстрации рядных режимов использованы параметры финального скрипта: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3. Значение h меняется, чтобы показать раздельность, касание и перекрытие.

Рис. 12.5. Рядный режим с зазором: вертикальный тип, 4-й порядок, m = 3, h = 6. Между рядами сохраняются пустые осевые промежутки, которые скрипт не соединяет искусственными линиями.

Рис. 12.6. Рядный контактный режим: вертикальный тип, 4-й порядок, m = 3, h = 0. Соседние экземпляры находятся на пороге касания.

Рис. 12.7. Рядный режим перекрытия: вертикальный тип, 4-й порядок, m = 3, h = −4. Общая область строится как объединение перекрывающихся экземпляров.

Рис. 12.8. Рядный режим перекрытия: горизонтальный тип, 4-й порядок, m = 3, h = −4. Тот же принцип действует после 90-градусной горизонтальной реализации.

12.9. Что считается недопустимым

В рамках данной теории недопустимость не следует смешивать с пересечением. Пересечение компонент допустимо, если оно обработано как объединение объёмов. Недопустимыми являются следующие действия и интерпретации:

• замена общего внутреннего объёма одной внешней оболочкой;

• удаление внутренних компонент только потому, что они лежат внутри другой компоненты;

• дорисовывание прямых перемычек между рядами или между разрывными частями профиля;

• скругление горизонтального типа вместо точной формулы xₕ(u);

• трактовка числа формальных ветвей Nₙ = 2ⁿ⁻² как числа физических компонент после Merge;

• отождествление грубой метки morphology_class с полной научной классификацией режима.

Эти запреты имеют не только редакционный, но и физический смысл. Если удалить внутренние структуры или искусственно соединить разрывы, то будущая лучевая или волновая задача будет поставлена уже не в той области, которую задаёт рекурсивная геометрия.

12.10. Выводы главы

В настоящей главе построена классификация режимов, согласованная с финальным скриптом и с объёмной логикой теории.

1. Алгоритмическая допустимость задаётся положительностью a, b, R, корректностью m, geometry_type и mode.

2. Строгая морфологическая классификация одиночного объекта строится по рекурсивным максимумам qₖ и условиям Rₖ₋₁ ≷ qₖ.

3. Пересечение, вложение и достижение оси не являются ошибками: они являются допустимыми режимами Merge.

4. Функция morphology_class в скрипте является только грубой диагностической меткой, а не полной классификацией.

5. Рядные режимы классифицируются отдельно по параметру h: раздельность, касание, перекрытие и вырожденная компоновка.

6. Главный запрет сохраняется во всех режимах: нельзя удалять порождающие объёмы, заменять систему внешней оболочкой или дорисовывать искусственные соединения.