Настоящая глава переводит построенную геометрию из языка формул, интервалов и поверхностей границы в язык будущего лучевого и Монте-Карло моделирования. На этом этапе ещё не утверждается, что псевдогиперболоидная система уже доказанно удерживает или усиливает волны. Формулируется более строгая и научно честная задача: как именно использовать общий внутренний объём Ωₙ,ₘ, построенный финальным скриптом, как расчётную область для проверки таких эффектов.

Именно здесь начинается переход от геометрии к Геометрической Волновой Инженерии. Революционный смысл подхода состоит не в том, чтобы объявить любую сложную форму «ловушкой» или «аттрактором», а в том, чтобы получить воспроизводимую область, задать на ней траектории, правила отражения, статистику удержания и затем проверить, возникают ли в этой области новые режимы управления распространением энергии.

14.1. Назначение главы

Предыдущие главы построили объект исследования: общий внутренний объём одиночного или рядного псевдогиперболоида n-го порядка. Глава 13 описала вычислительный алгоритм получения массивов global_axis, lo_components и hi_components. Теперь эти массивы должны быть поняты как геометрическая база для физического эксперимента в численной форме.

Лучевое моделирование отвечает на вопрос: как движутся траектории внутри Ωₙ,ₘ при отражении от его границы. Монте-Карло моделирование отвечает на другой вопрос: какова статистика большого числа таких траекторий при случайных начальных условиях, направлениях, частотах, энергиях или точках ввода. Оба подхода являются первым уровнем проверки гипотезы о геометрически управляемом удержании и перераспределении волн.

Важно подчеркнуть: текущий финальный скрипт строит геометрию и изображения, но не является готовым трассировщиком лучей. Поэтому настоящая глава формулирует корректную постановку следующего программного слоя, который должен быть построен поверх уже имеющейся геометрической базы.

14.2. Расчётная область для лучей

Основным объектом лучевого моделирования является не ветвевой скелет Bₙ и не набор отдельных оболочек, а объединённый внутренний объём

Ωₙ,ₘ = { (ξ, ρ, φ) : [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] ∈ Iₙ,ₘ(ξ),  αⱼ(ξ) ≤ ρ ≤ βⱼ(ξ),  0 ≤ φ < 2π }.

Здесь ξ — координата вдоль общей оси, ρ — радиальная координата, φ — угловая координата вращения. В вертикальном типе удобно использовать

ξ = x,      ρ = √(y² + z²).

В горизонтальном типе, где вращение выполняется вокруг другой оси, удобно использовать

ξ = y,      ρ = √(x² + z²).

Точка принадлежит области Ωₙ,ₘ тогда и только тогда, когда её осевая координата попадает в допустимый диапазон и радиус ρ принадлежит хотя бы одному активному интервалу [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)]. Это условие должно стать основой функции проверки принадлежности точки области.

P ∈ Ωₙ,ₘ  ⇔  ∃j: αⱼ(ξ(P)) ≤ ρ(P) ≤ βⱼ(ξ(P)).

Рис. 14.1. Вертикальный тип, 4-й порядок, одиночный регулярный объект. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0. Эта геометрия удобна как первый эталон для трассировки лучей: есть внутренняя и внешняя границы, но нет взаимодействия между рядами.

Рис. 14.2. Горизонтальный тип, 4-й порядок, одиночный регулярный объект. Параметры те же, что на рис. 14.1. Горизонтальная реализация даёт другую осевую связность и поэтому должна проверяться отдельным набором лучевых экспериментов.

14.3. Луч как траектория внутри общего объёма

В первом приближении луч можно рассматривать как направленное движение точки внутри Ωₙ,ₘ. Начальное состояние задаётся парой: начальная точка P₀ ∈ Ωₙ,ₘ и единичное направление v₀. Пока луч не встретил границу, его движение задаётся линейным законом

P(t) = P₀ + t v₀,     t ≥ 0,     ||v₀|| = 1.

Основная вычислительная задача состоит в том, чтобы найти первое положительное время t*, при котором траектория достигает границы общего объёма:

t* = min { t > 0 : P(t) ∈ ∂Ωₙ,ₘ }.

Для псевдогиперболоидной области эта задача не должна решаться по искусственным линиям или служебным перемычкам. Граница берётся только из реальных интервалов после Merge. Если между компонентами есть пустой зазор, луч не должен отражаться от несуществующей прямой стенки. Если рядные экземпляры перекрываются, луч должен двигаться внутри объединённой области, а не внутри суммы дублирующихся оболочек.

14.4. Нормаль и закон отражения

На гладком участке границы отражение луча задаётся стандартным зеркальным законом. Пусть n(P*) — единичная внешняя нормаль к границе в точке столкновения P*. Если v⁻ — направление луча до столкновения, то направление после отражения равно

v⁺ = v⁻ − 2 (v⁻ · n) n.

Эта формула применима только на регулярных участках ∂Ω^reg. В точках, где граница негладкая, где происходит слияние интервалов, касание, переход активной компоненты или достижение оси ρ = 0, требуется отдельное численное правило. Возможны три стратегии: малое сглаживание только для расчётной трассировки, вероятностное рассеяние направления или специальная обработка сингулярных точек как узлов переключения.

В теории важно зафиксировать принцип: сглаживание, если оно когда-либо вводится для физической симуляции, не должно менять исходную геометрию скрипта и не должно превращаться в новую геометрическую догадку. Оно может быть только численной регуляризацией для расчёта отражения.

14.5. Начальные условия для лучевого эксперимента

Для проверки геометрического эффекта необходимо задавать воспроизводимые семейства начальных условий. Случайные лучи без структуры дают слабую научную ценность. Поэтому начальные условия следует делить на несколько классов.

Таблица 14.1.  Начальные условия для лучевого эксперимента

Класс начальных условий	Что задаётся	Назначение
Осевой ввод	P₀ около общей оси, v₀ вдоль оси или под малым углом	Проверка продольного прохождения и возможного удержания
Радиальный ввод	P₀ внутри активного интервала, v₀ с большой радиальной компонентой	Проверка отражений между внутренней и внешней границей
Объёмная равномерная выборка	P₀ случайно выбирается в Ωₙ,ₘ, v₀ распределяется по сфере	Общая статистика удержания и выхода
Вход через выбранное окно	P₀ выбирается на заданном входном сечении	Модель направленного возбуждения или волноводного ввода
Рядный перенос	P₀ в одном экземпляре ряда, анализ перехода в соседние области	Проверка роли параметра h и связности рядной системы

Каждый класс начальных условий должен запускаться отдельно для вертикального и горизонтального типов. Нельзя переносить выводы вертикального типа на горизонтальный автоматически, потому что ось вращения, связность сечения и геометрия внутренних каналов различаются.

14.6. Монте-Карло постановка

Монте-Карло моделирование строится как ансамбль независимых лучей. Пусть N — число запусков, а Qᵢ — измеряемая величина для i-го луча: время удержания, число отражений, полная длина пути, факт выхода через заданное окно или доля времени в заданной зоне. Тогда статистическая оценка среднего имеет вид

Q̂_N = (1/N) Σ_{i=1}^{N} Qᵢ.

Для проверки удержания особенно важна функция выживания, показывающая долю лучей, которые не вышли из области к моменту T:

S(T) = (1/N) Σ_{i=1}^{N} 1_{τᵢ > T},

где τᵢ — время выхода i-го луча из расчётной области или время достижения выбранного критерия остановки. Если псевдогиперболоидная геометрия действительно создаёт режимы повышенного удержания, это должно проявляться не в отдельных красивых траекториях, а в статистически устойчивом изменении S(T), среднего числа отражений и распределения времени пребывания по сравнению с контрольными геометриями.

Рис. 14.4. Вертикальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −4. Такой режим важен для проверки удержания и перераспределения траекторий между соседними экземплярами.

Рис. 14.5. Горизонтальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов. Параметры те же, что на рис. 14.4. Перекрытие формирует единую расчётную область после операции Merge.

14.7. Что именно следует измерять

Чтобы перейти от иллюстраций к проверяемой науке, для каждого набора параметров a, b, R, R₁, …, Rₙ₋₂, m, h необходимо фиксировать набор наблюдаемых величин.

Таблица 14.2. Что именно следует измерять

Величина	Обозначение	Физический смысл
Время удержания	τ	Сколько времени луч остаётся внутри Ωₙ,ₘ
Число отражений	N_ref	Сколько раз луч взаимодействует с границей
Полная длина пути	L_path	Интегральная геометрическая длина траектории
Вероятность выхода через окно	P_out(W)	Направленность вывода энергии
Доля времени в зоне	T(A)/T	Локализация траекторий в выбранной подобласти
Карта плотности посещений	p(x)	Пространственное распределение траекторий
Переход между рядами	P_{j→k}	Связность и перенос в рядной системе

Именно эти величины могут превратить геометрическую гипотезу в проверяемую научную программу. Если эффект существует, он должен проявиться как отличие этих распределений от распределений в контрольных областях: цилиндре, классическом гиперболоиде, простом торе, прямом волноводе или нерекурсивной многослойной оболочке.

14.8. Роль параметра h в лучевой статистике

Параметр h является одним из главных управляющих параметров будущей лучевой физики. Он не меняет внутренний порядок n одного экземпляра, но меняет связность и возможность переноса между соседними областями.

Таблица 14.3. Таблица 14.2. Что именно следует измерять

Режим h	Геометрический смысл	Ожидаемый вопрос для моделирования
h > 0	Ряды разделены пустым зазором	Сохраняются ли независимые статистики каждого экземпляра?
h = 0	Соседние экземпляры касаются	Возникают ли чувствительные режимы перехода через точку контакта?
−2H < h < 0	Ряды перекрываются	Появляется ли устойчивый перенос траекторий между рядами?
h ≤ −2H	Центры переставляются или сильно накладываются	Требуется особая интерпретация рядной компоновки

Для революционной идеи управления волнами особенно важен режим h < 0, потому что он создаёт не простое повторение объектов, а общую область, в которой соседние экземпляры становятся геометрически связанными. Однако контрольный режим h > 0 не менее важен: он показывает, что скрипт не дорисовывает ложные соединения там, где физического канала нет.

Рис. 14.6. Вертикальная рядная система 4-го порядка с положительным зазором. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = 6. Этот режим задаёт контрольный случай раздельных областей без искусственного соединения рядов.

Рис. 14.7. Вертикальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов, 3D поверхность границы общего объёма. Эта геометрия задаёт сложную отражающую стенку для будущего лучевого моделирования.

14.9. Вертикальный и горизонтальный типы как разные расчётные сценарии

Вертикальный и горизонтальный типы должны рассматриваться как два самостоятельных семейства расчётных областей. У них общий рекурсивный закон, но разные осевые переменные, разные базовые области и разная связность меридионального сечения. Поэтому один и тот же набор параметров может давать разные статистики лучей.

Для вертикального типа ключевой особенностью является наличие двух раздельных базовых осевых компонент уже во втором порядке. Для горизонтального типа базовая область по оси непрерывна. Это различие может повлиять на распределение отражений, на вероятность выхода и на возможность формирования внутренних траекторных петель. Поэтому любое утверждение о геометрическом удержании должно проверяться отдельно для обоих типов.

Рис. 14.8. Горизонтальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов, 3D поверхность границы общего объёма. Горизонтальный тип должен рассматриваться как самостоятельная расчётная область, а не как переименование вертикального случая.

14.10. Алгоритмическая схема будущего трассировщика

Следующий программный слой, который должен быть построен поверх финального скрипта, можно описать следующей схемой.

1. Построить геометрию Ωₙ,ₘ с помощью существующего скрипта и получить массивы global_axis, lo_components, hi_components.

2. Реализовать функцию проверки принадлежности точки области через активные интервалы.

3. Построить интерполяционное представление границы для поиска столкновений луча с ∂Ωₙ,ₘ.

4. Вычислять нормаль на регулярных участках границы и применять закон отражения.

5. Ввести отдельное правило обработки сингулярных точек, контактов, оси и переключения активной компоненты.

6. Задать классы начальных условий и контрольные геометрии.

7. Запустить ансамбль Монте-Карло и вычислить статистики удержания, выхода, числа отражений и пространственной плотности посещений.

8. Сравнить результаты между вертикальным и горизонтальным типами, между различными n и между режимами h.

14.11. Чего текущий скрипт ещё не делает

Для научной честности необходимо прямо указать границу текущей реализации. Финальный скрипт строит геометрию, 2D-сечения, 3D-поверхности и рядные системы. Он не выполняет автоматическую трассировку лучей, не считает нормали для отражения, не ищет столкновения луча с границей, не вычисляет время удержания, не строит карты плотности траекторий и не моделирует физические волновые поля.

Это не недостаток, а правильное разделение этапов. Сначала нужна безошибочная геометрия. Затем — лучевой трассировщик. После этого — волновые уравнения. Нельзя смешивать эти уровни, иначе новая теория потеряет строгость. Именно поэтому настоящая теория строится последовательно: геометрия → алгоритм → лучи → волны.

14.12. Выводы главы

В настоящей главе общий внутренний объём Ωₙ,ₘ переведён в язык будущего лучевого и Монте-Карло моделирования. Показано, что расчёт должен выполняться не на ветвях, не на внешней оболочке и не на служебных линиях, а внутри объединённой области, построенной скриптом после интервальной рекурсии и операции Merge.

Сформулированы основные элементы будущего трассировщика: проверка принадлежности точки области, движение луча, поиск первого столкновения с границей, вычисление нормали, закон отражения, обработка сингулярных точек и статистическая обработка ансамбля траекторий. Показано, что параметр h является самостоятельным управляющим параметром рядной связности, а вертикальный и горизонтальный типы должны рассматриваться как разные расчётные сценарии.

Таким образом, глава 14 превращает геометрию псевдогиперболоидов из статической формы в основу проверяемой программы Геометрической Волновой Инженерии. Следующий шаг — постановка волновых задач в Ωₙ,ₘ: уравнение Гельмгольца, акустические и электромагнитные модели, граничные условия и численные методы решения.