Настоящая глава переводит построенную геометрию рядных псевдогиперболоидов из языка внутренних объёмов в язык волновых краевых задач. На предыдущих этапах были определены базовая гиперболическая образующая, рекурсивные интервалы, общий объём Ωₙ и рядная система Ωₙ,ₘ. Теперь этот объём рассматривается как расчётная область, внутри которой могут быть поставлены скалярные, акустические, электромагнитные и другие волновые задачи.

Принципиально важно: текущий финальный скрипт не является волновым решателем. Он строит геометрию, меридиональные сечения и 3D поверхности границы общего объёма. Уравнения, граничные условия, источники, частотное сканирование, собственные моды и энергетические коэффициенты являются следующим вычислительным слоем, который должен опираться на уже построенную область Ωₙ,ₘ. Поэтому настоящая глава не приписывает скрипту физические расчёты, а формулирует строгую математическую платформу для их будущей реализации.

15.1. Общий внутренний объём как область определения поля

Волновая задача начинается не с поверхности, а с области, в которой определено поле. Для псевдогиперболоидной системы такой областью является общий внутренний объём

Ωₙ,ₘ = объединение всех внутренних объёмов порядка n с учётом m рядов и осевого параметра h.

Именно Ωₙ,ₘ, а не список ветвей и не набор отдельных оболочек, должен входить в постановку уравнения. Внутри этой области определяется искомое поле, а на её границе задаются физические условия отражения, поглощения, проводимости, прозрачности или сопряжения с внешней средой.

u = u(x),    x ∈ Ωₙ,ₘ,    ∂Ωₙ,ₘ = граница общей области.

Если компонент несколько и между ними нет геометрической связи, задача может распадаться на независимые подзадачи. Если ряды касаются, перекрываются или соединяются через окна, возникает единая связанная волновая система. Поэтому параметр h становится не просто графическим параметром, а геометрическим регулятором связи между частями волновой области.

Таблица 15.1. Общий внутренний объём как область определения поля

Что даёт текущий скрипт	Что требуется волновому решателю	Статус в теории
Ωₙ,ₘ как объединение интервалов	Область расчёта для поля	Готовая геометрическая база
2D меридиональные сечения	Сетка или контур для 2D/осесимметричной задачи	Может использоваться для подготовки расчёта
3D поверхности границы	Поверхностная сетка и нормали	Нужен следующий численный слой
Параметры n, m, h, Rᵢ	Серия расчётов и параметрическое сканирование	Формируется программа исследования
Предупреждения о пересечениях/касаниях	Морфологическая диагностика области	Нужно учитывать при постановке граничных условий

15.2. Скалярная задача Гельмгольца

Первой универсальной волновой постановкой является скалярная частотная задача Гельмгольца. Она применима как модель акустического давления, скалярного поля, упрощённой электромагнитной компоненты или тестового волнового поля в геометрически сложной области.

Δu + k²u = f    в Ωₙ,ₘ.

Здесь u(x) — комплексная амплитуда поля, k = 2π/λ — волновое число, λ — длина волны, f — источник. В однородной среде k постоянно; в неоднородной среде возможно обобщение k = k(x), и тогда геометрия псевдогиперболоидов может сочетаться с распределённым показателем преломления или плотностью среды.

Граница ∂Ωₙ,ₘ может разбиваться на участки с различными физическими условиями. Для идеального отражения можно задавать условие Неймана, для закреплённой границы — условие Дирихле, для поглощения — импедансное условие. Если в системе предусмотрен выходной канал, на соответствующем участке задаётся открытое или прозрачное условие.

Таблица 15.2. Скалярная задача Гельмгольца

Тип условия	Запись	Физический смысл
Дирихле	u = 0 на Γ_D	Закреплённая или идеально подавленная граница
Нейман	∂u/∂n = 0 на Γ_N	Жёсткая отражающая стенка
Импеданс	∂u/∂n + iζu = 0 на Γ_Z	Частичное поглощение или реактивная стенка
Открытый выход	радиационное / прозрачное условие на Γ_out	Направленный вывод энергии

Именно разбиение границы на участки Γ_D, Γ_N, Γ_Z и Γ_out превращает геометрию в управляемую волновую систему. Одни и те же псевдогиперболоидные объёмы могут работать как резонатор, ловушка, волновод, фильтр или распределитель энергии в зависимости от выбранных граничных условий.

15.3. Акустическая постановка

Акустическая задача является естественным первым физическим шагом после геометрической и лучевой подготовки. В линейной акустике поле давления p(x,t) в однородной среде удовлетворяет волновому уравнению

∂²p/∂t² − c²Δp = s(x,t)    в Ωₙ,ₘ.

В гармоническом режиме p(x,t) = Re(P(x)e^{-iωt}) это уравнение переходит в задачу Гельмгольца

ΔP + k²P = −S,    k = ω/c.

Для акустики особенно важны три класса граничных условий: жёсткая стенка, поглощающая стенка и открытый выход. Жёсткая стенка соответствует отсутствию нормальной скорости и часто записывается как ∂P/∂n = 0. Поглощающая стенка задаётся импедансом. Открытый выход требует радиационного условия или сопряжения с внешней областью.

Рядные псевдогиперболоиды дают необычную акустическую ситуацию: параметр h регулирует переход от независимых резонаторов к связанным полостям. При h > 0 ряды могут вести себя как раздельные камеры. При h = 0 возникает касательный предельный режим. При h < 0 формируется связанная область, в которой возможен обмен энергией между соседними рекурсивными компонентами.

Рис. 15.5. Вертикальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2. Такая область соответствует связанным полостям и потенциальному межрядному обмену энергией.

15.4. Электромагнитная постановка

Для электромагнитных волн общий внутренний объём Ωₙ,ₘ используется как область, где определены векторные поля E(x) и H(x). В частотной постановке при зависимости e^{-iωt} система Максвелла может быть записана в виде

∇ × E = iωμH,    ∇ × H = −iωεE + J    в Ωₙ,ₘ.

После исключения H получается векторное уравнение для электрического поля

∇ × ( μ⁻¹ ∇ × E ) − ω²εE = iωJ    в Ωₙ,ₘ.

На границе могут задаваться идеально проводящие условия, импедансные условия, условия сопряжения с внешней средой или условия излучения через выделенные выходные участки. Для идеально проводящей стенки используется условие

n × E = 0    на Γ_PEC.

Электромагнитная постановка сложнее акустической, потому что поле векторное, а граничные условия зависят от материала стенок, частоты, поляризации и масштаба. Поэтому в исследовательской программе её следует вводить после скалярной и акустической проверки, используя те же геометрические области Ωₙ,ₘ, но уже с материалами ε(x), μ(x), σ(x) и векторными граничными условиями.

15.5. Высокочастотный предел и связь с лучевой моделью

При малой длине волны по сравнению с характерными геометрическими масштабами задача переходит к высокочастотному пределу. В этом случае поле можно приближённо записывать в виде

u(x) ≈ A(x)e^{ikS(x)},    k → ∞.

Функция S(x) удовлетворяет эйкональному уравнению

|∇S|² = n²(x),

а лучи являются характеристиками этого уравнения. Поэтому глава о лучевой и Монте-Карло подготовке является не отдельной ветвью теории, а высокочастотным пределом волновой постановки. Лучи показывают возможные пути энергии; волновая задача добавляет интерференцию, дифракцию, собственные моды и фазовые эффекты.

Особая ценность псевдогиперболоидных объёмов состоит в том, что одна и та же геометрическая рекурсия может исследоваться в двух режимах: как траекторная система в пределе коротких волн и как полная волновая система при конечной длине волны.

15.6. Собственные моды и резонансные частоты

Если источники отсутствуют, а граничные условия задают замкнутую или частично замкнутую систему, возникает спектральная задача. Для скалярного поля она может быть записана как

−Δu_j = λ_j u_j    в Ωₙ,ₘ,

B(u_j) = 0    на ∂Ωₙ,ₘ.

Собственные значения λ_j определяют резонансные частоты, а собственные функции u_j показывают пространственные зоны концентрации поля. Для геометрической волновой инженерии именно распределение собственных мод является одним из главных критериев: рекурсивная форма может создавать локальные зоны усиления, слабые горловины связи, многорядные резонансные цепочки и направленные каналы вывода.

Однако такие свойства нельзя объявлять доказанными только по геометрическим рисункам. Их нужно проверять численно: строить сетку области, задавать граничные условия, решать спектральную или частотную задачу и сравнивать результаты для разных n, m, h и Rᵢ.

15.7. Безразмерные параметры волновой инженерии

Для сопоставления геометрий разных масштабов полезно вводить безразмерные волновые параметры. Если k — волновое число, то основными группами являются

ka,  kb,  kR,  kR₁,  kR₂, …, kRₙ₋₂,  kh.

Эти величины показывают, как длина волны соотносится с гиперболической образующей, базовым радиальным масштабом, рекурсивными смещениями и межрядным зазором. Поэтому один и тот же чертёж не задаёт единственного физического режима. При разных k он может вести себя как малая полость, как резонатор, как волновод, как дифракционная система или как высокочастотная лучевая структура.

Таблица 15.3. Безразмерные параметры волновой инженерии

Параметр	Смысл	Роль в волновой задаче
ka, kb	масштаб базовой гиперболической образующей	задаёт локальную кривизну относительно длины волны
kR	базовый радиальный масштаб	отвечает за размер второго порядка
kRᵢ	рекурсивные сдвиги	управляют многозонной структурой
kh	межрядный зазор или перекрытие	управляет связью между рядами
n	порядок рекурсии	увеличивает сложность внутренней архитектуры
m	число рядов	создаёт цепочку связанных или раздельных областей

15.8. Численная реализация волнового слоя

Для перехода от геометрического скрипта к волновому решателю нужно выполнить несколько дополнительных шагов. Сначала необходимо превратить границу общего объёма в пригодную для расчёта сетку. Затем нужно определить физические участки границы, задать источники, выбрать тип уравнения и выполнить решение в специализированной численной среде.

1. Построить геометрию Ωₙ,ₘ по финальному скрипту и сохранить данные о границах.

2. Сформировать расчётную сетку: 2D меридиональную, осесимметричную или полную 3D.

3. Разметить границу на отражающие, поглощающие, открытые и возбуждаемые участки.

4. Выбрать физическую модель: Гельмгольц, акустика, Максвелл, упругая волна или другая система.

5. Провести частотное сканирование или спектральный расчёт.

6. Измерить удержание энергии, распределение мод, коэффициенты выхода и чувствительность к n, m, h.

При построении сетки запрещено вводить искусственные перемычки, сглаживания и замыкания, которых нет в геометрии скрипта. Любой такой элемент изменит физическую область и приведёт к другой волновой задаче.

15.9. Проверяемые гипотезы геометрической волновой инженерии

Главная научная ценность псевдогиперболоидов состоит не в утверждении заранее доказанного “универсального аттрактора”, а в создании проверяемой программы исследований. На основе Ωₙ,ₘ можно формулировать конкретные гипотезы.

• Рост порядка n может увеличивать число зон локального удержания и перестраивать спектр собственных мод.

• Параметр h может управлять переходом между независимыми, касательными и связанными резонаторными системами.

• Вертикальный и горизонтальный типы могут давать разные режимы связности, выхода и перераспределения энергии.

• Рекурсивные смещения Rᵢ могут работать как геометрические регуляторы частотных окон.

• Открытые участки границы могут превращать систему в направленный волновой вывод или геометрический фильтр.

Каждая из этих гипотез должна проверяться не словами, а вычислительно: через собственные моды, поля, энергетические потоки, спектры пропускания и статистику времени удержания.

15.10. Выводы главы

Настоящая глава завершает переход от геометрии к физической постановке. Общий внутренний объём Ωₙ,ₘ определён как область, в которой могут быть заданы скалярные, акустические, электромагнитные и высокочастотные волновые модели. При этом строго сохранено различие между текущим финальным скриптом и будущим волновым решателем: скрипт строит область и её границу, а волновые уравнения являются следующим уровнем моделирования.

1. Ωₙ,ₘ должен использоваться как единая расчётная область для волновых задач.

2. На границе ∂Ωₙ,ₘ задаются физические условия: отражение, поглощение, проводимость, прозрачность или выход.

3. Скалярная задача Гельмгольца является первым универсальным тестом геометрии.

4. Акустическая постановка даёт естественный промежуточный уровень между лучами и векторными полями.

5. Электромагнитная постановка требует векторных полей, материалов и более строгой сеточной реализации.

6. Революционный смысл геометрической волновой инженерии состоит в проверяемом управлении полем через рекурсивную архитектуру внутреннего объёма.