16.1. Назначение главы

Финальный скрипт строит геометрическую основу: вертикальный и горизонтальный типы, все порядки от 2 до n, 2D меридиональные сечения, 3D поверхности границы и рядные системы из m экземпляров. Он не является волновым решателем и не должен описываться как уже вычисляющий поля, собственные моды, добротности или траектории. Его роль — сформировать корректную область Ωₙ,ₘ, на которой далее выполняются независимые физические расчёты.

Поэтому численная программа строится в два слоя. Первый слой — геометрический: скрипт генерирует область, сохраняет изображения и диагностирует параметры построения. Второй слой — физический: отдельный лучевой, Монте-Карло, акустический, электромагнитный или спектральный решатель использует эту область как расчётную. Только совокупность этих двух слоёв может дать научный результат о волновом управлении.

16.2. Проверяемые гипотезы геометрической волновой инженерии

Главная гипотеза формулируется так: рекурсивно организованные внутренние объёмы Ωₙ,ₘ способны создавать геометрические условия для увеличенного времени удержания, перераспределения плотности энергии, возникновения локализованных мод и направленного вывода волн. Эта гипотеза должна быть разбита на несколько независимых проверяемых утверждений.

1. Гипотеза удержания: среднее время пребывания луча или энергии внутри Ωₙ,ₘ больше, чем в контрольной области сопоставимого объёма и масштаба.

2. Гипотеза локализации: полевая энергия или плотность посещений концентрируется в ограниченных зонах объёма, а не распределяется равномерно.

3. Гипотеза управляемости: изменение n, R₁, R₂, …, Rₙ₋₂, m и h предсказуемо меняет статистики удержания, переходов между рядами и выходного распределения.

4. Гипотеза направленного вывода: при наличии заданных окон выхода геометрия может увеличивать вероятность выхода через выбранную область границы.

5. Гипотеза типовой различимости: вертикальный и горизонтальный типы дают разные режимы траекторной и волновой организации даже при одинаковых числовых параметрах.

16.3. Базовые геометрические серии экспериментов

Вычислительные эксперименты должны строиться не на одной красивой геометрии, а на сериях параметров. Иначе невозможно отличить устойчивое свойство класса от случайной особенности отдельного рисунка. Минимальный набор серий приведён в таблице 16.1.

Таблица 16.1. Базовые геометрические серии экспериментов

Серия	Изменяемый параметр	Фиксируется	Цель проверки
Sₙ	n = 2, 3, 4, 5, …	a, b, R, R₁…	Влияние глубины рекурсии на удержание и локализацию
S_R	R₁, R₂, …	n, a, b, R	Переходы между регулярным, контактным и пересекающимся режимами
S_h	h > 0, h = 0, h < 0	n, m, offsets	Влияние зазора, касания и перекрытия рядов
S_m	m = 1, 2, 3, …	n, h, offsets	Влияние числа осевых экземпляров
S_type	Вертикальный / горизонтальный	Числовые параметры	Сравнение ориентаций базовой геометрии
S_scale	Масштаб a, b, R	Безразмерные отношения	Проверка масштабной устойчивости

Для начальной демонстрации удобно использовать 4-й порядок, потому что он уже содержит настоящую многозонную структуру, но ещё остаётся достаточно наглядным для контроля геометрии.

16.4. Лучевые статистики

В лучевой постановке каждый эксперимент задаётся начальной точкой x₀ ∈ Ωₙ,ₘ, направлением v₀ и правилом взаимодействия с границей. Для гладких участков границы используется зеркальное отражение, а для сингулярных точек должны быть заданы специальные численные правила: локальное сглаживание, вероятностное рассеяние, исключение нулевой меры или адаптивное уточнение границы. Выбор правила обязан фиксироваться в протоколе эксперимента.

Основными измеряемыми величинами являются:

• T — время пребывания луча внутри области до выхода или до достижения лимита расчёта;

• N_ref — число отражений от границы;

• L_path — полная длина траектории;

• p_exit(Γ_out) — вероятность выхода через выбранный участок границы;

• p_j→k — вероятность перехода из j-го ряда в k-й ряд;

• μ(x) — плотность посещений или плотность ударов по границе.

S(t) = P(T > t).

Функция S(t) называется функцией выживания. Если геометрия действительно создаёт ловушечный режим, то хвост S(t) должен убывать медленнее, чем у контрольной области сопоставимого масштаба. Это даёт первый количественный критерий удержания.

16.5. Волновые критерии локализации

В волновой постановке лучевые статистики заменяются полевыми характеристиками. Для скалярной задачи Гельмгольца, акустики или электромагнитной постановки главным объектом становится распределение энергии внутри Ωₙ,ₘ. Общий принцип одинаков: локализация должна измеряться не глазами по картинке, а числом.

E_D = ∫_D w(x) dx,    E_Ω = ∫_{Ωₙ,ₘ} w(x) dx,    0 ≤ E_D / E_Ω ≤ 1.

Здесь w(x) — плотность энергии или интенсивности, а D — выбранная подобласть: камера, горловина, ряд, центральная зона, периферийная зона или область возле окна выхода. Если отношение E_D / E_Ω велико для малой области D, то можно говорить о локализации.

Для собственных мод можно использовать нормированный показатель участия:

P_eff = (∫_Ω |Ψ|² dx)² / ∫_Ω |Ψ|⁴ dx.

Малая эффективная область участия P_eff при фиксированном объёме Ω указывает на более сильную локализацию моды. Для электромагнитной задачи аналогично используются плотность электромагнитной энергии и добротность резонансного режима.

16.6. Роль параметра h в управлении связностью

Параметр h является одним из главных управляющих параметров рядной системы. При h > 0 соседние экземпляры разделены зазором. При h = 0 возникает контактный режим. При h < 0 появляется перекрытие осевых диапазонов и потенциальный канал перехода между рядами. Поэтому серия S_h должна быть обязательной в программе экспериментов.

Рис. 16.3. Рядная вертикальная система 4-го порядка с положительным зазором. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = 6. Такой режим служит контрольным случаем слабой осевой связности.

Рис. 16.4. Рядная вертикальная система 4-го порядка с перекрытием. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −4. Перекрытие создаёт потенциальные переходные зоны между рядами.

Рис. 16.5. Горизонтальный тип при тех же параметрах перекрытия. Сравнение с рис. 16.4 показывает, что одинаковое h не означает одинаковую внутреннюю организацию пространства.

16.7. Рост порядка как экспериментальная ось

Порядок n задаёт глубину внутренней рекурсии. Увеличение n не является простой детализацией рисунка: оно меняет систему внутренних радиальных зон, число формальных ветвей, число возможных границ и структуру Merge. Поэтому серия Sₙ должна проверять, растёт ли с порядком время удержания, число отражений, спектральная плотность или локализация мод.

Рис. 16.6. Вертикальный тип 5-го порядка как пример увеличенной внутренней рекурсивной сложности. Параметры: a = 0,7; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 42; R₃ = 90; m = 1; h = 0.

Рис. 16.7. Горизонтальный тип 5-го порядка при тех же параметрах. Эта пара рисунков задаёт тест различимости вертикальной и горизонтальной геометрии при повышении порядка.

16.8. Контрольные области и критерии сравнения

Ни один результат о локализации не должен оцениваться без контрольной геометрии. Контрольная область нужна для ответа на вопрос: является ли эффект следствием рекурсивной псевдогиперболоидной структуры, а не просто следствием большого объёма, большой площади границы или наличия узких горловин.

Минимальный контрольный набор должен включать:

• область второго порядка с теми же a, b, R;

• область того же объёма, но без рекурсивных внутренних зон;

• рядную систему с тем же m, но без перекрытия, то есть h > 0;

• вертикальный и горизонтальный типы при одинаковых числовых параметрах;

• геометрию с тем же внешним осевым размером, но без внутренней рекурсивной структуры.

Эффект можно считать геометрически значимым только тогда, когда он устойчив при уточнении сетки, изменении числа стартовых лучей, изменении начального распределения и сравнении с контрольными объектами.

16.9. Протокол воспроизводимости

Каждый численный эксперимент должен сохранять не только итоговые графики, но и полный протокол. Без этого результаты невозможно повторить и проверить. Минимальный протокол включает следующие данные.

Таблица 16.2. Протокол воспроизводимости

Группа данных	Что фиксируется
Геометрия	a, b, R, offsets, n, тип, m, h
Скрипт	версия файла, параметры npts, NPHI, MERGE_TOL
Вывод геометрии	список saved_files, warnings, morphology
Физический решатель	тип задачи, уравнение, граничные условия, единицы
Численная сетка	разрешение, допуски, критерии сходимости
Монте-Карло	число запусков, seed, распределение x₀ и v₀
Метрики	T, N_ref, L_path, S(t), E_D/E_Ω, P_eff, Q

Особенно важно сохранять предупреждения скрипта. Если на некотором шаге возникает пересечение, касание или вложение, это не ошибка, но это существенная часть режима. Такой опыт нельзя смешивать с регулярным режимом без отдельной маркировки.

16.10. Критерии подтверждения и опровержения

Научная сила программы состоит в том, что она допускает не только подтверждение, но и опровержение. Геометрическая волновая инженерия должна развиваться как проверяемая дисциплина. Поэтому заранее задаются критерии успеха и критерии отрицательного результата.

Критериями подтверждения могут служить:

• статистически устойчивое увеличение среднего T или хвоста S(t) относительно контрольных областей;

• устойчивая концентрация энергии в малых подобластях при изменении сетки и начальных условий;

• появление параметрических максимумов локализации при изменении R₁, R₂, … или h;

• воспроизводимое различие вертикального и горизонтального типов;

• повышенная вероятность направленного выхода через заданное окно.

Критериями опровержения являются:

• отсутствие отличий от контрольных областей при сопоставимом объёме и масштабе;

• исчезновение эффекта при уточнении сетки;

• зависимость результата от искусственных численных правил, а не от геометрии;

• невоспроизводимость статистик при изменении начального распределения;

• невозможность выделить устойчивые режимы в пространстве параметров.

16.11. Выводы главы

1. Псевдогиперболоидная геометрия должна проверяться не декларациями, а сериями воспроизводимых вычислительных экспериментов.

2. Текущий скрипт является геометрической основой экспериментов, но не заменяет лучевой, акустический, электромагнитный или спектральный решатель.

3. Главные проверяемые эффекты — удержание, локализация, управляемость параметрами, различимость вертикального и горизонтального типов и направленный вывод.

4. Параметры n, offsets, m и h должны исследоваться как независимые оси экспериментального пространства.

5. Любой положительный результат должен сравниваться с контрольными областями и проходить проверку сходимости.

6. Так сформулированная программа превращает идею геометрической волновой инженерии в строгую научную гипотезу, допускающую как подтверждение, так и опровержение.