Настоящая глава вводит строгий методологический переход от ветвевого языка к языку общего внутреннего объёма. Именно этот переход делает теорию пригодной для вычислительной геометрии и дальнейшего лучевого, акустического, электромагнитного и иного волнового моделирования.

Главная идея такова: ветви остаются аналитическим порождающим скелетом, но физически значимым объектом становится не список радиальных функций, а множество всех внутренних точек, принадлежащих объединению компонент построенной системы. При этом скрипт всегда работает именно с общим внутренним объёмом: он не имеет отдельного вычислительного режима branches, а строит объединение внутренних радиальных интервалов, удаляя только дублирующуюся общую часть перекрытия и не дорисовывая никаких искусственных соединительных линий.

2.1. Место главы в структуре книги

После введения читатель должен сразу получить ответ на принципиальный вопрос: почему недостаточно описывать псевдогиперболоиды только как набор ветвей. Если оставить только ветвевое описание, теория остаётся языком оболочек. Если же перейти к общему внутреннему объёму, появляется область, на которой можно ставить реальные задачи: трассировку лучей, Монте-Карло расчёты, волновые краевые задачи и анализ внутренних путей распространения энергии.

Именно поэтому данная глава должна предшествовать главам о втором, третьем, четвёртом и общем n-м порядке. Она не дублирует их, а задаёт правильную интерпретацию всей дальнейшей теории. Ветвевое рекурсивное ядро остаётся в книге как математический скелет, но только после перехода к интервальной и объёмной постановке.

2.2. Почему чисто ветвевого описания недостаточно

Пусть ξ обозначает осевую координату, а ρ — радиальную координату. Если в фиксированной точке ξ известны только значения радиальных ветвей, то мы знаем лишь положения некоторых граничных уровней. Но волна, луч или поле существуют не на этих линиях, а внутри области. Поэтому для физической интерпретации нужно знать не только список границ, но и множество допустимых радиальных интервалов.

Для второго порядка различие особенно наглядно. Ветвевой язык говорит, что существует одна граничная функция d(ξ). Объёмный язык говорит больше: при каждом ξ допустима не только граничная точка ρ = d(ξ), а весь радиальный интервал от оси до границы. Следовательно, второму порядку соответствует не одна кривая, а внутренний интервал 0 ≤ ρ ≤ d(ξ). Для вертикального типа этот базовый объект имеет две раздельные осевые компоненты, потому что профиль существует лишь на участках |s| ≥ a. Для горизонтального типа базовая осевая область непрерывна: |u| ≤ R.

Рис. 2.1. Вертикальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Показаны две раздельные осевые компоненты. Рисунок сгенерирован финальным скриптом без искусственных соединительных линий.

Рис. 2.2. Горизонтальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Базовая осевая область непрерывна. Рисунок сгенерирован финальным скриптом.

2.3. Три уровня описания: ветвевой, интервальный и объёмный

Для устранения неоднозначности в дальнейшем изложении необходимо строго различать три уровня описания.

Таблица 2.1. Три уровня описания: ветвевой, интервальный и объёмный

Уровень	Основной объект	Что описывает	Главное ограничение
Ветвевой	Bₙ, rₙ,σ(ξ)	Формальные радиальные функции и их рекурсивное порождение	Не задаёт всю внутреннюю область
Интервальный	Iₙ(ξ)	Допустимые радиальные интервалы при фиксированном ξ	Ещё не является полным пространственным телом
Объёмный	Ωₙ, Ωₙ,ₘ	Полный внутренний объём одиночного объекта или рядной системы	Требует осевой сборки и пространственной интерпретации

В исправленной постановке именно интервальный уровень играет роль мостика между ветвями и объёмом. Он согласует теорию с вычислительной реализацией, потому что скрипт работает не с абстрактными символами, а с массивами интервалов [lo, hi], которые затем сливаются в общий объём.

2.4. Ветвевое ядро как порождающий скелет

Пусть d(ξ) — базовая радиальная функция второго порядка. Тогда ветвевое ядро остаётся в книге как строгий аналитический скелет и записывается так:

B₂ = { d }.

Bₖ₊₁ = { Rₖ₋₁ + r,  Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ },    k ≥ 2.

Nₙ = 2ⁿ⁻².

Эти формулы фиксируют только формальные уровни радиусов. Они не определяют автоматически, какие точки пространства принадлежат внутренней рабочей области. Поэтому ветвевой аппарат должен рассматриваться не как окончательная физическая модель, а как порождающий скелет, из которого интервальная теория извлекает реальные внутренние области.

Важно подчеркнуть, что переход от k-го к (k+1)-му порядку осуществляется параметром Rₖ₋₁, а не Rₖ. Это индексное правило обязательно должно соблюдаться во всей книге, иначе возникает путаница между номером шага рекурсии и номером параметра смещения.

2.5. Интервальное прочтение второго и третьего порядка

Скрипт реализует конкретное интервальное преобразование, действующее на каждый интервал [α, β] предыдущего порядка.

Для второго порядка при фиксированном ξ имеем один базовый интервал:

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Пусть теперь задан интервал [α, β], где 0 ≤ α ≤ β. Тогда действие очередного смещения R задаётся не абстрактной записью |R − r|, а точным оператором, реализованным в скрипте:

C_R([α, β]) = [ max(R − β, 0),  max(R − α, 0) ]  ∪  [ R + α,  R + β ].

Именно эта формула соответствует строкам скрипта, где для каждого интервала строятся две новые компоненты: разностная и суммовая. Разностная компонента обрезается снизу нулём, то есть радиус не может стать отрицательным. После этого выполняется операция Merge, сливающая пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы.

Следовательно, для третьего порядка исправленная формула имеет вид:

I₃(ξ) = Merge( C_{R₁}( I₂(ξ) ) ).

Если подставить I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }, то до слияния получаем два интервала:

[ max(R₁ − d(ξ), 0),  R₁ ]  и  [ R₁,  R₁ + d(ξ) ].

Так как эти интервалы касаются в точке R₁, после Merge возникает единая допустимая область:

I₃(ξ) = { [ max(R₁ − d(ξ), 0),  R₁ + d(ξ) ] }.

2.6. Общая интервальная рекурсия, совпадающая со скриптом

Пусть при фиксированном ξ множество интервалов k-го порядка записано как

Iₖ(ξ) = { [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] }₍ⱼ₌₁₎^{Mₖ(ξ)},    0 ≤ αⱼ(ξ) ≤ βⱼ(ξ).

Тогда следующий порядок строится точной формулой

Iₖ₊₁(ξ) = Merge( ⋃_{j=1}^{Mₖ(ξ)} C_{Rₖ₋₁}( [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] ) ),    k ≥ 2,

где

C_{Rₖ₋₁}( [α, β] ) = [ max(Rₖ₋₁ − β, 0),  max(Rₖ₋₁ − α, 0) ]  ∪  [ Rₖ₋₁ + α,  Rₖ₋₁ + β ].

Оператор Merge объединяет интервалы, если они пересекаются или касаются. Тем самым убирается искусственное дублирование границ и получается итоговая система допустимых радиальных областей. Это и есть математическая модель общего внутреннего объёма на фиксированном сечении ξ = const.

Такая запись подчёркивает принципиальное свойство скрипта: каждый следующий порядок строится не заново из исходной гиперболической образующей, а из уже полученного набора интервалов предыдущего порядка. Следовательно, рост порядка является настоящей рекурсией внутренней геометрии.

2.7. Переход от интервалов к общему внутреннему объёму Ωₙ и Ωₙ,ₘ

После задания интервалов Iₙ(ξ) физически значимый объект определяется как объединение всех радиальных точек, лежащих внутри этих интервалов. Для одиночного псевдогиперболоида n-го порядка объём можно записать так:

Ωₙ = { (ξ, ρ, φ) : ξ ∈ Dₙ,  [α, β] ∈ Iₙ(ξ),  α ≤ ρ ≤ β,  0 ≤ φ < 2π }.

Здесь Dₙ — допустимый осевой диапазон, а φ — угловая координата вращения. Для вертикального типа ξ = s, а половина осевой длины одного базового экземпляра равна

L = a √(1 + (R / b)²).

Для горизонтального типа ξ = u и половина длины одного экземпляра равна R.

Рядная система из m одинаковых экземпляров строится осевыми сдвигами. Если H обозначает половину длины одного экземпляра вдоль общей оси, то шаг между центрами соседних экземпляров равен

step = 2H + h.

В соответствии со скриптом осевые сдвиги имеют вид

Δⱼ = −j(2H + h),    j = 0, 1, …, m−1.

Тогда общий внутренний объём рядной системы записывается формулой

Ωₙ,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} ( Ωₙ + Δⱼ e_ξ ).

Эта формула полностью согласуется со скриптом. Если h > 0, между рядами возникает зазор. Если h = 0, соседние экземпляры касаются. Если h < 0, возникает перекрытие по общей оси. При этом скрипт не удаляет сами компоненты как порождающие объекты, а строит итоговый общий объём как объединение всех компонент с устранением только дублирующейся общей части.

2.8. Геометрический смысл общего объёма и его визуализация в скрипте

Скрипт всегда работает в объёмной логике. Он выводит все порядки от 2 до n и для каждого порядка может строить 2D меридиональные сечения, 3D поверхности границы объёма или оба вида визуализации сразу. Формально режимы называются section, surface и all.

Важно различать математический объект и способ его показа. Математический объект — это объём Ωₙ или Ωₙ,ₘ. В 2D скрипт показывает границы радиальных интервалов меридионального сечения. В 3D он показывает поверхности вращения, соответствующие внешним и внутренним границам общего объёма. То есть скрипт визуализирует границу объёма, а не строит полноценную твердотельную CAD-модель или конечную 3D сетку.

Принципиально важно и то, что в скрипте запрещены искусственные соединения. Для этого: 1) в 2D по умолчанию отключена заливка областей;

2) в осевые пустоты добавляются точки разрыва;

3) кривые разбиваются по скачкам, соответствующим смене компоненты;

4) между рядами и компонентами не дорисовываются прямые отрезки. Поэтому все отображаемые линии являются только геометрическими границами реальных компонент общего объёма.

Рис. 2.3. Вертикальный тип, 4-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2. Показано объединение всех компонент без искусственных соединений.

Рис. 2.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок, 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2.

Рис. 2.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры те же, что на рис. 2.3.

Рис. 2.6. Горизонтальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы общего внутреннего объёма рядной системы. Параметры те же, что на рис. 2.4.

2.9. Связь методологической постановки с вычислительным скриптом

Согласование главы со скриптом требует зафиксировать ещё несколько принципов.

• Скрипт выводит не только конечный n-й порядок, а всю последовательность порядков 2, 3, …, n.

• Скрипт не имеет отдельного вычислительного режима branches; ветвевой уровень остаётся теоретическим слоем книги.

• Скрипт строит именно объединённый внутренний объём и визуализирует его границы.

• Разностная ветвь каждого шага обрезается снизу нулём, то есть отрицательные радиусы не допускаются.

• При наличии пересечений и вложений компонент скрипт не уничтожает сами компоненты, а удаляет только дублирование общей части в итоговом объединении.

• Предупреждения скрипта о вложении и пересечении нужно понимать как диагностические сообщения, а не как запрет на построение.

Такое уточнение важно для всей дальнейшей теории. Теория ветвей должна использоваться как язык происхождения границ, а теория интервалов и общего объёма — как язык физически значимого объекта. Только в таком виде текст книги будет строго согласован с фактической вычислительной реализацией.

2.10. Выводы главы

Основные выводы таковы.

Физически значимой областью является общий внутренний объём Ωₙ или Ωₙ,ₘ.

Ветви нужны как аналитический скелет, но не заменяют объёмную постановку.

Исправленный интервальный оператор должен совпадать со скриптом и содержать обрезание радиуса снизу нулём.

Операция Merge обязательна, поскольку именно она устраняет искусственное дробление пересекающихся и касающихся компонент.

Рядная система строится осевыми сдвигами Δⱼ = −j(2H + h).

Все иллюстрации главы должны пониматься как изображения реальных границ общего объёма без искусственных соединительных линий.