Настоящая глава фиксирует чистое ветвевое ядро теории псевдогиперболоидов n-го порядка. В предыдущей главе было показано, что главным физическим объектом является общий внутренний объём. Однако этот объём не возникает произвольно: его порождает строгая рекурсивная система радиальных ветвей. Поэтому перед построением исходной образующей, второго порядка, третьего порядка и последующих уровней необходимо отдельно зафиксировать математический скелет всей конструкции.
3.1. Назначение ветвевого ядра
Ветвевое ядро выполняет роль аналитического генератора границ. Оно показывает, как из одной базовой функции расстояния до оси d(ξ) появляются формальные радиальные уровни третьего, четвёртого, пятого и общего n-го порядка. Этот уровень описания не является полной физической областью, но без него невозможно строго определить порядок, число формальных ветвей и вложенность рекурсивных смещений.
После главы 2 ветвевой язык должен пониматься осторожно. Он не заменяет интервальную и объёмную геометрию. Ветви отвечают на вопрос: какие радиальные уровни порождает рекурсия? Интервалы отвечают на вопрос: какие радиальные зоны допустимы внутри объекта? Общий объём отвечает на вопрос: какие точки пространства принадлежат реальной расчётной области?
Таблица 3.1. Назначение ветвевого ядра
| Слой теории | Основной объект | Что фиксирует | Что не фиксирует |
| Ветвевой | Bₙ, rₙ,σ(ξ) | Рекурсивные радиальные функции, число формальных ветвей, вложенность знаков | Заполненность внутренней области |
| Интервальный | Iₙ(ξ) | Допустимые радиальные интервалы при фиксированной осевой координате | Полную пространственную форму |
| Объёмный | Ωₙ, Ωₙ,ₘ | Физически значимую область для лучей и волн | Причину возникновения ветвей |
3.2. Исходное состояние: второй порядок
Пусть ξ обозначает осевую координату выбранного типа построения, а d(ξ) — базовую радиальную функцию второго порядка. Для вертикального и горизонтального типов конкретная форма d(ξ) различается, но ветвевой закон начинается одинаково: второй порядок содержит одну исходную ветвь.
B₂ = { d }.
Второй порядок является нулевым рекурсивным состоянием. На этом уровне ещё нет параметров R₁, R₂, … . В ветвевом языке он задаётся одной функцией d(ξ). В объёмном языке та же геометрия соответствует базовому интервалу I₂(ξ) = {[0, d(ξ)]}. Эти две записи нельзя смешивать: B₂ задаёт границу, а I₂ задаёт внутреннюю радиальную область.
Рис. 3.1. Вертикальный тип, 2-й порядок: одна исходная ветвь как порождающая граница базового внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0. Рисунок построен финальным скриптом.
3.3. Первый рекурсивный шаг: третий порядок
Первый собственно рекурсивный шаг задаётся параметром R₁. Он действует на уже существующую ветвь второго порядка и порождает две формальные ветви третьего порядка: суммовую и разностную.
B₃ = { R₁ + d, R₁ − d }.
Таким образом, третий порядок содержит две формальные ветви. Ветвевой смысл этой записи прост: каждая функция предыдущего уровня порождает две функции следующего уровня. При этом в физической интерпретации нельзя забывать, что разностная ветвь R₁ − d может стать отрицательной, если R₁ меньше максимального значения d. В этом случае формальная ветвь уже не является непосредственным физическим радиусом, а объёмная теория должна переходить к интервальному оператору с обрезанием радиуса снизу нулём.
Рис. 3.2. Вертикальный тип, 3-й порядок: результат первого рекурсивного смещения R₁. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0. Рисунок показывает уже объёмную визуализацию границ, построенную из ветвевого шага.
3.4. Второй рекурсивный шаг: четвёртый порядок
Второй рекурсивный шаг задаётся параметром R₂. Он действует не на исходную функцию d заново, а на результат третьего порядка. Поэтому четвёртый порядок содержит четыре формальные ветви:
B₄ = { R₂ + (R₁ + d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ − d) }.
Это место принципиально важно для всей теории. Параметры R₁, R₂, … не являются независимыми смещениями относительно исходной образующей. Они образуют цепочку операторов: R₁ строит третий порядок из второго, R₂ строит четвёртый из третьего, R₃ строит пятый из четвёртого и так далее.
Если бы каждый параметр Rⱼ применялся заново только к исходной функции d(ξ), то рекурсивной теории n-го порядка не возникло бы. Поэтому правильное понимание четвёртого порядка — это не набор отдельных добавок к d, а вложенная структура R₂ ± (R₁ ± d).
Рис. 3.3. Вертикальный тип, 4-й порядок: результат двух последовательных рекурсивных смещений R₁ и R₂. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0.
3.5. Общая рекурсия n-го порядка
Для общей записи удобно использовать индекс шага рекурсии. Пусть B₂ = {d}. Тогда j-й рекурсивный параметр Rⱼ переводит порядок j+1 в порядок j+2:
B_{j+2} = { Rⱼ + r, Rⱼ − r : r ∈ B_{j+1} }, j = 1, 2, …, n−2.
Та же формула может быть записана через номер текущего порядка k:
Bₖ₊₁ = { Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.
Именно эта вторая форма устраняет индексную неоднозначность: при переходе от B₂ к B₃ используется R₁, при переходе от B₃ к B₄ используется R₂, при переходе от B₄ к B₅ используется R₃.
Так как каждая формальная ветвь предыдущего уровня порождает две ветви следующего уровня, число формальных ветвей удваивается на каждом шаге. Поэтому
Nₙ = 2ⁿ⁻².
Эта формула является инвариантом ветвевой теории. Она не зависит от вертикального или горизонтального типа, не зависит от рядности m и не меняется при осевых сдвигах рядной системы. Но она не равна числу компонент общего объёма после Merge: интервалы могут касаться, сливаться, перекрываться или исчезать как отдельные видимые компоненты.
Таблица 3.2. Общая рекурсия n-го порядка
| Порядок n | Использованные смещения | Формальные ветви Nₙ | Комментарий |
| 2 | нет | 1 | Исходная ветвь d |
| 3 | R₁ | 2 | Первое раздвоение |
| 4 | R₁, R₂ | 4 | Второе раздвоение всех ветвей |
| 5 | R₁, R₂, R₃ | 8 | Первый уровень с восемью формальными ветвями |
| n | R₁, …, Rₙ₋₂ | 2ⁿ⁻² | Общая формула ветвевого ядра |
3.6. Знаковые слова и вложенная запись ветвей
Для алгоритмической записи каждой ветви можно сопоставить знаковое слово σ. Слово длины n−2 фиксирует путь в бинарном дереве рекурсии. Важно, однако, не превращать вложенную рекурсию в неверную линейную сумму со свободными знаками перед всеми Rⱼ. Последний внешний параметр не является независимым слагаемым; он действует как внешний оператор над уже построенным выражением.
σ = (σ₁, σ₂, …, σₙ₋₂), σⱼ ∈ {+, −}.
Введём операторы
Fⱼ⁺(x) = Rⱼ + x, Fⱼ⁻(x) = Rⱼ − x.
Тогда правильная ветвь n-го порядка задаётся вложенной композицией
rₙ,σ(ξ) = Fₙ₋₂^{σₙ₋₂} ∘ Fₙ₋₃^{σₙ₋₃} ∘ … ∘ F₁^{σ₁}( d(ξ) ).
Например, для четвёртого порядка получаем именно четыре вложенные формы R₂ ± (R₁ ± d), а не произвольную сумму ±R₂ ±R₁ ±d. Это исправление необходимо сохранить во всех последующих главах, особенно в общей главе о n-м порядке.
Таблица 3.3. Знаковые слова и вложенная запись ветвей
| Порядок | Знаковые слова | Корректная вложенная форма |
| 2 | пустое слово | d |
| 3 | +, − | R₁ + d; R₁ − d |
| 4 | ++; +−; −+; −− | R₂ ± (R₁ ± d) |
| 5 | слова длины 3 | R₃ ± [ R₂ ± (R₁ ± d) ] |
| n | слова длины n−2 | Fₙ₋₂ ∘ … ∘ F₁(d) |
3.7. Условия корректности формальных ветвей
В чисто ветвевом представлении радиальная функция должна быть неотрицательной. Поэтому для регулярного ветвевого режима на каждом шаге желательно, чтобы новое смещение превосходило максимальный радиус предыдущего ветвевого уровня. Для третьего порядка условие имеет вид
R₁ > sup d(ξ).
Для четвёртого порядка требуется уже не R₂ > sup d(ξ), а условие относительно всех ветвей третьего порядка:
R₂ > sup{ r(ξ) : r ∈ B₃ }.
В общем виде регулярное ветвевое условие можно записать так:
Rₖ₋₁ > sup{ r(ξ) : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.
Однако это условие относится именно к формальной ветвевой геометрии. Финальный скрипт не останавливает построение при нарушении такого неравенства. Он выдаёт предупреждение о пересечении, вложении или касании, а затем строит общий внутренний объём через интервалы, обрезание отрицательных радиусов и операцию Merge. Поэтому нужно различать уровни корректности.
Таблица 3.4. Уровни корректности
| Тип корректности | Запись | Смысл |
| Формально-ветвевая | Rₖ₋₁ > sup Bₖ | Все формальные ветви остаются неотрицательными |
| Интервально-объёмная | C_R([α, β]) + Merge | Общий объём можно строить даже при пересечении и вложении |
| Вычислительная | предупреждение, но не запрет | Скрипт продолжает построение и показывает объединение объёмов |
3.8. Вертикальный и горизонтальный типы в ветвевом языке
Ветвевой закон одинаков для вертикального и горизонтального типов. Различие между ними возникает не в рекурсивной формуле Bₙ, а в выборе базовой функции d(ξ) и в пространственной интерпретации оси вращения. В вертикальном типе базовая функция связана с открытым профилем ρᵥ(|s|). В горизонтальном типе используется повёрнутый на 90 градусов открытый контур xₕ(u).
Вертикальный тип: d(ξ) = ρᵥ(|s|),
Горизонтальный тип: d(ξ) = xₕ(u).
После выбора d(ξ) рекурсивная схема остаётся одной и той же: B₂ = {d}, B₃ = {R₁ ± d}, B₄ = {R₂ ± (R₁ ± d)} и далее. Это свойство делает теорию универсальной: разные геометрические реализации подчиняются одному ветвевому ядру.
Рис. 3.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок. Та же ветвевая рекурсия R₂ ± (R₁ ± d) реализуется при иной базовой ориентации профиля. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; m = 1; h = 0.
3.9. Порядок n, рядность m и параметр h: разные уровни организации
Порядок n и рядность m нельзя смешивать. Порядок n относится к внутренней рекурсии одного псевдогиперболоидного экземпляра. Он определяет число параметров R₁, …, Rₙ₋₂ и число формальных ветвей 2ⁿ⁻². Рядность m относится к внешней осевой компоновке уже построенных одинаковых экземпляров. Параметр h задаёт зазор, касание или перекрытие соседних рядов.
n — глубина внутренней рекурсии;
m — число осевых экземпляров;
h — осевой зазор или перекрытие.
Следовательно, увеличение n меняет внутреннюю структуру одного экземпляра, а увеличение m повторяет уже построенную структуру вдоль общей оси. Рядность не умножает число формальных ветвей одного экземпляра и не входит в формулу Nₙ = 2ⁿ⁻². Она участвует только в построении общего объёма Ωₙ,ₘ после завершения внутренней рекурсии.
Рис. 3.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы одиночного экземпляра. Рисунок показывает, что порядок n меняет внутреннюю рекурсивную структуру, тогда как рядность m здесь равна 1 и не участвует в ветвевом числе.
3.10. Почему ветвевое ядро не должно подменять общий объём
Главная опасность чисто ветвевого описания состоит в том, что оно может создать впечатление, будто физическая область уже определена набором функций R₂ ± (R₁ ± d) и их аналогами для более высоких порядков. Это неверно. Ветви являются границами или кандидатами на границы. Физически значимая область появляется только после перехода к внутренним интервалам, их слиянию и пространственному вращению.
Поэтому при чтении дальнейших глав необходимо держать строгую иерархию:
1. Сначала задаётся базовая функция d(ξ);
2. Затем строится формальное ветвевое ядро Bₙ;
3. Затем ветвевой скелет переводится в систему внутренних радиальных интервалов Iₙ(ξ);
4. После операции Merge получается объединённая радиальная область при каждом ξ;
5. После вращения и осевой сборки рядов получается общий внутренний объём Ωₙ,ₘ.
Рис. 3.6. Горизонтальный тип, 5-й порядок, 3D поверхности границы одиночного экземпляра. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 40; R₃ = 90; m = 1; h = 0. Рисунок демонстрирует, что рост ветвевого ядра проявляется в усложнении границ общего объёма.
3.11. Выводы главы
В настоящей главе зафиксировано ветвевое рекурсивное ядро теории псевдогиперболоидов n-го порядка. Исправленная версия главы должна использоваться как эталон для всех последующих разделов, где вводятся третий, четвёртый и общий n-й порядок.
1. Второй порядок задаётся одной исходной ветвью B₂ = {d}.
2. Первый рекурсивный шаг использует R₁ и строит B₃ = {R₁ + d, R₁ − d}.
3. Второй рекурсивный шаг использует R₂ и строит B₄ = {R₂ ± (R₁ ± d)}.
4. Общая рекурсия должна записываться как Bₖ₊₁ = {Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ}, k ≥ 2.
5. Число формальных ветвей равно Nₙ = 2ⁿ⁻², но это не число физических компонент после Merge.
6. Знаковые слова задают вложенную композицию операторов, а не произвольную линейную сумму со свободными знаками.
7. Вертикальный и горизонтальный типы имеют разные базовые функции d(ξ), но одно и то же ветвевое ядро.
8. Порядок n и рядность m являются разными уровнями организации и не должны смешиваться.
9. Ветвевое ядро является необходимым, но не окончательным физическим описанием: общий объём возникает только после интервальной и объёмной интерпретации.