Настоящая глава фиксирует геометрический источник всей дальнейшей конструкции. После глав о переходе от ветвей к объёму и о ветвевом рекурсивном ядре необходимо строго задать базовую образующую, потому что именно она определяет исходную функцию расстояния до оси d(ξ), из которой затем строятся интервалы второго, третьего, четвёртого и общего n-го порядка.

Глава не рассматривает исходную гиперболу как декоративную кривую. Она вводит её как первичный механизм формирования внутренней области. Уже на этом уровне нужно различать три вещи: каноническую плоскую гиперболу, открытую радиальную функцию второго порядка и пространственную поверхность вращения, которая является границей соответствующего внутреннего объёма.

Главное правило главы: никакие центральные цилиндрические перемычки, искусственные прямые замыкания, сглаживания, скругления или соединительные отрезки к исходной геометрии не добавляются. Скрипт строит только те кривые и поверхности, которые следуют из заданных формул.

4.1. Назначение исходной образующей

Исходная гиперболическая образующая нужна не для того, чтобы получить ещё один классический гиперболоид вращения. Её роль глубже: она задаёт начальный закон изменения радиального расстояния, из которого затем рекурсивно возникают многокомпонентные внутренние области. Поэтому базовая образующая является нулевым геометрическим источником всей теории рядных псевдогиперболоидов.

Параметры a и b задают форму исходной гиперболы. Параметр R не является параметром самой канонической гиперболы; он задаёт радиальный масштаб открытого профиля второго порядка. В дальнейшем параметры R₁, R₂, … будут повышать порядок, но в данной главе они ещё не используются. Здесь строится только исходный второй порядок как базовая внутренняя область.

4.2. Каноническая гипербола и функция гиперболического удаления

В основе построения лежит правая и левая ветви плоской гиперболы с полуосью a и параметром b. Для дальнейшего построения удобна не сама гипербола в полном каноническом виде, а функция гиперболического удаления от вершины:

η(|x|; a, b) = b √((|x| / a)² − 1),      |x| ≥ a.

Эта функция определена только вне центрального интервала |x| < a. Именно это обстоятельство создаёт открытый характер вертикального профиля: в центре не появляется автоматически никакая перемычка. В скрипте для численной устойчивости выражение под корнем обрезается снизу нулём, но геометрический смысл остаётся тем же: физическая ветвь начинается от |x| = a.

Фокусное расстояние исходной гиперболы определяется формулой

c = √(a² + b²).

Фокусное расстояние полезно для геометрической интерпретации исходной образующей, но в финальном скрипте оно не участвует в построении сетки как самостоятельный управляющий параметр. Управляющими параметрами профиля являются a, b и R.

4.3. Вертикальный профиль

Вертикальный тип строится так, что осевая координата обозначается через s, а радиальная координата через ρ. Открытый профиль второго порядка задаётся функцией

ρᵥ(|s|) = R − b √((|s| / a)² − 1),      a ≤ |s| ≤ L,

L = a √(1 + (R / b)²).

Величина L является продольным пределом существования открытого вертикального профиля. При |s| = a радиус достигает максимума ρᵥ = R. При |s| = L радиус обращается в ноль. Поэтому вертикальный второй порядок состоит из двух раздельных осевых частей: левой на интервале −L ≤ s ≤ −a и правой на интервале a ≤ s ≤ L.

Центральный промежуток −a < s < a в открытой редакции не заполняется. Никакой цилиндрический участок, никакая прямая перемычка и никакое искусственное замыкание между левой и правой частями не вводятся. Это принципиально: если соединить две части вручную, получится уже другая геометрия, не соответствующая скрипту.

Рис. 4.1. Вертикальный открытый профиль второго порядка: 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

4.4. Горизонтальная реализация

Горизонтальный тип нельзя описывать как простую смену названий координат без изменения геометрического смысла. В исправленной реализации используется тот же открытый контур, но повернутый на 90 градусов. Осевая координата обозначается через u, а радиальная функция записывается так:

xₕ(u) = a √(1 + ((R − |u|) / b)²),      |u| ≤ R.

Здесь осевой диапазон непрерывен: −R ≤ u ≤ R. При u = 0 радиус максимален, а при |u| = R радиус равен a. Поэтому горизонтальный второй порядок имеет другую связность меридионального сечения, чем вертикальный. Он не содержит центрального осевого разрыва типа −a < s < a, характерного для вертикального профиля.

Исправленная горизонтальная запись особенно важна из-за прежних ошибок визуализации. В горизонтальном типе нельзя дорисовывать скругления, удалять внутренние части или соединять ряды служебными линиями. Профиль должен строиться только по формуле xₕ(u), а его 3D-форма должна получаться только вращением этой реальной границы.

Рис. 4.2. Горизонтальная реализация второго порядка: 2D меридиональное сечение общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0. Профиль построен без скруглений и без искусственных соединений.

4.5. Второй порядок как начальный внутренний интервал

Ветвевой язык второго порядка говорит только о границе d(ξ). Но после главы 2 мы должны сразу задавать и внутренний интервал. Для вертикального типа базовая функция dᵥ(s) равна ρᵥ(|s|), а внутренний интервал имеет вид

I₂ᵛ(s) = { [0, ρᵥ(|s|)] },      s ∈ [−L, −a] ∪ [a, L].

Для горизонтального типа базовая функция dₕ(u) равна xₕ(u), а внутренний интервал имеет вид

I₂ʰ(u) = { [0, xₕ(u)] },      u ∈ [−R, R].

В обоих случаях нижняя граница равна нулю. Поэтому базовые компоненты второго порядка доходят до оси вращения и не являются тороидальными оболочками в строгом смысле. Термин «тороидальные компоненты» корректен только для тех последующих областей, где нижняя граница интервала становится положительной: lo > 0.

4.6. Оси вращения и пространственные поверхности

Переход от меридионального сечения к пространственной геометрии выполняется вращением вокруг общей оси. Для вертикального типа вращение происходит вокруг оси s. Если радиус равен ρ, то параметризация поверхности границы имеет вид

X = s,      Y = ρ cos φ,      Z = ρ sin φ,      0 ≤ φ < 2π.

Для горизонтального типа вращение происходит вокруг оси u. Тогда параметризация поверхности границы записывается так:

X = ρ cos φ,      Y = u,      Z = ρ sin φ,      0 ≤ φ < 2π.

Эти формулы соответствуют двум функциям вращения в скрипте: одна вращает профиль вокруг оси x, другая — вокруг оси y. Важно понимать, что на рисунках 3D показываются поверхности границы объёма. Сам математический объект — это весь внутренний объём, заданный неравенством между нижней и верхней радиальными границами.

Рис. 4.3. Вертикальный тип второго порядка: 3D поверхности границы общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

Рис. 4.4. Горизонтальный тип второго порядка: 3D поверхность границы общего внутреннего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; m = 1; h = 0.

4.7. Научный смысл открытой редакции

Открытая редакция построения важна для будущей геометрической волновой инженерии. Закрытая или искусственно замкнутая форма навязала бы волне дополнительные стенки и каналы, которых нет в исходном законе. Открытая форма сохраняет честную геометрию: там, где формула не задаёт область, область не дорисовывается.

Это делает дальнейшую теорию проверяемой. Если в последующих порядках появятся внутренние зоны удержания, каналы связи, области концентрации или режимы направленного вывода энергии, они должны возникать не из художественной дорисовки, а из строгой рекурсии интервалов и их объединения. Именно поэтому исходная глава должна быть математически безупречной: ошибка в базовой образующей немедленно переносится во все высшие порядки.

4.8. Выводы главы

1. Исходная гиперболическая образующая задаётся функцией η(|x|; a, b) = b√((|x|/a)² − 1) при |x| ≥ a.

2. Вертикальный открытый профиль имеет вид ρᵥ(|s|) = R − b√((|s|/a)² − 1) на области a ≤ |s| ≤ L, где L = a√(1 + (R/b)²).

3. Вертикальный второй порядок состоит из двух раздельных осевых компонент; центральный участок не вводится.

4. Горизонтальный тип задаётся повернутой на 90 градусов реализацией xₕ(u) = a√(1 + ((R − |u|)/b)²), |u| ≤ R.

5. Второй порядок должен сразу пониматься как внутренний интервал [0, d(ξ)], а не только как граничная кривая.

6. 3D-рисунки показывают поверхности границы общего внутреннего объёма, а не заменяют сам объём.

7. Любые искусственные перемычки, скругления и служебные соединения противоречат исходной геометрии и должны быть исключены.