Настоящая глава фиксирует второй порядок как исходную рабочую область всей теории. Это не вспомогательный рисунок и не частный низший случай, а нулевой рекурсивный уровень, без которого невозможны третий, четвёртый и общий n-й порядок. Именно здесь впервые появляется главный объект теории: не линия и не оболочка, а внутренний объём, ограниченный открытым гиперболическим профилем.

Второй порядок описывается в полном соответствии с финальным скриптом. Для вертикального типа базовая область имеет две раздельные осевые компоненты. Для горизонтального типа базовая область непрерывна по осевой координате. В обоих случаях физически значимым объектом является множество всех внутренних точек, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ ρ ≤ d(ξ), а не только граничная кривая ρ = d(ξ).

С точки зрения Геометрической Волновой Инженерии именно второй порядок является первой элементарной «ячейкой управления»: он задаёт форму внутреннего пространства, в котором уже можно ставить вопросы о траекториях, отражениях, задержке, локализации и выходе волн. Более высокие порядки не отменяют этот уровень, а рекурсивно разворачивают его в многокомпонентную систему.

5.1. Второй порядок как нулевой рекурсивный уровень

Псевдогиперболоид второго порядка занимает особое место в иерархии. Он ещё не содержит рекурсивных параметров R₁, R₂, …, Rₙ₋₂ и потому не является результатом действия оператора C_R. Он задаёт начальное состояние, от которого начинается вся дальнейшая интервальная рекурсия.

B₂ = { d }.

Эта запись является ветвевой. Она говорит только о том, что существует одна базовая граничная функция d(ξ). Однако для физики и вычислительной геометрии этого недостаточно. Объёмная запись второго порядка имеет вид

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Именно интервал [0, d(ξ)] является исходным материалом для построения третьего порядка. Когда далее вводится R₁, преобразуется не одна граничная линия, а весь внутренний радиальный интервал. Поэтому второй порядок должен быть зафиксирован как полноценный внутренний объём, а не как оболочка.

В этом состоит принципиальный поворот всей теории: теория начинается не с поверхности, а с области. Поверхность является границей, а волна существует внутри области. Следовательно, математически и физически первичным объектом является Ω₂.

5.2. Вертикальный тип второго порядка

В вертикальном типе осевая координата обозначается через s. Открытый профиль существует не на всём отрезке между −L и L, а только на двух симметричных участках:

s ∈ [−L, −a] ∪ [a, L].

Граничная радиальная функция задаётся формулой

ρᵥ(|s|) = R − b √((|s| / a)² − 1),     a ≤ |s| ≤ L,

L = a √(1 + (R / b)²).

Внутренняя область вертикального второго порядка задаётся неравенством

Ω₂ᵛ = { (s, ρ, φ) : a ≤ |s| ≤ L,  0 ≤ ρ ≤ ρᵥ(|s|),  0 ≤ φ < 2π }.

Ключевая геометрическая особенность вертикального типа состоит в том, что центральный участок |s| < a в открытой редакции отсутствует. Поэтому вертикальный второй порядок имеет две раздельные осевые компоненты. Их нельзя соединять прямыми отрезками, цилиндрическими перемычками или искусственными поверхностями. Если в рисунке появляется линия, соединяющая левую и правую компоненты через центральный разрыв, это не геометрия объекта, а ошибка визуализации.

Рис. 5.1. Вертикальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Центральный промежуток открыт; искусственные соединения отсутствуют.

5.3. Горизонтальный тип второго порядка

В горизонтальном типе используется исправленная повёрнутая реализация того же открытого гиперболического принципа. Осевая координата обозначается через u, а допустимый диапазон имеет вид

|u| ≤ R.

Базовая радиальная функция горизонтального типа задаётся формулой

xₕ(u) = a √(1 + ((R − |u|) / b)²),     |u| ≤ R.

Тогда внутренний объём горизонтального второго порядка задаётся множеством

Ω₂ʰ = { (u, ρ, φ) : |u| ≤ R,  0 ≤ ρ ≤ xₕ(u),  0 ≤ φ < 2π }.

Горизонтальный тип не является простым переименованием вертикального. Он имеет другой осевой диапазон, другую связность меридионального сечения и другую пространственную ориентацию. В отличие от вертикального типа, базовый горизонтальный второй порядок непрерывен по осевой координате u. Но это не означает, что его можно скруглять, замыкать произвольными дугами или удалять внутренние части при последующих построениях. Все внутренние области, задаваемые интервалами, должны сохраняться.

Рис. 5.2. Горизонтальный тип, 2-й порядок, 2D меридиональное сечение. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0. Базовая область непрерывна по осевой координате u.

5.4. Второй порядок как объём, а не оболочка

Для обеих реализаций второго порядка граница задаётся одной функцией d(ξ), но физически рабочая область задаётся всем интервалом 0 ≤ ρ ≤ d(ξ). Поэтому необходимо различать три объекта:

• Граничную функцию d(ξ);

• Меридиональный внутренний интервал [0, d(ξ)];

• Пространственный объём вращения Ω₂.

Если рассматривается только кривая ρ = d(ξ), то мы имеем оболочечное или ветвевое описание. Если рассматривается неравенство 0 ≤ ρ ≤ d(ξ), то мы получаем внутренний объём. Для будущей волновой постановки именно второй вариант является правильным. Граничная поверхность может нести условия отражения, поглощения или пропускания, но область распространения поля находится внутри неё.

В финальном скрипте эта логика реализуется через начальный интервал [0, d]. Для второго порядка список интервалов содержит один элемент. Для более высоких порядков этот список преобразуется рекурсивно и затем сливается оператором Merge. Поэтому второй порядок является не просто начальной картинкой, а исходным массивом внутренней геометрии.

5.5. Пространственная реализация второго порядка

Переход от 2D-сечения к пространственной геометрии выполняется вращением. Для вертикального типа вращение осуществляется вокруг оси s; для горизонтального типа — вокруг оси u. При этом в 3D-рисунке скрипт показывает поверхности границы общего объёма, а не заполняет весь объём точками.

Это различие важно для точности текста. Математически объектом является объём Ω₂, но графически в текущем скрипте отображается его граница: внешняя поверхность, полученная вращением функции d(ξ). Если в более высоких порядках появляются внутренние интервалы с lo > 0, скрипт дополнительно показывает внутренние поверхности. Для второго порядка lo = 0, поэтому базовый объём доходит до оси и не является тороидом в строгом смысле.

Рис. 5.3. Вертикальный тип, 2-й порядок, 3D поверхность границы базового внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0.

Рис. 5.4. Горизонтальный тип, 2-й порядок, 3D поверхность границы базового внутреннего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; m = 1; h = 0.

5.6. Что второй порядок передаёт рекурсии

Вся дальнейшая теория строится из второго порядка. Поэтому важно зафиксировать, что именно передаётся на следующий уровень. Передаётся не только формальная ветвь d(ξ), а внутренний интервал I₂(ξ) = [0, d(ξ)]. После введения R₁ он преобразуется оператором

C_{R₁}([0, d]) = [ max(R₁ − d, 0), R₁ ] ∪ [ R₁, R₁ + d ].

После слияния двух касающихся интервалов получается

I₃(ξ) = { [ max(R₁ − d(ξ), 0), R₁ + d(ξ) ] }.

Тем самым второй порядок является «семенем» рекурсии. Его геометрия определяет не только форму базового объекта, но и все будущие радиальные диапазоны. Ошибка во втором порядке автоматически переносится на третий, четвёртый и n-й порядок. Поэтому в данной главе особенно важно не допустить трёх ошибок:

• Не соединять раздельные вертикальные компоненты через центральный разрыв;

• Не заменять внутренний объём одной граничной кривой;

• Не считать базовую осесодержащую область тороидом, если её нижняя граница равна нулю.

5.7. Второй порядок и рядность: порядок не равен числу рядов

Рядность не повышает порядок. Если взять несколько одинаковых объектов второго порядка и разместить их вдоль общей оси, получится рядная система второго порядка, а не третий или четвёртый порядок. Это принципиальное различие нужно сохранять во всей теории.

Пусть H — половина длины одного экземпляра вдоль общей оси. Тогда центры m экземпляров размещаются со сдвигами

Δⱼ = −j(2H + h),    j = 0, 1, …, m−1.

Для вертикального типа H = L. Для горизонтального типа H = R. Если h = 0, соседние экземпляры касаются в осевом смысле. Если h < 0, они перекрываются. Если h > 0, между ними остаётся зазор. Но во всех случаях порядок остаётся равным двум, потому что внутренняя рекурсия R₁, R₂, … ещё не включена.

Рис. 5.5. Вертикальная рядная система 2-го порядка: m = 3, h = 0. Рядность меняет осевую компоновку, но не повышает порядок.

Рис. 5.6. Горизонтальная рядная система 2-го порядка: m = 3, h = −4. Показано перекрытие рядов без перехода к третьему порядку.

5.8. Терминологическая точность: объём, компонент, тороид

В дальнейшем тексте слово «тороид» допустимо использовать как интуитивный образ для кольцевых компонент, но математически оно требует осторожности. Если нижняя граница интервала положительна, то при вращении возникает тороидальная зона с отверстием вокруг оси. Если же нижняя граница равна нулю, область доходит до оси и не является тороидом в строгом смысле.

lo(ξ) = 0  →  осесодержащая объёмная компонента.

lo(ξ) > 0  →  тороидальная компонента.

Для второго порядка всегда используется базовый интервал [0, d(ξ)]. Поэтому второй порядок следует называть базовым внутренним объёмом или осесодержащей компонентой вращения. Термин «порождающий тороид» для второго порядка лучше не использовать строго; он станет уместнее в более высоких порядках, когда появляются интервалы с положительной нижней радиальной границей.

5.9. Физический смысл второго порядка

Второй порядок является первой геометрией, в которой можно обсуждать волновую задачу не декларативно, а математически. Он задаёт ограниченную внутреннюю область с открытым гиперболическим профилем. В этой области можно ввести лучевые траектории, граничные условия, локальные нормали, распределение плотности энергии и время удержания. Однако сама возможность таких постановок не означает, что скрипт уже вычисляет эти величины. Текущий скрипт строит геометрию и поверхности границы, а физические расчёты должны быть введены последующими модулями.

Именно поэтому второй порядок имеет фундаментальный статус: он является минимальным геометрическим прототипом будущего волнового резонатора, волновода или области управляемого перераспределения энергии. В более высоких порядках этот прототип перестанет быть одиночным интервалом и превратится в рекурсивно организованную систему вложенных и перекрывающихся внутренних областей.

5.10. Выводы главы

В настоящей главе псевдогиперболоид второго порядка зафиксирован как базовый внутренний объём всей дальнейшей теории. Основные выводы таковы.

1. Второй порядок является нулевым рекурсивным уровнем: он не строится из R₁, R₂, …, а служит исходной областью для их дальнейшего действия.

2. Ветвевая запись B₂ = {d} должна обязательно дополняться объёмной записью I₂(ξ) = {[0, d(ξ)]}.

3. Вертикальный второй порядок имеет две раздельные осевые компоненты и не должен искусственно соединяться через центральный разрыв.

4. Горизонтальный второй порядок является непрерывной по осевой координате исправленной 90-градусной реализацией открытого профиля.

5. Математический объект — внутренний объём Ω₂; текущая 3D-визуализация скрипта показывает поверхность его границы.

6. Рядность m и зазор h могут размещать несколько одинаковых объектов второго порядка на общей оси, но не меняют сам порядок.

7. Строгое описание второго порядка необходимо, потому что любая ошибка на этом уровне рекурсивно переносится на все последующие порядки.