Настоящая глава фиксирует первый настоящий рекурсивный шаг теории. Второй порядок задаёт базовый внутренний объём, но ещё не содержит рекурсивного ветвления. Третий порядок возникает после действия первого параметра R₁ и впервые превращает базовый интервал [0, d(ξ)] в новую внутреннюю область, имеющую внутреннюю и внешнюю границы.

В прежнем чисто ветвевом языке третий порядок часто описывался как две ветви R₁ + d и R₁ − d. Такая запись полезна, но недостаточна и даже может ввести в заблуждение. В объёмной трактовке эти две ветви не являются двумя самостоятельными физическими объёмами. Они задают границы единого радиального интервала, который получается после применения операторов рекурсии и операции Merge. Именно эта исправленная интерпретация согласована с финальным скриптом.

6.1. Первый рекурсивный шаг и смысл параметра R₁

Пусть в фиксированной осевой точке ξ второй порядок задан внутренним радиальным интервалом

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Здесь d(ξ) — базовая радиальная функция соответствующего типа: для вертикального типа это ρᵥ(|s|), а для горизонтального типа — xₕ(u). Параметр R₁ не добавляется к исходной гиперболе как независимое украшение. Он действует на весь внутренний интервал второго порядка и тем самым создаёт третий порядок.

Формально ветвевой скелет третьего порядка записывается так:

B₃ = { R₁ + d,  R₁ − d }.

Но эта запись показывает только граничные уровни. Полная объёмная геометрия строится через интервальный оператор C_R, введённый в главе 2.

C_R([α, β]) = [ max(R − β, 0),  max(R − α, 0) ]  ∪  [ R + α,  R + β ].

6.2. Интервальная формула третьего порядка

Подставляя во входной оператор интервал второго порядка [0, d(ξ)], получаем

C_{R₁}([0, d(ξ)]) = [ max(R₁ − d(ξ), 0),  R₁ ] ∪ [ R₁,  R₁ + d(ξ) ].

Два полученных интервала всегда соприкасаются в точке R₁. Поэтому после операции Merge они образуют один радиальный интервал:

I₃(ξ) = { [ max(R₁ − d(ξ), 0),  R₁ + d(ξ) ] }.

Это центральная формула настоящей главы. Она показывает, что объём третьего порядка в каждой допустимой осевой точке задаётся не двумя независимыми зонами, а одним объединённым интервалом. При R₁ > d(ξ) этот интервал имеет ненулевую внутреннюю границу и является кольцевым в радиальном смысле. При R₁ ≤ d(ξ) внутренняя граница достигает оси, и соответствующий участок перестаёт быть строго тороидальным.

Следовательно, две ветви R₁ − d и R₁ + d в объёмной постановке имеют другой смысл: первая является внутренней границей, а вторая — внешней границей. Если R₁ − d становится отрицательной, скрипт не допускает отрицательного радиуса, а обрезает внутреннюю границу до нуля.

6.3. Регулярный режим третьего порядка

Пусть d_max = sup d(ξ) на допустимой области данного типа. Регулярный третий порядок возникает при условии

R₁ > d_max.

В этом случае внутренняя граница положительна во всех допустимых осевых точках:

R₁ − d(ξ) > 0.

Значит, третий порядок является радиально кольцевым объёмом: между осью и внутренней границей имеется пустая область, а рабочий объём расположен между внутренней и внешней границами. Для вертикального типа сохраняются две исходные осевые половины открытого профиля, а для горизонтального типа сохраняется непрерывный осевой диапазон. Рекурсивный параметр R₁ меняет радиальную структуру, но не обязан соединять разорванные осевые области вертикального второго порядка.

Рис. 6.1. Вертикальный тип, 3-й порядок, регулярный режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0. Видно, что третий порядок образует внутреннюю и внешнюю границы без искусственного соединения центрального разрыва.

Рис. 6.2. Горизонтальный тип, 3-й порядок, регулярный режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0. Радиальный интервал третьего порядка образует кольцевую область вдоль непрерывной осевой координаты.

6.4. 3D-интерпретация регулярного третьего порядка

При вращении меридионального сечения третий порядок превращается в пространственную область, ограниченную двумя поверхностями: внутренней поверхностью радиуса max(R₁ − d(ξ), 0) и внешней поверхностью радиуса R₁ + d(ξ). В регулярном режиме внутренняя поверхность нигде не схлопывается в ось, поэтому объём имеет выраженный кольцевой характер.

Важно подчеркнуть: скрипт визуализирует поверхности границы общего объёма. Он не создаёт искусственных стенок между несвязанными осевыми участками, не замыкает центральный разрыв вертикального типа и не соединяет края прямыми служебными линиями. Поэтому 3D-рисунок является изображением реальной границы, а не дорисованной оболочкой.

Рис. 6.3. Вертикальный тип, 3-й порядок, 3D поверхность границы общего объёма в регулярном режиме. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0.

Рис. 6.4. Горизонтальный тип, 3-й порядок, 3D поверхность границы общего объёма в регулярном режиме. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 1; h = 0.

6.5. Пороговый и пересекающийся режимы

Третий порядок имеет три базовых режима, но их нужно формулировать через d_max, а не всегда через один и тот же параметр R. Для вертикального типа d_max = R. Для горизонтального типа d_max = max xₕ(u), и он в общем случае не равен R.

Таблица 6.1. Пороговый и пересекающийся режимы

Режим	Условие	Внутренняя граница	Геометрический смысл
Регулярный	R₁ > d_max	max(R₁ − d, 0) > 0	Радиально кольцевой объём; внутренняя поверхность не схлопывается в ось
Пороговый	R₁ = d_max	в отдельных точках достигает 0	Касание внутренней границы с осью
Пересекающийся / оседостигающий	R₁ < d_max	на части области равна 0	Объём частично доходит до оси; строгая тороидальность нарушается

Пороговый режим является границей между кольцевым и оседостигающим поведением. В нём внутренняя граница впервые касается оси. Пересекающийся режим не является ошибкой: скрипт строит его корректно, выдавая диагностическое предупреждение. Но физически это уже другая топология: часть объёма становится осевой, а не тороидальной.

Рис. 6.5. Вертикальный тип, 3-й порядок, пороговый режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 10; m = 1; h = 0. Внутренняя граница достигает оси в предельном режиме.

Рис. 6.6. Вертикальный тип, 3-й порядок, оседостигающий режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 7; m = 1; h = 0. Часть внутреннего интервала начинается от нулевого радиуса.

Рис. 6.7. Горизонтальный тип, 3-й порядок, оседостигающий режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 7; m = 1; h = 0. В центральной зоне горизонтального профиля внутренняя граница обрезается до нуля.

6.6. Вертикальный и горизонтальный типы на третьем порядке

Рекурсивная формула третьего порядка одинакова для вертикального и горизонтального типов. Различие возникает не в законе C_R, а в базовой функции d(ξ) и в осевой области, на которой эта функция определена.

Для вертикального типа базовый профиль существует на двух диапазонах s ∈ [−L, −a] и s ∈ [a, L]. Поэтому третий порядок наследует этот открытый характер: если m = 1, центральный промежуток между −a и a не должен искусственно закрываться. В регулярном режиме вращение даёт две осевые группы поверхностей, соответствующие двум половинам открытого профиля.

Для горизонтального типа осевая координата u пробегает непрерывный диапазон [−R, R]. Поэтому третий порядок в горизонтальной реализации имеет непрерывную осевую основу. При этом горизонтальный тип не является “скруглённой” версией вертикального. Он задаётся собственной формулой xₕ(u) и строится как исправленная 90-градусная реализация открытого контура.

6.7. Рядность третьего порядка

Параметры m и h не повышают порядок. Они не превращают третий порядок в четвёртый и не добавляют нового рекурсивного параметра. Они только размещают несколько одинаковых экземпляров третьего порядка вдоль общей оси.

Ω₃,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} ( Ω₃ + Δⱼ e_ξ ),    Δⱼ = −j(2H + h).

Если h > 0, ряды разделены зазором. Если h = 0, они касаются. Если h < 0, они перекрываются. В перекрывающемся режиме скрипт не дорисовывает соединения между рядами, а объединяет только реально совпадающие или пересекающиеся интервалы. Это принципиально: рядность является внешней компоновкой уже построенного третьего порядка, а не самостоятельной рекурсией.

Рис. 6.8. Вертикальная рядная система 3-го порядка. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 3; h = −2. Общий объём строится объединением реальных рядов без искусственных перемычек.

Рис. 6.9. Горизонтальная рядная система 3-го порядка. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; m = 3; h = −2. Ряды перекрываются по оси, но геометрия не дорисовывается вручную.

6.8. Значение третьего порядка для геометрической волновой инженерии

Третий порядок является первым уровнем, на котором псевдогиперболоидная геометрия получает внутреннюю радиальную полость. В регулярном режиме между осью и рабочей областью возникает пустой канал, а сама область становится кольцевой. В пороговом и пересекающемся режимах эта полость частично или полностью схлопывается. Следовательно, уже один параметр R₁ управляет переходом между разными типами внутренней доступности пространства.

Для геометрической волновой инженерии это принципиально. Если в будущем рассматривать лучи, акустические волны, электромагнитные поля или другие волновые процессы, то изменение R₁ будет менять не только форму внешней границы, но и саму топологию области распространения. Это открывает возможность исследовать, как переход от кольцевого режима к оседостигающему влияет на удержание, перераспределение и направленный выход энергии.

6.9. Выводы главы

1. Третий порядок является первым собственно рекурсивным расширением базового внутреннего объёма.

2. Ветвевое описание B₃ = {R₁ + d, R₁ − d} задаёт границы, но не исчерпывает физический объект.

3. Исправленная объёмная формула третьего порядка имеет вид I₃(ξ) = {[max(R₁ − d(ξ), 0), R₁ + d(ξ)]}.

4. Регулярность третьего порядка определяется условием R₁ > d_max, а не универсальным сравнением только с R.

5. При R₁ ≤ d_max внутренняя граница достигает оси, и компонент перестаёт быть строго тороидальным.

6. Вертикальный третий порядок сохраняет открытый разрыв базового вертикального профиля; горизонтальный третий порядок строится на непрерывной осевой области.

7. Рядность m и h не изменяет порядок, а только размещает одинаковые экземпляры Ω₃ вдоль общей оси.

8. Третий порядок является первой геометрией, где параметр R₁ начинает управлять внутренней радиальной доступностью пространства, что делает его ключевым для будущей волновой программы.