Четвёртый порядок является первым уровнем, на котором рекурсивная геометрия перестаёт быть просто расширенным кольцом и начинает проявлять полноценную многозонную внутреннюю структуру. В третьем порядке две формальные ветви после интервального прочтения обычно превращались в одну радиальную зону между внутренней и внешней границей. В четвёртом порядке второй рекурсивный параметр R₂ действует уже на весь результат третьего порядка и способен породить две разнесённые радиальные зоны, оседостигающий режим или переходную область, где число физических компонент меняется вдоль оси.

Именно поэтому четвёртый порядок является первой настоящей «лабораторией» геометрической волновой инженерии. Здесь впервые появляется не одиночная полость, а рекурсивно организованная система внутренних каналов, оболочек, разрывов и зон объединения. Для будущего волнового моделирования это принципиально: волна уже не взаимодействует с одной гладкой стенкой, а попадает в геометрию, где форма области сама задаёт возможные траектории удержания, перераспределения и выхода энергии.

В этой главе четвёртый порядок описывается строго по финальному скрипту: формальные ветви рассматриваются только как скелет границ, а физический объект строится через интервальный оператор C_R и последующий Merge. Никакие искусственные перемычки, служебные линии, округления или вручную дорисованные соединения не являются частью геометрии.

7.1. Статус четвёртого порядка в общей теории

Второй порядок задаёт базовый внутренний объём. Третий порядок впервые вводит рекурсивное смещение R₁ и превращает базовый интервал [0, d(ξ)] в интервал третьего порядка. Четвёртый порядок добавляет не новое независимое смещение к исходной гиперболе, а второй рекурсивный оператор, действующий на уже сформированный третий порядок.

2-й порядок:    I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

3-й порядок:    I₃(ξ) = Merge( C_R₁(I₂(ξ)) ).

4-й порядок:    I₄(ξ) = Merge( C_R₂(I₃(ξ)) ).

Эта последовательность выражает главный закон всей теории: параметры R₁, R₂, … не являются независимыми добавками к базовой образующей. Они образуют строгую цепочку операций. Поэтому R₂ строит четвёртый порядок не из d(ξ), а из результата после R₁.

7.2. Ветвевой скелет четвёртого порядка

На формальном ветвевом уровне четвёртый порядок содержит четыре ветви. Если B₂ = {d}, а B₃ = {R₁ + d, R₁ − d}, то второй рекурсивный шаг даёт:

B₄ = { R₂ + (R₁ + d),  R₂ − (R₁ + d),  R₂ + (R₁ − d),  R₂ − (R₁ − d) }.

Эта запись важна, потому что она показывает удвоение числа формальных ветвей: N₄ = 2² = 4. Но она не должна ошибочно пониматься как список четырёх физических объёмов. Часть формальных ветвей может стать внутренней границей, внешней границей, слиться после Merge, оказаться обрезанной по нулевому радиусу или вообще не давать отдельной физической компоненты.

Таблица 7.1. Различие ветвевого, интервального и объёмного смысла четвёртого порядка.

Уровень	Что содержит	Физический смысл
Ветвевой B₄	4 формальные радиальные функции	Скелет возможных границ
Интервальный I₄(ξ)	1 или 2 и более допустимых радиальных интервалов после Merge	Реальное сечение внутреннего объёма
Объёмный Ω₄	Тело вращения интервалов I₄(ξ)	Расчётная область для лучей и волн

7.3. Интервальная формула четвёртого порядка

Пусть после первого рекурсивного шага в фиксированном сечении ξ получен интервал третьего порядка

I₃(ξ) = { [A(ξ), B(ξ)] },

где

A(ξ) = max(R₁ − d(ξ), 0),        B(ξ) = R₁ + d(ξ).

Тогда четвёртый порядок строится применением скриптового оператора C_R ко всему интервалу третьего порядка:

I₄(ξ) = Merge( C_R₂([A(ξ), B(ξ)]) ).

В развёрнутом виде это даёт две предварительные интервальные зоны:

I₄ preliminary(ξ) = [ max(R₂ − B(ξ), 0),  max(R₂ − A(ξ), 0) ]  ∪  [ R₂ + A(ξ),  R₂ + B(ξ) ].

После этого выполняется Merge. Если интервалы пересекаются или касаются, они объединяются. Если между ними остаётся реальный радиальный зазор, они сохраняются как отдельные внутренние зоны. Именно это делает четвёртый порядок первым уровнем, где многокомпонентность становится физически явной.

Важно: эта формула не равна простому применению |R₂ − r| ко всем точкам интервала в абстрактном виде. Она совпадает с финальным скриптом: разностная ветвь обрезается снизу нулём, суммовая ветвь строится отдельно, а затем интервалы сливаются только тогда, когда это следует из их реального пересечения или касания.

7.4. Морфологические режимы четвёртого порядка

В четвёртом порядке морфология зависит не только от R₂, но и от того, каким стал интервал третьего порядка после действия R₁. Поэтому правильнее классифицировать режимы через функции A(ξ) и B(ξ), а не только через одно число R₂.

Таблица 7.2. Локальные режимы четвёртого порядка в интервальной трактовке.

Условие в данной осевой точке	Интервальная картина	Геометрический смысл
A(ξ) > 0 и R₂ достаточно велик	Две раздельные радиальные зоны	Чистый многозонный оболочечный режим
A(ξ) = 0	Предварительные интервалы касаются в R₂ и после Merge дают одну зону	Режим слияния через центральную третьепорядковую область
max(R₂ − B(ξ), 0) = 0	Нижняя граница достигает оси	Оседостигающий или частично заполненный режим
Условия меняются вдоль ξ	Число зон меняется по оси	Переходная морфология с локальными каналами и разрывами

Регулярный режим особенно важен как чистый демонстрационный случай. Если R₁ больше максимального значения d(ξ), то A(ξ) положительна. Если R₂ также достаточно велик относительно B(ξ), то разностная и суммовая зоны четвёртого порядка оказываются разделены реальным радиальным промежутком. В сечении появляется две внутренние зоны: ближняя к оси и дальняя внешняя.

Рис. 7.1. Вертикальный тип, 4-й порядок, регулярный режим с двумя разнесёнными радиальными зонами. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 45; m = 1; h = 0.

Рис. 7.2. Горизонтальный тип, 4-й порядок, регулярный режим. Те же параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 45; m = 1; h = 0.

Оседостигающий режим возникает тогда, когда на части осевого диапазона нижняя граница разностной зоны становится равной нулю. В такой ситуации четвёртый порядок уже нельзя описывать как систему строгих тороидов: часть внутренней области доходит до оси вращения. Это принципиальный переход от кольцевой к осесодержащей геометрии.

Рис. 7.3. Вертикальный тип, 4-й порядок, оседостигающий режим. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 8; R₂ = 15; m = 1; h = 0. Видно, что интервальная структура достигает осевой области.

Рис. 7.4. Горизонтальный тип, 4-й порядок, оседостигающий режим при тех же параметрах.

7.5. Пространственный смысл: не линии, а границы объёма

В 3D отображении скрипт строит поверхности вращения границ интервального объёма. Это не означает, что физический объект является только поверхностью. Физический объект — весь объём между соответствующими внутренними и внешними радиальными границами. Поверхность нужна для визуализации и для будущих граничных условий, но расчётная область задаётся не поверхностью, а множеством внутренних точек Ω₄.

Ω₄ = { (ξ, ρ, φ) : [α, β] ∈ I₄(ξ),  α ≤ ρ ≤ β,  0 ≤ φ < 2π }.

Именно здесь четвёртый порядок становится качественно новым объектом. Если второй порядок задавал базовую полость, а третий порядок превращал её в один рекурсивно смещённый интервал, то четвёртый порядок впервые формирует несколько оболочечных областей, разделённых радиальными окнами. Для волновой инженерии это означает возможность задавать внутренние пути, промежуточные зоны задержки, области перераспределения и потенциальные каналы вывода энергии.

Рис. 7.5. Вертикальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы регулярного общего объёма. Параметры: a = 0,8; b = 1; R = 10; R₁ = 18; R₂ = 45; m = 1; h = 0.

Рис. 7.6. Горизонтальный тип, 4-й порядок, 3D поверхности границы регулярного общего объёма. Параметры те же, что на рис. 7.5.

7.6. Вертикальный и горизонтальный типы четвёртого порядка

Интервальная рекурсия четвёртого порядка одинакова для вертикального и горизонтального типов. Различается только базовая функция d(ξ) и пространственная интерпретация оси вращения. Для вертикального типа используется dᵥ(s) = ρᵥ(|s|) на двух раздельных осевых участках. Поэтому вертикальный четвёртый порядок наследует исходную открытую двухкомпонентность по оси. Для горизонтального типа используется dₕ(u) = xₕ(u) на непрерывном диапазоне |u| ≤ R; его сечение организовано иначе, хотя рекурсивный оператор остаётся тем же.

В обоих случаях внутренние части не удаляются. Если формальные компоненты вложены или пересекаются, скрипт строит их объединение. Если между компонентами есть реальный пустой зазор, он сохраняется. Никакой прямой отрезок между раздельными частями не проводится. Это важно не только для визуальной честности рисунка, но и для будущей физики: искусственная перемычка создала бы несуществующий волновой канал.

7.7. Рядные системы четвёртого порядка

Рядность не меняет порядок. Сначала строится один экземпляр четвёртого порядка, затем m одинаковых экземпляров размещаются на общей оси. При этом шаг между центрами соседних экземпляров равен

step = 2H + h,

где H = L для вертикального типа и H = R для горизонтального типа. Осевые сдвиги задаются формулой

Δⱼ = −j(2H + h),    j = 0, 1, …, m−1.

Если h > 0, между рядами есть зазор. Если h = 0, соседние экземпляры касаются. Если h < 0, они перекрываются. Но во всех случаях действует один и тот же принцип: итоговая фигура есть объединение объёмов. Общая часть перекрытия не должна дублироваться, но сами псевдогиперболоидные компоненты как порождающие объекты не удаляются.

Рис. 7.7. Вертикальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2. Скрипт объединяет реальные компоненты без искусственных перемычек.

Рис. 7.8. Горизонтальная рядная система 4-го порядка с перекрытием рядов. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2.

Рис. 7.9. Вертикальная рядная система 4-го порядка при положительном зазоре. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = 6. Раздельность рядов не закрывается служебными линиями.

Рис. 7.10. Горизонтальная рядная система 4-го порядка при положительном зазоре. Параметры те же, что на рис. 7.9.

7.8. Пространственная картина рядного четвёртого порядка

В пространственном виде четвёртый порядок показывает то, что невозможно корректно передать только словами: рекурсивные радиальные зоны превращаются в систему вложенных и разнесённых поверхностей вращения. При m > 1 эта система дополнительно получает осевую организацию. В режиме h < 0 отдельные экземпляры входят друг в друга по общей оси, и именно здесь особенно важно правило финального скрипта: удаляется только дублирование общей части объёма, но не исчезают сами порождающие компоненты.

Рис. 7.11. Вертикальная рядная система 4-го порядка, 3D поверхности границы общего объёма. Параметры: a = 0,5; b = 1; R = 15; R₁ = 14; R₂ = 30; m = 3; h = −2.

Рис. 7.12. Горизонтальная рядная система 4-го порядка, 3D поверхности границы общего объёма. Параметры те же, что на рис. 7.11.

7.9. Научный смысл четвёртого порядка для геометрической волновой инженерии

Четвёртый порядок является не просто очередным красивым уровнем рекурсии. Он вводит новый тип физической постановки: волновая область становится многозонной. В такой области можно исследовать не только отражение от внешней стенки, но и перераспределение между внутренними радиальными зонами, переходы через осевые участки, задержку в оболочечных промежутках, выход через открытые концы и возможную концентрацию траекторий в рекурсивно организованных каналах.

При этом важно сохранить научную строгость: сама геометрия ещё не доказывает универсального управления волнами любой природы. Она создаёт проверяемую математическую базу. Дальнейшая физическая революция должна состоять не в декларации, а в том, что на областях Ω₄ и Ωₙ,ₘ можно ставить воспроизводимые вычислительные эксперименты: лучевую трассировку, Монте-Карло статистику удержания, скалярное уравнение Гельмгольца, акустические и электромагнитные задачи.

Именно поэтому четвёртый порядок занимает центральное место в теории. Он показывает, что рекурсия не просто увеличивает число линий на рисунке, а создаёт новый класс внутренних областей, где сама геометрия становится потенциальным инструментом управления движением энергии.

7.10. Выводы главы

1. Четвёртый порядок строится вторым рекурсивным параметром R₂, который действует на результат третьего порядка, а не на исходную функцию d(ξ).

2. Формальные четыре ветви B₄ являются только скелетом границ и не равны четырём физическим объёмам.

3. Правильная интервальная формула имеет вид I₄(ξ) = Merge(C_R₂(I₃(ξ))).

4. Если I₃(ξ) = {[A(ξ), B(ξ)]}, то предварительные интервалы четвёртого порядка равны [max(R₂ − B, 0), max(R₂ − A, 0)] и [R₂ + A, R₂ + B].

5. Четвёртый порядок впервые даёт полноценную многозонную внутреннюю структуру: раздельные радиальные области, зоны слияния, оседостигающие участки и переходные морфологии.

6. Вертикальный и горизонтальный типы имеют один интервальный закон, но разные базовые осевые области и разные пространственные реализации.

7. Рядность m и параметр h создают внешнюю осевую компоновку, не изменяя внутренний порядок.

8. Все рисунки главы являются выводом финального скрипта и должны пониматься как границы реального общего объёма без искусственных соединений.

Таким образом, четвёртый порядок становится первым полноценным многообъёмным уровнем теории. Он завершает переход от базовой гиперболической полости к рекурсивно организованной внутренней архитектуре и подготавливает следующую главу — обобщение на произвольный n-й порядок.