10.1. Назначение ветвевого ядра
Настоящая глава фиксирует порождающий рекурсивный слой теории псевдопараболоидов высших порядков. В предыдущей главе главным физически значимым объектом был объявлен общий внутренний объём Ωₙ,ₘ. Однако этот объём не появляется произвольно: его границы порождаются строгой системой параболических ветвей, радиальных сдвигов и отражений относительно уровней R₁, R₂, … Rn
Ветвевое ядро отвечает на вопрос: какие формальные параболические границы создаёт рекурсия? Интервальный слой отвечает на другой вопрос: какие радиальные интервалы допустимы при фиксированной осевой координате? Объёмный слой затем собирает эти интервалы в пространственную область вращения. Такое разделение устраняет слабое место ранних формулировок: теория не смешивает рисунок границ, вычислительные интервалы и физическую область распространения волн.
| Слой описания | Основной объект | Что фиксирует | Что не следует из него автоматически |
| Ветвевой | Bₙ, rₙ,σ(ξ) | Формальные параболические границы и правило их порождения | Фактическую видимую границу после Merge |
| Интервальный | Iₙ(ξ) | Допустимые радиальные интервалы [lo, hi] | Полную 3D-область без вращения и рядной сборки |
| Объёмный | Ωₙ, Ωₙ,ₘ | Полную внутреннюю область одиночного объекта или рядной системы | Физические моды, поля и добротности без отдельного решателя |
Рис. 10.1. Ветвевое рекурсивное ядро до операции Merge: формальное удвоение порождающих параболических границ при переходе от второго к третьему и четвёртому порядкам.
10.2. Единая базовая функция d(ξ)
Для записи ветвевого ядра удобно использовать единую осевую координату ξ и единую базовую радиальную функцию d(ξ). В вертикальном и горизонтальном типах эта функция имеет разную форму, но дальнейший рекурсивный закон одинаков.
Вертикальный тип: dᵥ(s) = R − 2√(f |s|), |s| ≤ a, a = R²/(4f).
Горизонтальный тип: dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f), |u| ≤ R.
Здесь f — фокусное расстояние параболической образующей, R — расстояние от оси вращения до фокальной линии образующей, а a = R²/(4f) — полудлина вертикального типа и максимальная радиальная величина горизонтального профиля. Эти формулы являются исходным содержанием финального скрипта: вертикальная и горизонтальная геометрии отличаются базовой образующей, но используют одну интервальную рекурсию.
| Обозначение | Вертикальный тип | Горизонтальный тип |
| Осевая координата | s | u |
| Область оси | −a ≤ s ≤ a | −R ≤ u ≤ R |
| Базовая дистанция | R − 2√(f|s|) | (R − |u|)²/(4f) |
| Параметр a | R²/(4f) | максимальное значение dₕ(0) = R²/(4f) |
| Рекурсивный закон | общий для обоих типов | общий для обоих типов |
10.3. Второй порядок как исходная ветвь
Ветвевое ядро начинается со второго порядка. На этом уровне ещё нет рекурсивных смещений R₁, R₂, … . Формально существует одна базовая параболическая ветвь d(ξ).
B₂ = { d }.
Но уже здесь важно не смешивать ветвь и объём. Ветвь d(ξ) задаёт только верхнюю радиальную границу. Вычислительная область второго порядка задаётся интервалом [0, d(ξ)]. Именно этот интервал, а не одна линия, является входом в рекурсивный оператор следующего порядка.
I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.
Иными словами, второй порядок является не декоративной базовой поверхностью, а нулевым рекурсивным состоянием будущей внутренней области.
10.4. Первый рекурсивный шаг: третий порядок
Первое повышение порядка задаётся параметром R₁. На ветвевом уровне из одной базовой ветви возникают две формальные параболические границы: суммовая и разностная.
B₃ = { R₁ + d, R₁ − d }.
Эта формула показывает происхождение границ, но не является окончательным описанием внутреннего объёма. Скрипт применяет рекурсивное преобразование к интервалу [0, d], поэтому до Merge возникают два интервала:
[max(R₁ − d, 0), R₁] и [R₁, R₁ + d].
Так как эти интервалы касаются на уровне R₁, после Merge для обычного случая получается единый объединённый радиальный интервал. Если R₁ меньше максимального значения d, нижняя разностная граница частично обрезается нулём, что соответствует режиму внутреннего пересечения или вложения. Это не ошибка построения, а допустимый режим, который требует обязательного Merge общего объёма.
10.5. Второй рекурсивный шаг: четвёртый порядок
Второй рекурсивный шаг задаётся параметром R₂. Он действует не на исходную функцию d заново, а на результат третьего порядка. Поэтому четвёртый порядок имеет вложенную структуру.
B₄ = { R₂ + (R₁ + d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ − d) }.
Это место принципиально важно для всей теории псевдопараболоидов высших порядков. Параметры R₁ и R₂ не являются независимыми добавками к исходной образующей. Они образуют цепочку операторов: R₁ строит третий порядок из второго, R₂ строит четвёртый из третьего, R₃ строит пятый из четвёртого и так далее.
Если каждый параметр применялся бы заново только к d(ξ), рекурсивной теории высших порядков не возникло бы. Поэтому корректная запись четвёртого порядка — это именно вложенная форма R₂ ± (R₁ ± d), даже если после раскрытия скобок она выглядит как линейная комбинация констант и d.
Рис. 10.2. Вертикальный тип: рост порядка от 2 до 4 при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14, m = 1, h = 0. Видимые границы показаны после Merge общего объёма.
Рис. 10.3. Горизонтальный тип: та же рекурсивная логика для другой базовой параболической образующей. Рекурсия одинакова, но топология сечения и осевая интерпретация различны.
10.6. Общая рекурсия n-го порядка
Общая рекурсивная запись строится через номер текущего порядка k. Пусть B₂ = {d}. Тогда переход от порядка k к порядку k+1 задаётся параметром Rₖ₋₁:
Bₖ₊₁ = { Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ }, k ≥ 2.
Каждая формальная ветвь предыдущего уровня порождает две формальные ветви следующего уровня. Поэтому число формальных параболических ветвей без учёта Merge равно:
Nₙ = 2ⁿ⁻².
Однако Nₙ не равно числу видимых компонент и не равно числу физических полостей после Merge. Это только инвариант порождающего ветвевого слоя. В реальном объединённом объёме ветви могут сливаться, касаться, частично перекрываться, становиться внутренними или исчезать как отдельные видимые границы.
| Порядок n | Использованные смещения | Формальные ветви Nₙ | Корректная вложенная запись | Комментарий |
| 2 | нет | 1 | d | Базовая параболическая ветвь |
| 3 | R₁ | 2 | R₁ ± d | Первое раздвоение |
| 4 | R₁, R₂ | 4 | R₂ ± (R₁ ± d) | Второе раздвоение всех ветвей |
| 5 | R₁, R₂, R₃ | 8 | R₃ ± [R₂ ± (R₁ ± d)] | Первый уровень с восемью формальными ветвями |
| n | R₁,…,Rₙ₋₂ | 2ⁿ⁻² | Fₙ₋₂ ∘ … ∘ F₁(d) | Общая рекурсивная форма |
10.7. Ветви, интервалы и Merge: почему это разные уровни
Ветвевое дерево не должно подменять интервальную геометрию. Скрипт строит не просто список функций r(ξ), а систему радиальных интервалов. Для каждого интервала [lo, hi] следующий шаг создаёт разностный и суммовой интервалы:
[max(Rₖ − hi, 0), max(Rₖ − lo, 0)] и [Rₖ + lo, Rₖ + hi].
После этого выполняется Merge. Этот оператор не является художественным сглаживанием и не является удалением “неудобных” внутренних частей. Он устраняет только дублирование одной и той же области при пересечении, касании или вложении интервалов. Если между компонентами есть пустой зазор, скрипт ничего не дорисовывает.
Рис. 10.4. Ветвевое ядро задаёт происхождение формальных границ, интервальный оператор задаёт расчётные радиальные области, а Merge формирует фактическую границу общего объёма.
| Ситуация | Ветвевой уровень | Интервальный уровень | Видимая граница после Merge |
| Касание | две формальные ветви различимы | интервалы имеют общую точку | граница может стать одной непрерывной линией |
| Перекрытие | формальные ветви сохраняют происхождение | интервалы пересекаются | дублирующаяся общая часть удаляется |
| Вложение | внутренние ветви существуют как порождающие | один интервал лежит внутри другого | видима только граница объединения |
| Пустой зазор | ветви принадлежат разным компонентам | между интервалами нет общих точек | скрипт не дорисовывает соединение |
10.8. Видимые фокусы и запрет ложной геометрии
Для псевдопараболоидной теории фокусы имеют особое значение, потому что базовая образующая параболическая. Но из этого не следует, что можно произвольно переносить или дорисовывать фокусы после Merge. Финальный скрипт использует более строгий подход: фокусы вычисляются по фактически построенным 2D-параболическим участкам видимой границы.
Это устраняет важное слабое место: Merge может скрывать часть формальных порождающих ветвей. Поэтому фокус должен относиться не к невидимой или полностью перекрытой формальной ветви, а к тому параболическому участку, который реально присутствует на итоговом 2D-сечении. В научном тексте это правило нужно сохранить как обязательное.
Рис. 10.5. Фокусы фактически построенных 2D-парабол на примере вертикального типа 3-го порядка. Фокусные точки не являются самостоятельной рекурсией; они вычисляются из реально видимых параболических участков.
10.9. Вертикальный и горизонтальный типы в ветвевом языке
Вертикальный и горизонтальный типы различаются базовой функцией d(ξ), осью вращения и пространственной ориентацией. Но ветвевое ядро после выбора d(ξ) одно и то же. Это позволяет рассматривать их как два типа одной псевдопараболоидной теории, а не как две несвязанные конструкции.
В вертикальном типе формальная ветвь dᵥ(s) порождена двумя зеркальными параболическими сегментами вдоль общей оси s. В горизонтальном типе функция dₕ(u) представляет повернутую параболическую реализацию. Одинаковость рекурсивного закона не означает одинаковость топологии сечений: видимые компоненты после Merge могут отличаться, поскольку различаются осевой диапазон и форма базовой функции.
10.10. Порядок n, рядность m и параметр h
Порядок n, рядность m и параметр h относятся к разным уровням организации. Порядок n задаёт внутреннюю рекурсивную глубину одного псевдопараболоидного экземпляра. Рядность m задаёт количество одинаковых экземпляров на общей оси. Параметр h задаёт осевой зазор, касание или перекрытие между соседними экземплярами.
step = 2L + h, Δⱼ = −j(2L + h), j = 0,1,…,m−1.
Здесь L — половина осевой длины одного экземпляра: для вертикального типа L = a = R²/(4f), для горизонтального типа L = R. Рядность не меняет формулу Nₙ = 2ⁿ⁻² и не создаёт новых ветвей внутри одного экземпляра. Она только собирает уже построенные объёмы в рядную систему Ωₙ,ₘ.
| Параметр | Уровень действия | Что изменяет | Чего не изменяет |
| n | внутренняя рекурсия | число формальных ветвей и структура одного экземпляра | число рядов |
| R₁, R₂, … | рекурсивные смещения | радиальные положения формальных ветвей и интервалов | базовую форму d(ξ) |
| m | рядная компоновка | число осевых экземпляров | ветвевое число Nₙ одного экземпляра |
| h | осевое взаимодействие рядов | зазор, касание или перекрытие | рекурсивную формулу Bₖ₊₁ |
10.11. Научный статус ветвевого ядра
Ветвевое рекурсивное ядро является строго установленной геометрической частью теории. Оно задаёт формальное происхождение параболических границ, правило удвоения ветвей, вложенную структуру операторов и связь с интервальным построением. Эти утверждения проверяются непосредственно по формулам и по финальному вычислительному скрипту.
Но из одного ветвевого ядра ещё не следует доказанная универсальная локализация волн, высокая добротность, BIC-подобное состояние или направленный вывод энергии. Эти эффекты могут быть сформулированы только как проверяемые гипотезы следующего уровня. Для их подтверждения потребуются лучевые расчёты, волновые краевые задачи, собственные моды, спектры пропускания, Q-факторы и сравнение с контрольными геометриями.
| Утверждение | Статус в Томe 1 | Пояснение |
| Формула Bₖ₊₁ = {Rₖ₋₁ ± r} | геометрически установлено | следует из рекурсивного определения |
| Nₙ = 2ⁿ⁻² | геометрически установлено | относится к формальным ветвям до Merge |
| Merge общего объёма | вычислительно установлено | реализован как объединение радиальных интервалов |
| Видимые фокусы по реальным 2D-параболам | вычислительно установлено | исключает ложные фокусы скрытых ветвей |
| Удержание или усиление волн | гипотеза для проверки | требует отдельного физического моделирования |
10.12. Выводы главы
• Ветвевое ядро является порождающим слоем теории, но не заменяет интервальную и объёмную постановку.
• Второй порядок задаётся одной базовой ветвью B₂ = {d} и одним исходным интервалом I₂(ξ) = {[0,d(ξ)]}.
• Первый рекурсивный шаг строит формальные ветви R₁ + d и R₁ − d; второй шаг строит R₂ ± (R₁ ± d).
• Общая рекурсия записывается как Bₖ₊₁ = {Rₖ₋₁ + r, Rₖ₋₁ − r : r ∈ Bₖ}, k ≥ 2.
• Число формальных ветвей равно Nₙ = 2ⁿ⁻², но это не число видимых компонент после Merge.
• Вертикальный и горизонтальный типы различаются базовой функцией d(ξ), но имеют одинаковое рекурсивное ядро.
• Рядность m и параметр h относятся к внешней осевой сборке и не входят в формулу ветвевого числа одного экземпляра.
• Физические волновые эффекты должны формулироваться как проверяемые гипотезы, а не как следствие одного рисунка или одной рекурсивной формулы.
Источник вычислительных рисунков и формул главы: финальный Python-скрипт построения рядных псевдопараболоидов n-го порядка, загруженный автором как вычислительное приложение к теории.