Настоящая глава вводит морфологическую классификацию псевдопараболоидных внутренних объёмов. После того как в предыдущих главах были определены базовая параболическая образующая, интервальная рекурсия, рядность, вычислительный аппарат и геометрическая верификация, необходимо дать язык для описания режимов, которые возникают при изменении параметров f, R, offsets, m и h.
Морфологическая классификация в этой главе является строго геометрической. Она описывает связность, раздельность, касание, вложение, перекрытие, число видимых Merge-компонент и тип рядной компоновки. Она не объявляет заранее доказанными волновые эффекты. Её задача — подготовить воспроизводимую карту геометрий, на которых затем можно ставить лучевые, акустические, электромагнитные и спектральные задачи.
Рис. 12.1. Общая схема морфологической классификации псевдопараболоидов. Классификация строится от базовой области второго порядка через offsets-режимы и рядность к морфологическому паспорту общей области Ωₙ,ₘ.
12.1. Назначение морфологической классификации
При построении псевдопараболоидов высших порядков одного только номера порядка n недостаточно. Два объекта одного и того же порядка могут иметь различную видимую структуру после Merge, если их offsets находятся в разных режимах относительно текущего максимального радиального масштаба. Точно так же одинаковый одиночный объект может образовывать разные рядные системы при h > 0, h = 0 и h < 0.
Поэтому для научного описания необходимо различать формальный уровень рекурсии и фактическую морфологию объединённого объёма. Формально число ветвей растёт как 2ⁿ⁻², но геометрическая область после Merge может содержать меньше видимых компонент, потому что интервалы сливаются, касаются или вкладываются друг в друга.
Таблица 12.1. Почему порядок n не исчерпывает морфологию
| Признак | Что показывает | Почему недостаточен без классификации |
| Порядок n | Глубину рекурсивного построения. | Не показывает, произошло ли слияние интервалов после Merge. |
| Число формальных ветвей | Размер бинарного дерева до Merge. | Не равно числу физических радиальных зон общего объёма. |
| Параметры offsets | Радиальные смещения рекурсивных шагов. | Их смысл зависит от текущего максимального масштаба предыдущего уровня. |
| Параметр h | Осевое расстояние между рядами. | Один и тот же h даёт разные эффекты при разных L и типах геометрии. |
| 2D-рисунок | Видимые границы в меридиональном сечении. | Без паспорта режима трудно понять, откуда возникла структура. |
12.2. Базовая морфология второго порядка
Второй порядок является исходной морфологической ячейкой. Он не содержит offsets и не имеет внутреннего рекурсивного раздвоения. Его морфология задаётся только типом построения и базовыми параметрами f и R. Для вертикального типа область задаётся функцией dᵥ(s), для горизонтального — функцией dₕ(u).
dᵥ(s) = R − 2√(f |s|), |s| ≤ a, a = R²/(4f)
dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f), |u| ≤ R
I₂(ξ) = { [0,d(ξ)] }
Морфологически второй порядок относится к оседостижимому типу: нижняя граница интервала равна нулю. Следовательно, базовый объём доходит до оси вращения и не является кольцевой оболочкой. Кольцевые или тороидальные режимы появляются только в последующих порядках, когда после рекурсивного смещения нижняя граница lo может стать положительной.
Таблица 12.2. Базовая морфология второго порядка
| Тип | Осевая область | Радиальная функция | Морфологический признак |
| Вертикальный | s ∈ [−a,a] | dᵥ(s)=R−2√(f|s|) | Две зеркальные параболические ветви относительно центральной оси. |
| Горизонтальный | u ∈ [−R,R] | dₕ(u)=(R−|u|)²/(4f) | Повернутая параболическая реализация с иной осевой интерпретацией. |
| Оба типа | I₂={[0,d]} | нижняя граница lo=0 | Область достигает оси; кольцевой зазор отсутствует. |
12.3. Offset-режимы: разнесение, касание, вложение
Главный морфологический переключатель рекурсивной части — отношение очередного offset Rₖ к текущему максимальному радиальному масштабу Mₖ предыдущего уровня. Если Rₖ больше Mₖ, компоненты до Merge находятся в разнесённом режиме. Если Rₖ равен Mₖ, возникает предельное касание. Если Rₖ меньше Mₖ, появляются пересечения или вложения, и Merge становится обязательным для получения корректного общего объёма.
M₂ = max d(ξ)
Mₖ = max{ β(ξ) : [α(ξ),β(ξ)] ∈ Iₖ(ξ) }
qₖ = Rₖ / Mₖ
Три режима можно записать через qₖ. При qₖ < 1 возникает режим пересечения или вложения; при qₖ = 1 — касание; при qₖ > 1 — разнесённый или кольцевой режим до возможного последующего Merge. В финальном скрипте эти режимы не блокируют построение: предупреждения являются диагностическими сообщениями, а не запретом.
Рис. 12.2. Морфологическая карта offset-режимов через отношение qₖ = Rₖ/Mₖ. Эта карта объясняет диагностические сообщения скрипта и показывает, когда Merge становится принципиально необходимым.
Таблица 12.3. Классификация offset-режимов
| Условие | Название режима | Геометрический смысл | Роль Merge |
| Rₖ < Mₖ | пересечение / вложение | Новые интервалы частично перекрываются или входят друг в друга. | Обязателен для корректного общего объёма. |
| Rₖ = Mₖ | предельное касание | Компоненты касаются на границе. | Сливает касающиеся интервалы в единую область. |
| Rₖ > Mₖ | разнесённый режим | Между частями могут возникать радиальные зазоры. | Сохраняет разделённость, если пересечения нет. |
12.4. Третий порядок как первая морфологическая развилка
Третий порядок является первым уровнем, где возникает настоящая морфологическая развилка. Из базового интервала [0,d] строятся два интервала: разностный и суммовый. Их взаимное расположение определяется величиной R₁ относительно max d. Именно здесь впервые появляются кольцевые, касательные и вложенные режимы.
I₃(ξ) = Merge( [max(R₁−d(ξ),0), R₁] ∪ [R₁, R₁+d(ξ)] )
Для f = 2 и R = 8 базовый максимум d равен 8. Поэтому три показательных режима задаются значениями R₁ = 5, R₁ = 8 и R₁ = 12. Эти три случая имеют одинаковый порядок n = 3, но различную морфологию до и после Merge.
Рис. 12.3. Вертикальный псевдопараболоид третьего порядка: три режима первого offset R₁. Один и тот же порядок n=3 даёт разные морфологические состояния в зависимости от R₁/max d.
Рис. 12.4. Горизонтальный псевдопараболоид третьего порядка: те же offset-режимы реализуются на другой базовой функции dₕ(u), поэтому видимая морфология отличается от вертикального типа.
12.5. Четвёртый порядок и накопление морфологических состояний
Четвёртый порядок добавляет второй рекурсивный offset R₂. Теперь морфология зависит уже не только от R₁, но и от того, в каком состоянии оказался третий порядок. Если первый шаг создал вложение, то второй шаг действует на уже объединённую систему интервалов. Поэтому комбинации offsets формируют не просто разные размеры, а разные морфологические классы.
B₄ = { R₂ ± (R₁ ± d) } — формальное ветвевое ядро
I₄(ξ) = Merge( ⋃ C_{R₂}([α,β]) ), [α,β] ∈ I₃(ξ)
Формальная запись R₂ ± (R₁ ± d) показывает происхождение ветвей, но реальная расчётная область определяется не этой записью отдельно, а интервальным объединением. Поэтому морфология четвёртого порядка должна описываться не только числом формальных ветвей, но и состоянием Merge-компонент.
Рис. 12.5. Четвёртый порядок: сравнение пересекающегося и разнесённого offset-режимов для вертикального и горизонтального типов. Формальный порядок один и тот же, но итоговая морфология после Merge различается.
Таблица 12.4. Морфологическое накопление при переходе к 4-му порядку
| Состояние 3-го порядка | Действие R₂ | Возможный итог 4-го порядка |
| Разнесённый режим | R₂ > M₃ | Многослойная разнесённая структура с положительными радиальными зазорами. |
| Разнесённый режим | R₂ < M₃ | Частичное пересечение слоёв и укрупнение Merge-компонент. |
| Касательный режим | R₂ = M₃ | Предельные контакты могут переходить в единую зону. |
| Вложенный режим | любой R₂ | Морфология зависит от уже объединённой области I₃, а не только от формальных ветвей. |
12.6. Рядная морфология и параметр h
Отдельный уровень классификации связан с рядностью. Рядная морфология не изменяет внутренний порядок одного экземпляра, но меняет осевую связность системы. Центры экземпляров сдвигаются на шаг step = 2L + h. Поэтому знак и величина h задают три базовых режима: зазор, касание и перекрытие.
step = 2L + h
h > 0 — осевой зазор
h = 0 — предельное касание
h < 0 — осевое перекрытие и Merge рядов
Важно не смешивать рядный Merge с рекурсивным Merge. Рекурсивный Merge объединяет радиальные интервалы, возникшие в одном порядке. Рядный Merge объединяет одинаковые экземпляры, сдвинутые вдоль общей оси. В итоговом объекте оба механизма действуют совместно, но имеют разное происхождение.
Рис. 12.6. Рядная морфология вертикального типа: h > 0, h = 0 и h < 0. При положительном h пустые промежутки остаются пустыми и не соединяются искусственными линиями.
Рис. 12.7. Рядная морфология горизонтального типа на примере третьего порядка. Параметр h управляет осевой связностью рядов, но не меняет внутреннюю рекурсию одного экземпляра.
Таблица 12.5. Рядные режимы
| Условие | Название | Что происходит с рядами | Что запрещено делать в визуализации |
| h > 0 | раздельные ряды | Между экземплярами есть осевой промежуток. | Дорисовывать прямые перемычки между рядами. |
| h = 0 | касание | Экземпляры касаются по предельным осевым точкам. | Интерпретировать касание как доказанный физический канал. |
| h < 0 | перекрытие | Общие части входят в объединённый объём Ωₙ,ₘ. | Удалять сами порождающие компоненты вместо удаления дублирования. |
12.7. Формальное ветвление и фактические Merge-компоненты
Ветвевое ядро даёт экспоненциальный рост формальных радиальных уровней: Nₙ = 2ⁿ⁻². Но морфология общего объёма определяется не этим числом напрямую, а тем, сколько непересекающихся интервалов остаётся после Merge на каждом осевом сечении. Поэтому для морфологического анализа полезно фиксировать максимальное число Merge-компонент в сечении.
Рис. 12.8. Максимальное число Merge-компонент в сечении для разных режимов offsets. График показывает, что формальный рост ветвей не совпадает автоматически с числом видимых физических зон после Merge.
Этот график имеет диагностический, а не универсальный характер: он построен для конкретных параметров f = 2, R = 8 и выбранных наборов offsets. Однако он демонстрирует принципиальное свойство теории: морфология общего объёма может расти существенно иначе, чем формальное бинарное дерево ветвей.
Таблица 12.6. Формальные и фактические показатели сложности
| Показатель | Как вычисляется | Что означает | Ограничение |
| Nₙ = 2ⁿ⁻² | По числу рекурсивных шагов. | Формальное число ветвей до Merge. | Не равно числу физических зон. |
| Число Merge-компонент | По объединённым интервалам в сечении. | Фактическая радиальная многозонность. | Зависит от ξ и параметров. |
| Прокси-площадь 2D-сечения | Интеграл толщины интервалов. | Грубая мера размера меридиональной области. | Не заменяет точный 3D-объём. |
| Связность рядов | По h и пересечениям осевых покрытий. | Состояние рядной системы. | Не является физической связностью поля без расчёта волн. |
12.8. Морфологический паспорт геометрии
Чтобы сравнивать разные построения, каждой геометрии целесообразно назначать морфологический паспорт. Такой паспорт должен фиксировать не только входные параметры, но и режимы, в которые они попадают. Это особенно важно для будущих физических расчётов: сравнивать время удержания или спектр мод имеет смысл только между геометриями, морфологический статус которых явно указан.
Рис. 12.9. Структура морфологического паспорта псевдопараболоидной геометрии. Паспорт связывает параметры скрипта, режимы Merge и статус будущей физической проверки.
Таблица 12.7. Минимальный морфологический паспорт
| Поле паспорта | Что записывать | Пример |
| Тип | vertical или horizontal | vertical |
| Базовые параметры | f, R, a = R²/(4f) | f=2, R=8, a=8 |
| Порядок | n = len(offsets)+2 | n=4 |
| offsets | R₁, R₂, … | (7,14) |
| offset-режимы | Для каждого шага: <, = или > текущего Mₖ | R₁<M₂, R₂<M₃ |
| Рядность | m, h, step | m=3, h=−2 |
| Merge-состояние | раздельность, касание, вложение, перекрытие | вложение + рядное перекрытие |
| Визуальный контроль | 2D и 3D проверены без искусственных линий | section + surface |
12.9. Выводы главы
Морфологическая классификация описывает геометрические режимы общего внутреннего объёма Ωₙ,ₘ, а не доказанные волновые эффекты.
Порядок n задаёт глубину рекурсии, но не определяет однозначно видимую структуру после Merge.
Главный offset-параметрический режим задаётся отношением Rₖ к текущему максимальному радиальному масштабу Mₖ.
Третий порядок является первой морфологической развилкой: при R₁ < M₂, R₁ = M₂ и R₁ > M₂ возникают разные режимы.
Четвёртый и более высокие порядки накапливают морфологические состояния предыдущих шагов.
Параметр h классифицирует рядную систему на раздельную, касательную и перекрытую.
Формальное число ветвей Nₙ = 2ⁿ⁻² не равно автоматически числу физических Merge-компонент.
Для будущих физических расчётов каждая геометрия должна сопровождаться морфологическим паспортом.
Таким образом, глава 14 завершает переход от чистой конструктивной геометрии к систематике геометрических режимов. Далее на этой основе можно формулировать геометрические эффекты, ограничения текущей теории и программу физической проверки псевдопараболоидов высших порядков.