Настоящая глава завершает геометрическую часть тома и задаёт корректный мост к будущей физической проверке псевдопараболоидов высших порядков. В предыдущих главах были построены базовые параболические образующие, второй, третий, четвёртый и общий n-й порядок, рядная компоновка, операция Merge и вычислительный аппарат финального скрипта. Теперь необходимо зафиксировать, как эта геометрия должна превращаться в корректную постановку волновой задачи.
Принципиально важно сохранить научную дисциплину: текущий том доказывает не универсальное удержание волн, а существование воспроизводимого класса внутренних расчётных областей Ωₙ,ₘ. Волновая эффективность таких областей должна проверяться отдельно — через лучевые расчёты, Монте-Карло статистику траекторий, собственные моды, акустические и электромагнитные краевые задачи, спектры пропускания и интегральные энергетические критерии.
13.1. Назначение главы
Назначение главы состоит в том, чтобы исключить главный методологический риск: смешение построенной геометрической области с ещё не рассчитанным волновым эффектом. Если этот риск не устранить, теория может быть ошибочно воспринята как декларация заранее доказанного универсального резонатора. Правильная постановка иная: псевдопараболоиды высших порядков задают новую геометрию внутреннего пространства, а физические эффекты являются предметом следующего уровня проверки.
Поэтому в главе вводится строгий раздел между тремя слоями: геометрическим, вычислительным и физическим. Геометрический слой задаёт формулы dᵥ(s), dₕ(u), интервалы Iₙ(ξ), рядность и общий объём. Вычислительный слой строит 2D и 3D границы области без искусственных соединений. Физический слой должен добавить материал, граничные условия, источник, частоту, потери, порты, сетку и измеряемый критерий.
Таблица 13.1. Три уровня готовности теории
| Уровень | Что уже задано | Что ещё не следует считать доказанным |
| Геометрический | Формулы базовых образующих, интервальная рекурсия, Merge, Ωₙ,ₘ | Наличие локализации, фокусировки или высокого Q-фактора |
| Вычислительный | 2D-сечения и 3D-поверхности границ, контроль масштаба, защита от искусственных линий | Распределение поля внутри объёма |
| Физический | Будущая постановка через лучи, Helmholtz, акустику, Maxwell, FDTD/FEM | Должен быть рассчитан и сравнен с контрольной геометрией |
13.2. Что является геометрически установленным
В рамках тома геометрически установленным является то, что для заданных параметров f, R, offsets, n, m и h можно воспроизводимо построить внутреннюю область. Для второго порядка задаётся базовый интервал [0,d]. Для каждого следующего порядка каждый интервал [lo,hi] порождает разностную и суммовую компоненты: [max(Rₖ−hi,0), max(Rₖ−lo,0)] и [Rₖ+lo, Rₖ+hi]. После этого интервалы объединяются оператором Merge.
Именно эта область, а не отдельная линия рисунка, должна передаваться в будущие физические расчёты. Скрипт показывает границы общего объёма и яркое меридиональное сечение на 3D-поверхности, но не вычисляет поле, спектр, добротность, диаграмму направленности или время удержания.
Таблица 13.2. Геометрически установленное и физически проверяемое
| Положение | Статус в томе | Как проверять дальше |
| Ωₙ,ₘ строится алгоритмически | Установлено конструкцией и скриптом | Сравнить с аналитическими интервалами и 2D/3D выводом |
| Merge удаляет только дублирование общей части объёма | Установлено алгоритмом объединения интервалов | Проверить срезы до и после Merge |
| Вертикальный и горизонтальный типы различны | Установлено формулами dᵥ и dₕ | Сравнить поля при одинаковых f, R, offsets, m, h |
| Повышенное удержание волн возможно | Гипотеза | Рассчитать τ, Q, моды, спектр, потоки |
| Направленный вывод возможен | Гипотеза | Задать порт/окно и измерить поток через него |
13.3. Расчётная область Ωₙ,ₘ как вход для моделирования
Для физической постановки основной объект удобно записывать как область вращения, полученную из объединённых радиальных интервалов. При фиксированной осевой координате ξ итоговый список Merge-интервалов имеет вид Iₙ,ₘ(ξ) = { [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] }. Тогда расчётная область задаётся множеством точек, для которых αⱼ(ξ) ≤ ρ ≤ βⱼ(ξ), 0 ≤ φ < 2π. В этом виде она пригодна для построения сетки или для лучевой трассировки.
Рядная система входит в эту область через осевые сдвиги Δⱼ = −j(2L+h). Если h < 0, соседние экземпляры перекрываются, но это не означает удаления самих порождающих компонентов. Итоговая физическая область является объединением всех вкладов. Именно поэтому расчётная сетка должна строиться по общему объёму после Merge, а не по отдельным рисункам рядов.
13.4. Допустимые классы волновых задач
Геометрическая Волновая Инженерия не должна ограничиваться одной физической природой волны, но каждая физическая область требует своего уравнения, материала и граничных условий. Одна и та же геометрия Ωₙ,ₘ может использоваться как акустический резонатор, электромагнитная полость, оптический микрорезонатор, упругая полость или абстрактная область для скалярного уравнения Гельмгольца. Однако перенос результата между областями допустим только после безразмерного согласования масштаба с длиной волны.
Таблица 13.3. Классы будущих задач на области Ωₙ,ₘ
| Класс задачи | Минимальная постановка | Что можно измерять |
| Лучевая трассировка | Закон отражения, источник лучей, граница ∂Ω | время удержания, число отражений, плотность траекторий |
| Монте-Карло лучей | Случайные начальные условия, статистика выходов | распределение τ, вероятность выхода через окно |
| Скалярное уравнение Гельмгольца | ∇²ψ + k²ψ = 0 с граничными условиями | собственные частоты, локализация мод |
| Акустика | давление, скорость, импеданс стенок, потери | Q-фактор, резонансные пики, распределение давления |
| Электромагнетизм | Maxwell / FDTD / FEM, ε, μ, проводимость | моды, поля E/H, S-поток, диаграмма излучения |
| Упругие волны | тензор упругости, закрепления, контактные условия | формы колебаний, концентрация деформаций |
13.5. Граничные условия и источники возбуждения
Нельзя утверждать волновой эффект без явного задания границы. Одна и та же область Ωₙ,ₘ может дать разные результаты при жёсткой отражающей стенке, мягкой стенке, импедансной поверхности, частично открытом порте или поглощающем слое. Поэтому каждая заявка на удержание, вывод или локализацию должна сопровождаться указанием граничных условий.
Таблица 13.4. Типовые граничные условия
| Тип условия | Смысл | Когда применять |
| Дирихле | фиксированное значение поля на границе | модель идеального закрепления или нулевого давления в упрощённой задаче |
| Неймана | нулевая нормальная производная | жёсткая акустическая стенка или симметрия |
| Робина / импедансное | связь поля и нормальной производной | реалистичные потери и частичное отражение |
| Портовое | заданный вход/выход энергии | измерение пропускания и направленного вывода |
| PML / радиационное | поглощающая внешняя область | открытые задачи и излучение наружу |
13.6. Контрольные геометрии и честное сравнение
Псевдопараболоидная геометрия не должна оцениваться изолированно. Любое утверждение о преимуществе требует контрольной геометрии: цилиндра той же длины и объёма, классического параболоидного резонатора, тороидальной области или простой полости с сопоставимым масштабом. Без такого сравнения нельзя отделить эффект новой рекурсивной геометрии от обычного эффекта большого объёма, высокой отражающей способности или удачного выбора частоты.
Рис. 13.1. Примеры контрольных геометрий. Их задача — отделить собственный вклад рекурсивной псевдопараболоидной области от общих эффектов масштаба и границ.
Таблица 13.5. Правила честного сравнения
| Что должно совпадать | Зачем это нужно |
| Материал и потери | исключить преимущество за счёт другой добротности стенок |
| Характер источника | исключить влияние другой схемы возбуждения |
| Частотный диапазон или kL | сравнивать геометрии при одинаковом безразмерном масштабе |
| Объём или характерный размер | не путать геометрический эффект с эффектом большего объёма |
| Тип граничных условий | не сравнивать закрытую полость с открытой системой |
| Метрика | использовать одинаковые критерии τ, Q, спектр, поток, локализация |
13.7. Измеримые критерии проверки
Проверка должна быть количественной. Слова «удержание», «фокусировка», «локализация» и «направленный вывод» должны переводиться в измеряемые величины. Для лучей это время пребывания и число отражений. Для волновых задач — собственные моды, Q-фактор, спектральная плотность, интеграл энергии в заданной зоне и поток через выбранную апертуру.
Рис. 13.2. Набор измеряемых критериев будущей проверки. Диаграмма не содержит результатов; она задаёт перечень величин, которые должны быть рассчитаны.
Таблица 13.6. Критерии и минимальные формулы
| Критерий | Смысл | Минимальная проверка |
| τ | среднее время пребывания луча или энергии внутри Ωₙ,ₘ | сравнить распределение τ с контрольной геометрией |
| Q | отношение запасённой энергии к потерям за период | вычислить Q для собственных мод или резонансных пиков |
| η_zone | доля энергии в выбранной внутренней зоне | интеграл энергии по зоне / интеграл по Ωₙ,ₘ |
| T(ω) | спектр пропускания между входом и выходом | найти пики, провалы, полосы подавления и пропускания |
| Φ_out | поток через выбранное окно | интеграл нормального потока по выходной поверхности |
| V_mode | эффективный модовый объём | оценить концентрацию поля относительно полного объёма |
13.8. План параметрического эксперимента
Поскольку псевдопараболоид задаётся конечным набором параметров, следующая физическая программа должна быть не одиночным расчётом, а параметрическим исследованием. Минимальный план включает изменение f/R, отношений R₁/M₂, R₂/M₃, порядка n, рядности m и перекрытия h. Особенно важны переходные режимы: Rₖ = Mₖ и h = 0, где меняется касание и связность геометрических зон.
Рис. 13.3. Карта планирования параметрических проверок. Она показывает, где следует искать смену геометрического режима, но не утверждает наличие волнового эффекта.
Таблица 13.7. Минимальная матрица параметрических проверок
| Параметр | Диапазон | Что проверять |
| f/R | несколько значений при фиксированном R | влияние крутизны параболической образующей |
| R₁/M₂ | <1, =1, >1 | пересечение, касание и разнесённый режим третьего порядка |
| R₂/M₃ | <1, =1, >1 | морфология четвёртого порядка и повторный Merge |
| n | 2, 3, 4, … | рост формального дерева и физической сложности после Merge |
| m | 1, 2, 3, … | эффект рядной компоновки |
| h/(2L) | от отрицательных до положительных значений | раздельность, касание и перекрытие рядов |
13.9. Выводы главы
В настоящей главе зафиксирован переход от конструктивной геометрии псевдопараболоидов к будущей физической программе. Главный результат главы состоит в том, что область Ωₙ,ₘ рассматривается как вход для решателей, а не как уже доказанный волновой эффект. Такой подход делает теорию научно устойчивой: она сохраняет революционный потенциал, но не нарушает требование проверяемости.
Текущий том устанавливает геометрию, интервальную рекурсию, Merge и общий внутренний объём.
Волновые эффекты должны проверяться отдельными расчётами и экспериментами.
Любая физическая заявка требует граничных условий, источника, материала, масштаба и контрольной геометрии.
Критерии проверки должны быть количественными: τ, Q, спектр, потоки, локализация мод, модовый объём.
Параметры f, R, offsets, n, m и h задают инженерный план будущей проверки.
Вторая теория должна быть сильнее первой именно потому, что она заранее отделяет построенную геометрию от ещё не доказанной физики.