3.1. Роль второго порядка в теории псевдопараболоидов

Псевдопараболоид второго порядка является нулевым рекурсивным уровнем всей теории. Он ещё не содержит смещений R₁, R₂, …, Rₙ₋₂, не имеет разветвления радиальных интервалов и не требует операции Merge между разными внутренними слоями одного экземпляра. Однако именно второй порядок задаёт тот исходный внутренний объём, из которого затем строятся третий, четвёртый и общий n-й порядки.

В этой главе второй порядок рассматривается не как вспомогательная картинка и не как одиночная поверхность вращения, а как потенциальная расчётная область для последующих волновых постановок. Граничная параболическая линия определяет стенку, но расчётная область задаётся всем радиальным интервалом от оси вращения до этой границы. Поэтому базовая запись второго порядка имеет интервальный вид

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Такой подход устраняет одну из слабых сторон первой теории: поверхностная ветвь больше не подменяет объём. Ветвь d(ξ) остаётся порождающей границей, но главный объект для будущей волновой постановки — внутренний объём Ω₂.

Уровень	Объект второго порядка	Научный смысл
Ветвевой	B₂ = {d}	Порождающая параболическая граница
Интервальный	I₂(ξ) = {[0,d(ξ)]}	Допустимая радиальная область при фиксированной осевой координате
Объёмный	Ω₂	Полная область вращения, пригодная для дальнейшей физической постановки
Вычислительный	массивы lo=0, hi=d	Реализация второго порядка в скрипте перед рекурсией

3.2. Вертикальный тип второго порядка

Для вертикального типа осевая координата обозначается через s. Базовый продольный диапазон определяется производным параметром a = R²/(4f). В пределах этого диапазона радиальное расстояние от оси вращения до параболической границы задаётся функцией

dᵥ(s) = R − 2√(f|s|),     |s| ≤ a,     a = R²/(4f).

При s = 0 радиальное расстояние максимально и равно R. При |s| = a оно обращается в ноль. Следовательно, вертикальный псевдопараболоид второго порядка является телом вращения, замкнутым на оси в двух предельных осевых точках и имеющим максимальный радиальный размер в центральном сечении.

Внутренний объём вертикального второго порядка записывается так:

Ω₂ᵛ = { (s, ρ, φ) : |s| ≤ a, 0 ≤ ρ ≤ dᵥ(s), 0 ≤ φ < 2π }.

На уровне второго порядка нижняя радиальная граница равна нулю во всём допустимом диапазоне. Поэтому вертикальный второй порядок не является тороидальной оболочкой: он доходит до оси вращения и формирует сплошной внутренний объём. Тороидальные или кольцевые компоненты появляются только на последующих порядках, когда после рекурсивного смещения нижняя граница интервала становится положительной.

3.3. Горизонтальный тип второго порядка

Горизонтальный тип строится как повернутая на 90 градусов параболическая реализация. Его осевая координата обозначается через u, а допустимый диапазон имеет вид |u| ≤ R. Радиальная функция задаётся формулой

dₕ(u) = (R − |u|)² / (4f),     |u| ≤ R.

В этом случае максимальное радиальное расстояние достигается в центральном сечении u = 0 и равно a = R²/(4f), а при |u| = R радиус обращается в ноль. Поэтому горизонтальный тип имеет ту же параболическую природу, но другую осевую нормировку и другое распределение радиального размера вдоль общей оси.

Внутренний объём горизонтального второго порядка записывается так:

Ω₂ʰ = { (u, ρ, φ) : |u| ≤ R, 0 ≤ ρ ≤ dₕ(u), 0 ≤ φ < 2π }.

Признак	Вертикальный тип	Горизонтальный тип
Осевая координата	s	u
Диапазон оси	−a ≤ s ≤ a	−R ≤ u ≤ R
Радиальная функция	dᵥ(s) = R − 2√(f|s|)	dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f)
Максимальный радиус	R	a = R²/(4f)
Место максимума	s = 0	u = 0
Нижняя граница интервала	ρ = 0	ρ = 0

3.4. 2D-меридиональное сечение второго порядка

2D-сечение второго порядка показывает реальные границы базового внутреннего объёма в меридиональной плоскости. В финальном скрипте для второго порядка строится список интервалов, содержащий единственный элемент [0,d]. Затем визуализируются внешние границы +d и −d. Если нижняя граница равна нулю, внутренняя граница не рисуется как отдельная тороидальная стенка, потому что она совпадает с осью вращения.

Для этой главы принципиально важно, что 2D-рисунки показывают только второй порядок. На них не должно быть рекурсивных смещений R₁ и R₂, внутренних кольцевых зон, Merge между слоями одного экземпляра или рядного перекрытия. Это обеспечивает строгую связь между содержанием главы и её иллюстрациями.

Рис. 3.1. Вертикальный псевдопараболоид второго порядка: 2D-меридиональное сечение общего внутреннего объёма при m = 1 и h = 0. Показаны ось вращения, фокальная ось образующей и расстояние R.

Рис. 3.2. Горизонтальный псевдопараболоид второго порядка: 2D-меридиональное сечение общего внутреннего объёма при m = 1 и h = 0. Показан базовый внутренний объём без рекурсивных слоёв.

3.5. Сравнение вертикального и горизонтального второго порядка

Вертикальный и горизонтальный типы имеют общий параболический источник, но не являются одним и тем же объектом после простой замены букв. Вертикальный тип имеет осевой диапазон, определяемый a = R²/(4f), и максимальный радиус R. Горизонтальный тип имеет осевой диапазон, определяемый R, и максимальный радиус a. Это различие важно для дальнейшей волновой постановки, потому что длина распространения вдоль оси и радиальное раскрытие объёма меняются по-разному.

Рис. 3.3. Нормированное сравнение вертикального и горизонтального второго порядка. Несмотря на общую параболическую природу, распределения радиальной координаты вдоль оси различны.

Из рисунка видно, что оба типа имеют центральный максимум и сходятся к оси на краях допустимого диапазона. Однако форма нормированного спада различается. Поэтому в будущих расчётах нельзя автоматически переносить результаты вертикального типа на горизонтальный и наоборот. Они должны рассматриваться как две связанные, но самостоятельные геометрические реализации псевдопараболоидного класса.

3.6. 3D-поверхности границы базового объёма

В 3D-визуализации скрипт показывает поверхности границы объёма вращения. Сам математический объект — весь внутренний объём Ω₂, но графически отображается его внешняя поверхность, полученная вращением меридиональной границы. Для второго порядка внутренних тороидальных поверхностей нет, потому что нижняя радиальная граница равна нулю.

Для вертикального типа вращение выполняется вокруг оси s. Для горизонтального типа вращение выполняется вокруг оси u. В обоих случаях скрипт сохраняет одинаковый масштаб по координатным осям, включает координатную сетку и добавляет яркое меридиональное 2D-сечение на 3D-изображении, чтобы контролировать, что внутренний объём не потерян.

Рис. 3.4. Вертикальный псевдопараболоид второго порядка: 3D-поверхность границы базового внутреннего объёма. Видна поверхность вращения и меридиональное сечение.

Рис. 3.5. Горизонтальный псевдопараболоид второго порядка: 3D-поверхность границы базового внутреннего объёма. Показана самостоятельная пространственная реализация горизонтального типа.

3.7. Выводы главы

В настоящей главе псевдопараболоид второго порядка зафиксирован как базовый внутренний объём теории. Главные выводы следующие.

Второй порядок является нулевым рекурсивным уровнем: он задаётся функцией d(ξ), но не содержит смещений R₁, R₂, … .

Физически значимым объектом является не одна граничная линия, а интервал I₂(ξ) = {[0,d(ξ)]} и соответствующий объём Ω₂.

Вертикальный тип задаётся функцией dᵥ(s) = R − 2√(f|s|) на диапазоне |s| ≤ a, где a = R²/(4f).

Горизонтальный тип задаётся функцией dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f) на диапазоне |u| ≤ R.

Вертикальный и горизонтальный типы имеют общую параболическую природу, но различаются осевой нормировкой и пространственной реализацией.

Для второго порядка нижняя граница интервала равна нулю; поэтому внутренние тороидальные поверхности появляются только на более высоких порядках.

Скрипт визуализирует 2D-границы и 3D-поверхности границы общего объёма, но не выполняет физическое моделирование волн.

Второй порядок должен служить контрольной базовой геометрией для проверки эффектов, возникающих при рекурсивном повышении порядка и рядной компоновке.