4.1. Назначение третьего порядка в структуре теории
Третий порядок является первым собственно рекурсивным уровнем теории псевдопараболоидов высших порядков. Если второй порядок задаёт исходный внутренний интервал [0,d(ξ)], то третий порядок показывает, как этот интервал преобразуется под действием первого радиального смещения R₁. Именно здесь впервые появляется принципиальный механизм всей теории: не новая произвольно нарисованная форма, а рекурсивное преобразование уже существующей внутренней области.
Главная задача этой главы — описать третий порядок как первый переход от базового объёма Ω₂ к рекурсивно построенному объёму Ω₃. Важно, что этот переход должен пониматься не как простое построение двух линий R₁±d(ξ), а как преобразование радиального интервала [0,d(ξ)] с последующим объединением полученных областей.
I₂(ξ) = { [0,d(ξ)] } → I₃(ξ) = Merge(C_R₁([0,d(ξ)])).
Такое изложение устраняет слабое место чисто ветвевой постановки. Формальные ветви R₁−d и R₁+d являются только внешним скелетом границ; физически значимым объектом является полный радиальный интервал третьего порядка и соответствующий объём вращения.
| Уровень | Второй порядок | Третий порядок |
| Рекурсивный статус | исходное состояние | первый рекурсивный шаг |
| Используемые смещения | нет | R₁ |
| Ветвевой скелет | d(ξ) | R₁−d(ξ), R₁+d(ξ) |
| Интервальная область | [0,d(ξ)] | [max(R₁−d(ξ),0), R₁+d(ξ)] после Merge |
| Физический объект | Ω₂ | Ω₃ |
4.2. Интервальный оператор первого рекурсивного шага
Финальный скрипт строит третий порядок не через декоративное раздвоение границ, а через оператор, действующий на весь радиальный интервал. Для произвольного интервала [α,β] оператор смещения R имеет вид
C_R([α,β]) = [max(R−β,0), max(R−α,0)] ∪ [R+α, R+β].
Во втором порядке α = 0, β = d(ξ). Поэтому для третьего порядка до Merge получаются два интервала:
[max(R₁−d(ξ),0), R₁] и [R₁, R₁+d(ξ)].
Эти интервалы касаются в точке R₁. Следовательно, после Merge они образуют единую радиальную область:
I₃(ξ) = { [max(R₁−d(ξ),0), R₁+d(ξ)] }.
Если R₁ больше максимального значения d(ξ), нижняя граница остаётся положительной и возникает кольцевой режим. Если R₁ равен максимуму d(ξ), возникает предельное касание нижней границы с осью. Если R₁ меньше максимума d(ξ), часть области достигает оси вращения, а скрипт корректно обрезает отрицательный радиус нулём.
| Условие | Геометрический режим | Интерпретация |
| R₁ > max d | кольцевой / разнесённый режим | нижняя граница lo > 0, появляется внутренняя поверхность |
| R₁ = max d | предельное касание | нижняя граница касается оси в одной или нескольких точках |
| R₁ < max d | режим пересечения / вложения | часть разностной области обрезается по ρ = 0; нужен Merge |
4.3. Вертикальный тип третьего порядка
Для вертикального типа базовая функция имеет вид dᵥ(s) = R − 2√(f|s|), где |s| ≤ a, a = R²/(4f). Первый рекурсивный шаг с параметром R₁ преобразует второй порядок в третий по формуле
I₃ᵛ(s) = { [max(R₁−dᵥ(s),0), R₁+dᵥ(s)] }.
В численном примере этой главы используются параметры f = 2, R = 8, a = 8 и R₁ = 7. Поскольку максимальное значение dᵥ(s) равно 8, имеем R₁ < max dᵥ. Следовательно, третий порядок находится в режиме внутреннего пересечения / вложения, при котором часть нижней границы достигает оси вращения. Это не ошибка построения, а допустимый режим общего объёма.
Рис. 4.1. Вертикальный тип: интервальный переход от второго к третьему порядку при f = 2, R = 8, R₁ = 7. Показаны исходная граница dᵥ(s), линия R₁, нижняя граница max(R₁−dᵥ,0) и верхняя граница R₁+dᵥ.
Из рисунка видно, что третий порядок сохраняет параболическую природу границ, но перестаёт быть простым телом, доходящим только от оси до одной внешней стенки. Теперь объект задаётся интервалом между нижней и верхней радиальными границами. В тех областях, где нижняя граница положительна, появляется внутренняя поверхность; в областях, где нижняя граница обрезана нулём, объём вновь доходит до оси вращения.
4.4. Горизонтальный тип третьего порядка
Для горизонтального типа базовая функция задаётся формулой dₕ(u) = (R−|u|)²/(4f), где |u| ≤ R. Первый рекурсивный шаг имеет ту же интервальную структуру:
I₃ʰ(u) = { [max(R₁−dₕ(u),0), R₁+dₕ(u)] }.
Хотя формула рекурсии совпадает с вертикальным типом, геометрический результат не является простой копией. Горизонтальный тип имеет другой осевой диапазон, другую исходную кривизну вдоль оси и другую пространственную ориентацию поверхности вращения. Поэтому вертикальный и горизонтальный третий порядок должны рассматриваться как две самостоятельные реализации одной рекурсивной схемы.
Рис. 4.2. Горизонтальный тип: интервальный переход от второго к третьему порядку при f = 2, R = 8, R₁ = 7. Формула рекурсии та же, но распределение радиальных границ вдоль оси отличается.
| Признак | Вертикальный третий порядок | Горизонтальный третий порядок |
| Базовая функция | dᵥ(s) = R − 2√(f|s|) | dₕ(u) = (R−|u|)²/(4f) |
| Осевая переменная | s | u |
| Диапазон | |s| ≤ a | |u| ≤ R |
| Интервал третьего порядка | [max(R₁−dᵥ,0), R₁+dᵥ] | [max(R₁−dₕ,0), R₁+dₕ] |
| Ось вращения в 3D | вдоль s | вдоль u |
4.5. 2D-меридиональные сечения третьего порядка
2D-сечение третьего порядка должно показывать только реальные границы объединённого объёма. В финальном скрипте не используются искусственные заливки как способ построения, не дорисовываются прямые соединительные отрезки и не добавляются служебные перемычки между разорванными компонентами. Для одиночного экземпляра третьего порядка при m = 1 и h = 0 визуализация показывает границы интервала I₃(ξ) в полной меридиональной плоскости.
Рис. 4.3. Вертикальный псевдопараболоид третьего порядка: 2D-меридиональное сечение одиночного экземпляра при f = 2, R = 8, R₁ = 7, m = 1, h = 0.
Рис. 4.4. Горизонтальный псевдопараболоид третьего порядка: 2D-меридиональное сечение одиночного экземпляра при f = 2, R = 8, R₁ = 7, m = 1, h = 0.
Эти два рисунка не должны интерпретироваться как уже доказанная волновая ловушка. Они показывают только геометрическую область, на которой затем можно ставить физические задачи. Возможная локализация, задержка, усиление плотности траекторий или направленный вывод энергии требуют отдельной лучевой или волновой проверки.
4.6. Режимы третьего порядка по параметру R₁
Параметр R₁ задаёт не просто масштаб картинки. Он управляет тем, где окажется нижняя радиальная граница третьего порядка. Поэтому R₁ является первым параметром, через который появляется управляемое изменение топологии внутренней области. Отношение R₁ к max d(ξ) определяет три базовых режима: кольцевой, предельный и пересекающийся.
Рис. 4.5. Вертикальный тип: три режима третьего порядка при R₁ < max d, R₁ = max d и R₁ > max d. Рисунок является сравнительной схемой влияния R₁ на нижнюю и верхнюю радиальные границы.
| Режим | Условие | Геометрическое следствие | Физический статус |
| Пересечение / вложение | R₁ < max d | нижняя граница частично обрезается по ρ = 0 | кандидат на область сильного взаимодействия с осью; требует проверки |
| Предельное касание | R₁ = max d | нижняя граница касается оси | кандидат на топологический переход; требует спектрального анализа |
| Кольцевой режим | R₁ > max d | нижняя граница положительна всюду | кандидат на тороидальную полость; требует расчёта мод |
4.7. Объёмная мера третьего порядка
Так как третий порядок задаётся интервалом [lo(ξ), hi(ξ)], площадь поперечного сечения при фиксированной осевой координате записывается не как πd², а как разность площадей дисков:
A₃(ξ) = π [ hi(ξ)² − lo(ξ)² ].
Если после Merge возникает несколько интервалов, используется сумма по компонентам. Для третьего порядка одиночного экземпляра после слияния двух касающихся интервалов обычно остаётся одна объединённая радиальная область, но формула суммы важна для дальнейших порядков:
Aₙ(ξ) = π Σⱼ [ βⱼ(ξ)² − αⱼ(ξ)² ].
Эта величина ещё не является волновым результатом. Она является геометрической характеристикой расчётной области. Однако именно такие интегральные функции нужны для последующей оценки объёма, сравнения порядков и подготовки сеток физического моделирования.
4.8. 3D-поверхности границы третьего порядка
В 3D третий порядок впервые демонстрирует различие между внешней и внутренней поверхностями границы. Если нижняя граница lo(ξ) положительна, она порождает внутреннюю поверхность вращения. Если lo(ξ) обращается в ноль, соответствующая часть объёма доходит до оси вращения. Финальный скрипт показывает эти поверхности как границы общего объёма, а не как твердотельную CAD-сетку.
Рис. 4.6. Вертикальный псевдопараболоид третьего порядка: 3D-поверхности границы одиночного объёма при f = 2, R = 8, R₁ = 7, m = 1, h = 0. Яркое меридиональное сечение помогает контролировать внутреннюю область.
Рис. 4.7. Горизонтальный псевдопараболоид третьего порядка: 3D-поверхности границы одиночного объёма при f = 2, R = 8, R₁ = 7, m = 1, h = 0.
Появление внутренних поверхностей третьего порядка особенно важно для будущей Геометрической Волновой Инженерии: именно такие внутренние границы могут менять структуру отражений, мод и траекторий. Но сама геометрия ещё не доказывает наличие заданного волнового эффекта; она только формирует область, в которой этот эффект можно искать.
4.9. Сравнение второго и третьего порядка
Третий порядок принципиально отличается от второго тем, что базовая область [0,d] превращается в смещённую область между нижней и верхней радиальными границами. Второй порядок имеет одну внешнюю границу и нижнюю границу на оси. Третий порядок уже может иметь внутреннюю границу, кольцевую часть и области касания или пересечения с осью.
| Критерий | Второй порядок | Третий порядок |
| Число рекурсивных смещений | 0 | 1 |
| Главный интервал | [0,d] | [max(R₁−d,0), R₁+d] |
| Внутренняя поверхность | нет при lo=0 | возможна при lo>0 |
| Топологический параметр | f, R через форму d | R₁ относительно max d |
| Роль Merge | не требуется между слоями | объединяет два касающихся интервала |
| Физический смысл | базовая контрольная область | первая рекурсивная область для будущей проверки волновых эффектов |
4.10. Выводы главы
В настоящей главе построен псевдопараболоид третьего порядка как первый рекурсивный шаг теории. Главные выводы следующие.
Третий порядок получается из базового интервала второго порядка [0,d(ξ)] под действием первого смещения R₁.
До Merge возникают два интервала: [max(R₁−d,0), R₁] и [R₁, R₁+d].
После Merge третий порядок описывается единым интервалом [max(R₁−d,0), R₁+d].
Параметр R₁ задаёт первый управляемый топологический режим: пересечение с осью, предельное касание или кольцевое отделение.
Вертикальный и горизонтальный типы используют одну и ту же рекурсивную формулу, но имеют разные базовые функции и разные 3D-реализации.
3D-визуализация третьего порядка показывает поверхности границы общего объёма, а не поле и не CAD-сетку.
Волновые эффекты третьего порядка являются проверяемыми гипотезами и не должны объявляться доказанными только из геометрии.
Следующая глава должна перейти к четвёртому порядку, где второй рекурсивный параметр R₂ действует уже не на исходный второй порядок, а на весь результат третьего порядка. Именно там впервые проявляется полная вложенность рекурсивной схемы R₂ ± (R₁ ± d) и возрастает значение Merge для объединённого внутреннего объёма.