5.1. Место четвёртого порядка в теории

Четвёртый порядок является первым уровнем, на котором рекурсия становится по-настоящему вложенной. Третий порядок ещё можно описать как один радиальный интервал, полученный из [0,d(ξ)] первым смещением R₁. Четвёртый порядок строится уже не из исходной параболической образующей, а из результата третьего порядка. Поэтому здесь впервые становится принципиально важным правило: R₂ действует на весь интервал I₃(ξ), а не заново на d(ξ).

Это место является одним из ключевых для строгой теории. Если ошибочно применять R₂ непосредственно к исходной образующей, то будет построена другая геометрия, не совпадающая с финальным скриптом. Корректная конструкция имеет вид

I₄(ξ) = Merge( C_R₂( I₃(ξ) ) ),

где I₃(ξ) уже содержит результат первого рекурсивного шага. Ветвевой скелет четвёртого порядка можно записать как R₂ ± (R₁ ± d), но физически значимая область определяется не формальными ветвями, а радиальными интервалами после Merge.

Уровень	Смысл	Главный объект
Второй порядок	исходная параболическая область	I₂(ξ) = [0,d(ξ)]
Третий порядок	первый рекурсивный шаг	I₃(ξ) = Merge(C_R₁(I₂))
Четвёртый порядок	второй рекурсивный шаг	I₄(ξ) = Merge(C_R₂(I₃))
Объём	пространственная область вращения	Ω₄ или Ω₄,ₘ

5.2. Интервальная формула четвёртого порядка

Пусть после третьего порядка при фиксированной осевой координате имеется интервал [lo₃(ξ), hi₃(ξ)]. Тогда четвёртый порядок до Merge строится двумя новыми интервалами:

[max(R₂−hi₃(ξ),0), max(R₂−lo₃(ξ),0)]  и  [R₂+lo₃(ξ), R₂+hi₃(ξ)].

После этого выполняется Merge. Он объединяет пересекающиеся или касающиеся интервалы, но не является физическим удалением порождающих компонент. Он только устраняет дублирование общего объёма в итоговой области. Поэтому для четвёртого порядка уже нельзя ограничиваться простым списком четырёх кривых: нужно строить интервальную область.

I₄(ξ) = Merge( [max(R₂−hi₃,0), max(R₂−lo₃,0)] ∪ [R₂+lo₃, R₂+hi₃] ).

Объект	Третий порядок	Четвёртый порядок
Входной интервал	[lo₃, hi₃]	результат третьего порядка
Разностная часть	не применяется	[max(R₂−hi₃,0), max(R₂−lo₃,0)]
Суммовая часть	не применяется	[R₂+lo₃, R₂+hi₃]
Merge	слияние интервалов первого шага	слияние областей второго шага
Физический объект	Ω₃	Ω₄

5.3. Вертикальный тип четвёртого порядка

Для вертикального типа исходная функция имеет вид dᵥ(s) = R − 2√(f|s|), |s| ≤ a. В численном примере используются параметры f = 2, R = 8, a = 8, R₁ = 7 и R₂ = 14. Сначала формируется третий порядок, затем R₂ действует на полученную область. Именно такая последовательность соответствует финальному скрипту.

I₂ᵛ(s) = [0,dᵥ(s)],   I₃ᵛ(s) = Merge(C_R₁(I₂ᵛ(s))),   I₄ᵛ(s) = Merge(C_R₂(I₃ᵛ(s))).

Рис. 5.1. Вертикальный тип: второй рекурсивный шаг I₃(s) → I₄(s) при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14. Показаны границы разностного и суммового интервалов до окончательного Merge.

На рисунке видно, что четвёртый порядок уже не является простым расширением третьего порядка. Он создаёт две радиальные зоны до Merge: разностную и суммовую. Их последующее объединение зависит от фактического пересечения, касания или разнесения интервалов в каждой осевой точке.

5.4. Горизонтальный тип четвёртого порядка

Горизонтальный тип использует другую базовую функцию: dₕ(u) = (R−|u|)²/(4f), |u| ≤ R. Однако рекурсивный оператор остаётся тем же. Поэтому различие между вертикальным и горизонтальным четвёртым порядком появляется не в формуле C_R, а в форме входной функции d(ξ), в осевой ориентации и в 3D-поверхности вращения.

I₄ʰ(u) = Merge( C_R₂( Merge(C_R₁([0,dₕ(u)])) ) ).

Рис. 5.2. Горизонтальный тип: второй рекурсивный шаг I₃(u) → I₄(u) при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14. Та же рекурсия порождает другую осевую картину из-за иной базовой функции dₕ(u).

Признак	Вертикальный тип	Горизонтальный тип
Базовая функция	dᵥ(s)=R−2√(f|s|)	dₕ(u)=(R−|u|)²/(4f)
Осевая область	|s| ≤ a	|u| ≤ R
Первый шаг	R₁ действует на [0,dᵥ]	R₁ действует на [0,dₕ]
Второй шаг	R₂ действует на I₃ᵛ	R₂ действует на I₃ʰ
3D-вращение	вокруг оси s	вокруг оси u

5.5. Формальные ветви и их ограниченность

Ветвевой язык четвёртого порядка даёт четыре вложенные формальные границы:

R₂ + (R₁ + d),   R₂ − (R₁ + d),   R₂ + (R₁ − d),   R₂ − (R₁ − d).

Эта запись полезна как аналитический скелет, но она не заменяет интервальную область. Во-первых, некоторые разностные выражения могут становиться отрицательными и должны быть обрезаны по ρ = 0. Во-вторых, после Merge отдельные формальные ветви могут перестать быть самостоятельными видимыми границами. Поэтому в этой теории ветви не являются окончательной физической моделью.

Рис. 5.3. Вертикальный тип: формальные вложенные границы четвёртого порядка R₂ ± (R₁ ± d). Рисунок показывает ветвевой скелет, но не заменяет интервальный Merge общего объёма.

5.6. 2D-сечения четвёртого порядка

2D-меридиональное сечение четвёртого порядка показывает реальные границы объединённого объёма после Merge. Здесь особенно важно не дорисовывать прямые соединения между компонентами и не подменять пустые области искусственной заливкой. Финальный скрипт выводит только те линии, которые соответствуют границам интервалов [αⱼ(ξ), βⱼ(ξ)] после объединения.

Рис. 5.4. Вертикальный псевдопараболоид четвёртого порядка: 2D-меридиональное сечение одиночного экземпляра при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14, m = 1, h = 0.

Рис. 5.5. Горизонтальный псевдопараболоид четвёртого порядка: 2D-меридиональное сечение одиночного экземпляра при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14, m = 1, h = 0.

На этом уровне становится особенно заметно различие между формальным числом ветвей и фактической компонентной структурой после Merge. Четвёртый порядок имеет четыре формальные ветви, но число видимых интервалов в конкретной осевой точке может быть меньше из-за касаний, пересечений и вложений.

5.7. Скалярный смысл Merge в четвёртом порядке

Чтобы не смешивать геометрию с художественной визуализацией, полезно рассмотреть Merge в одной осевой точке. При фиксированном ξ имеются два интервала, возникшие из [lo₃,hi₃]. Если они пересекаются или касаются, они сливаются в один интервал. Если между ними есть зазор, они остаются двумя отдельными радиальными зонами. Скрипт не дорисовывает отсутствующее пространство.

Рис. 5.6. Вертикальный тип: скалярный смысл Merge в нескольких осевых сечениях четвёртого порядка. Толстые полупрозрачные отрезки показывают интервалы до Merge; чёрные отрезки — итог после Merge.

Ситуация	Действие Merge	Геометрический смысл
Интервалы пересекаются	объединяются	общая часть не дублируется
Интервалы касаются	объединяются	касательная точка не создаёт зазор
Есть пустой зазор	не объединяются	зазор остаётся реальной пустой областью
Интервал частично уходит ниже нуля	обрезается по ρ = 0	отрицательных радиусов нет

5.8. Объёмная характеристика четвёртого порядка

Для четвёртого порядка особенно важно использовать суммарную формулу площади поперечного сечения, потому что после Merge в одной осевой точке может сохраняться несколько радиальных интервалов. Поэтому площадь сечения записывается как

A₄(ξ) = π Σⱼ [ βⱼ(ξ)² − αⱼ(ξ)² ].

5.9. 3D-поверхности границы четвёртого порядка

В пространственной визуализации четвёртый порядок показывает поверхности границы общего объёма вращения. Для вертикального типа вращение выполняется вокруг оси s, для горизонтального — вокруг оси u. Яркое меридиональное сечение на 3D-графике является контрольной разметкой: оно помогает увидеть внутренние границы, но не является дополнительной геометрией.

Рис. 5.7. Вертикальный псевдопараболоид четвёртого порядка: 3D-поверхности границы одиночного объёма при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14, m = 1, h = 0.

Рис. 5.8. Горизонтальный псевдопараболоид четвёртого порядка: 3D-поверхности границы одиночного объёма при f = 2, R = 8, R₁ = 7, R₂ = 14, m = 1, h = 0.

3D-рисунки следует понимать именно как изображения поверхностей границы Ω₄. Они не являются расчётом поля, не показывают собственные моды, не дают Q-фактор и не доказывают волновое удержание. Их функция — подтвердить корректность геометрии, которая затем может быть использована в физическом моделировании.

5.10. Нарастание структуры 2 → 3 → 4

Последовательность второго, третьего и четвёртого порядков показывает, что сложность псевдопараболоидов возникает не из произвольного усложнения рисунка, а из повторного применения одного и того же оператора к уже построенной внутренней области. Это принципиально отличает конструктивную теорию от набора случайно выбранных поверхностей.

Рис. 5.9. Вертикальный тип: нарастание граничной структуры от второго к третьему и четвёртому порядку. Показаны базовая граница d, границы третьего порядка и границы, возникающие на втором рекурсивном шаге.

5.11. Выводы главы

В настоящей главе построен псевдопараболоид четвёртого порядка как второй рекурсивный шаг теории. Главные выводы следующие.

Четвёртый порядок строится не из исходной образующей напрямую, а из результата третьего порядка.

Корректная формула имеет вид I₄(ξ) = Merge(C_R₂(I₃(ξ))).

Ветвевой скелет R₂ ± (R₁ ± d) полезен аналитически, но не заменяет интервальную область.

После Merge число физических радиальных зон может отличаться от числа формальных ветвей.

Вертикальный и горизонтальный типы используют один рекурсивный оператор, но имеют разные базовые функции и разные 3D-реализации.

Площадь сечения A₄(ξ) должна вычисляться как πΣ(βⱼ²−αⱼ²) по всем Merge-интервалам.

3D-поверхности четвёртого порядка являются границами геометрической области, а не результатом волнового расчёта.

Физические эффекты четвёртого порядка должны оставаться проверяемыми гипотезами до FEM/FDTD/лучевого моделирования или эксперимента.