6.1. Назначение главы

Предыдущие главы последовательно зафиксировали второй, третий и четвёртый порядки псевдопараболоидов. Эти случаи важны не только как самостоятельные геометрии, но и как проверочные уровни общей рекурсии. Настоящая глава поднимает построение на общий уровень n-го порядка и показывает, как любой порядок формируется одним и тем же интервальным алгоритмом.

Главная задача главы — не ввести новую физическую гипотезу, а строго описать универсальный вычислительный аппарат. В этой постановке порядок n задаётся длиной списка рекурсивных смещений offsets: если offsets = (R₁, R₂, …, Rₙ₋₂), то максимальный построенный порядок равен n = len(offsets) + 2. Скрипт не строит отдельную художественную форму для каждого n; он повторяет один и тот же оператор над уже полученной системой интервалов.

Рис. 6.1. Общая схема построения псевдопараболоидов n-го порядка: базовый интервал, список offsets, рекурсивный оператор, Merge и визуализация общего объёма.

6.2. Исходные данные общего порядка

В общей задаче фиксируются параметры f, R, тип геометрии, список смещений R₁, …, Rₙ₋₂, число рядов m и параметр h. Параметры f и R задают базовую параболическую образующую. Величина a = R²/(4f) определяет характерный продольный размер вертикального типа и максимальный радиальный масштаб горизонтального типа. Список offsets задаёт не самостоятельные независимые оболочки, а последовательность рекурсивных операторов.

Таблица 6.1. Исходные параметры общего порядка

Параметр	Смысл	Где используется
f	фокусное расстояние параболических ветвей	в формулах d_v и d_h
R	расстояние до фокальной линии / базовый радиальный масштаб	в d_v, d_h и a = R²/(4f)
R₁, …, Rₙ₋₂	рекурсивные смещения	в операторе C_R
n	порядок псевдопараболоида	n = len(offsets)+2
m	число одинаковых осевых экземпляров	в рядной сборке
h	зазор, касание или перекрытие рядов	в шаге между центрами рядов

Для вертикального типа базовая осевая координата обозначается через s, для горизонтального типа — через u. Но после выбора базовой функции d(ξ) рекурсивная часть алгоритма становится одинаковой. Именно это делает теорию конструктивной: различаются начальные профили и оси вращения, а не общий закон повышения порядка.

6.3. Формальный ветвевой рост

На ветвевом уровне каждый рекурсивный шаг удваивает число формальных границ. Второй порядок содержит одну исходную ветвь d. Третий порядок содержит две формальные ветви R₁+d и R₁−d. Четвёртый порядок содержит четыре вложенные ветви R₂±(R₁±d). В общем виде число формальных ветвей равно:

Nₙ = 2^(n−2).

Эта формула является важным инвариантом порождающего дерева, но она не должна ошибочно приниматься за число реальных физических компонент после Merge. Ветвевое дерево объясняет происхождение границ; физически используемым объектом остаётся общий внутренний объём.

Рис. 6.2. Формальное бинарное ветвление до 6-го порядка. Ветвевое число растёт как 2^(n−2), но после Merge число видимых компонент может быть меньше.

Таблица 6.2. Порядок, offsets и формальные ветви

Порядок n	Использованные offsets	Формальные ветви Nₙ	Комментарий
2	нет	1	базовая область [0,d]
3	R₁	2	первое рекурсивное раздвоение
4	R₁, R₂	4	вложенная структура R₂±(R₁±d)
5	R₁, R₂, R₃	8	первый уровень с восемью формальными ветвями
n	R₁, …, Rₙ₋₂	2^(n−2)	общая ветвевая формула

6.4. Интервальная рекурсия общего порядка

В финальной вычислительной реализации рекурсия действует не на одиночные линии, а на радиальные интервалы. Для второго порядка при фиксированной осевой координате ξ задаётся начальное множество интервалов:

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }.

Пусть на k-м шаге уже построено множество интервалов I_k(ξ) = { [α_j(ξ), β_j(ξ)] }. Тогда смещение R_{k−1} строит два новых интервала для каждого старого интервала:

C_R([α,β]) = [max(R−β,0), max(R−α,0)] ∪ [R+α, R+β].

После применения оператора ко всем интервалам выполняется Merge. Поэтому общая рекурсия имеет вид:

I_{k+1}(ξ) = Merge( ⋃ C_{R_{k−1}}([α_j(ξ), β_j(ξ)]) ),    k ≥ 2.

Наличие max(·,0) принципиально: радиус не может быть отрицательным. Это не косметическая поправка, а условие перехода от формальной ветви к реальному внутреннему объёму.

6.5. Merge как операция перехода к физически используемой области

Операция Merge устраняет не порождающие компоненты как идею построения, а только дублирование объёма в тех местах, где интервалы пересекаются или касаются. Если два радиальных интервала перекрываются, их объединение становится одним интервалом. Если между ними остаётся пустой зазор, скрипт не дорисовывает соединительную линию и не закрывает зазор искусственно.

Именно поэтому после Merge число видимых компонент может быть меньше формального числа ветвей. Это не потеря геометрии, а корректный результат объединения внутренних областей. Визуализация должна показывать реальные границы итогового объёма, а не все промежуточные ветви дерева.

Рис. 6.3. Сравнение формального роста ветвей и фактической структуры после Merge для порядков 2–6. График показывает, что дерево ветвей и объединённый объём имеют разные численные характеристики.

6.6. Вертикальный и горизонтальный типы в общей рекурсии

Вертикальный и горизонтальный типы различаются базовой параболической функцией и осью вращения, но после задания d(ξ) подчиняются одному и тому же рекурсивному закону. Вертикальный тип использует d_v(|s|) = R − 2√(f|s|) на области |s| ≤ a. Горизонтальный тип использует d_h(u) = (R−|u|)²/(4f) на области |u| ≤ R.

Эта единая рекурсия позволяет сравнивать типы без смены математического аппарата. Различия в рисунках и в числе Merge-компонент возникают из-за различной исходной функции d(ξ), а не из-за произвольного изменения алгоритма.

Рис. 6.4. Вертикальный тип: рост порядка от 2 до 5 при f=2, R=8, offsets=[7,14,28], m=1. Показаны реальные границы после Merge.

Рис. 6.5. Горизонтальный тип: рост порядка от 2 до 5 при тех же параметрах. Отличие связано с иной базовой функцией d_h(u), а не с изменением рекурсивного правила.

6.7. Общий внутренний объём Ωₙ

После построения интервалов Iₙ(ξ) одиночный псевдопараболоид n-го порядка задаётся как множество всех точек, радиальная координата которых принадлежит одному из Merge-интервалов:

Ωₙ = { (ξ,ρ,φ) : [α,β] ∈ Iₙ(ξ), α ≤ ρ ≤ β, 0 ≤ φ < 2π }.

В 2D скрипт показывает меридиональное сечение этой области: положительные и отрицательные радиальные границы. В 3D скрипт показывает поверхности границы общего объёма вращения. Важно: 3D-картинка не является полной конечной сеткой поля; она является геометрической визуализацией границы области, пригодной для последующей постановки волновой задачи.

Рис. 6.6. Вертикальный тип, 5-й порядок, 2D-сечение общего объёма при f=2, R=8, offsets=[7,14,28], m=1.

Рис. 6.7. Горизонтальный тип, 5-й порядок, 2D-сечение общего объёма при тех же параметрах.

Рис. 6.8. Вертикальный тип, 5-й порядок, 3D-поверхности границы общего объёма. Яркое меридиональное сечение помогает контролировать, что внутренние зоны не потеряны.

Рис. 6.9. Горизонтальный тип, 5-й порядок, 3D-поверхности границы общего объёма. Визуализация сохраняет реальный масштаб осей.

6.8. Рядность в общей формуле и граница данной главы

Хотя настоящая глава посвящена прежде всего общему порядку n одиночного объекта, финальный скрипт сразу поддерживает и рядные системы. Если L обозначает половину длины одного экземпляра вдоль общей оси, то центры рядов сдвигаются на величины

Δ_j = −j(2L+h),    j = 0, 1, …, m−1.

Рядная система затем определяется как объединение сдвинутых копий Ωₙ. При h>0 ряды разнесены, при h=0 касаются, при h<0 перекрываются и должны объединяться через тот же Merge. Подробная теория рядности должна рассматриваться отдельно, чтобы не смешивать два разных уровня: внутренний порядок n и внешнюю осевую компоновку m.

6.9. Выводы главы

1. Общий порядок n задаётся длиной списка offsets: n = len(offsets)+2.

2. Формальное число ветвей равно Nₙ = 2^(n−2), но оно не равно автоматически числу компонент после Merge.

3. Физически значимой областью является объединённый внутренний объём Ωₙ, построенный из радиальных интервалов.

4. Вертикальный и горизонтальный типы имеют разные базовые функции d(ξ), но одну и ту же рекурсивную интервальную схему.

5. Операция Merge удаляет только дублирование общей части объёма, а не порождающую историю компонент.

6. Рядность m и перекрытие h являются внешним уровнем сборки и должны рассматриваться отдельно от внутреннего порядка n.

7. Геометрическая теория общего n-го порядка завершена на уровне конструктивной области; физические волновые свойства требуют отдельной верификации.