7.1. Назначение главы
Предыдущие главы построили одиночный псевдопараболоид n-го порядка как общий внутренний объём Ωₙ. Настоящая глава вводит второй уровень организации — рядную систему из m одинаковых экземпляров, расположенных на общей оси. Этот уровень не изменяет внутреннюю рекурсию порядка n, но меняет общую связность, осевой размах и режим взаимодействия соседних экземпляров.
Центральным параметром главы является h. В финальном скрипте h задаёт не форму параболической образующей и не порядок рекурсии, а шаг между соседними рядами. При h>0 ряды разнесены, при h=0 касаются, при h<0 перекрываются. В последнем случае общий объём должен строиться через Merge, чтобы удалить только дублирование общей части объёма, не уничтожая сами порождающие экземпляры.
Рис. 7.1. Схема рядной компоновки одинаковых экземпляров на общей оси. Параметр h входит в шаг между центрами, но не меняет внутренний порядок n.
7.2. Разделение внутреннего порядка n и рядности m
В теории псевдопараболоидов необходимо строго разделять два уровня: внутренний порядок n и внешнюю рядность m. Порядок n задаётся списком рекурсивных смещений offsets = (R₁, R₂, …, Rₙ₋₂). Рядность m задаёт число уже построенных одинаковых экземпляров Ωₙ, которые размещаются вдоль общей оси. Поэтому увеличение m не увеличивает число формальных ветвей одного экземпляра и не входит в формулу Nₙ = 2^(n−2).
Таблица 7.1. Порядок и рядность как разные уровни построения
| Величина | Что задаёт | Что не задаёт |
| n | глубину внутренней рекурсии одного экземпляра | число осевых копий |
| R₁, …, Rₙ₋₂ | последовательность рекурсивных смещений | зазор между рядами |
| m | число одинаковых экземпляров в рядной системе | внутреннюю ветвевую структуру |
| h | осевой зазор, касание или перекрытие соседних экземпляров | параболическую форму d(ξ) |
| Ωₙ,ₘ | общий объём всей рядной системы | новый независимый базовый профиль |
Такое разделение устраняет одно из главных слабых мест ранних формулировок: рядность нельзя трактовать как новый порядок, а порядок нельзя подменять простым повторением одинаковых тел. В финальной конструкции эти уровни связаны, но не смешиваются.
7.3. Формула осевых сдвигов
Пусть L обозначает половину длины одного экземпляра вдоль общей оси. Для вертикального типа в финальном скрипте L = a, где a = R²/(4f). Для горизонтального типа L = R. В общем виде шаг между центрами соседних экземпляров равен:
step = 2L + h.
Осевые сдвиги экземпляров задаются формулой:
Δ_j = −j(2L + h), j = 0, 1, …, m−1.
Знак минус означает, что в принятой реализации каждый следующий экземпляр размещается в отрицательном направлении общей оси. Это соглашение не меняет геометрического смысла: важна относительная дистанция между соседними центрами.
Таблица 7.2. Половина осевой длины L для двух типов
| Тип | Осевая координата | L | Шаг между центрами |
| вертикальный | s | L = a = R²/(4f) | 2a + h |
| горизонтальный | u | L = R | 2R + h |
7.4. Три режима параметра h
Параметр h является дискретным геометрическим переключателем режима рядной системы. Его знак определяет, существуют ли между соседними экземплярами пустые осевые промежутки, предельные касания или области перекрытия. Важно, что скрипт не дорисовывает соединения при h>0 и не удаляет исходные экземпляры при h<0; он строит итоговое объединение внутренних областей.
Таблица 7.3. Режимы рядной системы по параметру h
| Условие | Геометрический режим | Интерпретация |
| h > 0 | разнесение | между соседними экземплярами существует осевой зазор; соединение не дорисовывается |
| h = 0 | касание | соседние экземпляры имеют предельный контакт по осевым границам |
| h < 0 | перекрытие | части объёмов совпадают; Merge удаляет только дублирование общей части |
Рис. 7.2. Вертикальный тип второго порядка: три режима h для m=3. Показаны реальные границы рядной системы без искусственных соединительных линий.
Рис. 7.3. Горизонтальный тип второго порядка: три режима h для m=3. Различие с вертикальным типом связано с иной базовой функцией d_h(u), а не с иной логикой рядности.
7.5. Рядная система как объединение сдвинутых объёмов
После построения одиночного объёма Ωₙ рядная система задаётся объединением его осевых копий:
Ωₙ,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} (Ωₙ + Δ_j e_ξ).
Здесь e_ξ — единичное направление общей оси. Эта формула означает, что сначала строится внутренний порядок n одного экземпляра, затем полученный объём копируется m раз, после чего все интервалы собираются на общей осевой сетке и проходят Merge. В такой постановке рядная система не является художественной сборкой поверхностей; она является строгим объединением внутренних областей.
Таблица 7.4. Последовательность построения Ωₙ,ₘ
| Шаг | Операция | Результат |
| 1 | задать f, R и тип геометрии | базовая функция d(ξ) |
| 2 | построить I₂=[0,d] и применить offsets | интервалы Iₙ одного экземпляра |
| 3 | задать m и h | осевые сдвиги Δ_j |
| 4 | перенести интервалы каждого экземпляра на общую ось | набор Piece-компонент |
| 5 | выполнить Merge при каждом ξ | общий внутренний объём Ωₙ,ₘ |
| 6 | построить 2D и 3D границы | визуализация расчётной области |
Рис. 7.4. Алгоритм рядной сборки в финальном скрипте: одиночный Ωₙ, осевые сдвиги, общая сетка и Merge.
7.6. Вертикальный тип рядной системы
В вертикальном типе базовая осевая координата s лежит в диапазоне |s| ≤ a. Для параметров f=2, R=8 получаем a=8, поэтому половина осевой длины одного экземпляра равна L=8. При m=3 и h=-2 шаг между центрами равен 14, то есть соседние экземпляры перекрываются по оси. Это приводит к появлению общей рядной области, в которой Merge устраняет повторное покрытие одних и тех же внутренних точек.
Рис. 7.5. Вертикальный тип, четвёртый порядок, m=3, h=-2. 2D-сечение показывает объединение рядов после Merge.
Рис. 7.6. Вертикальный тип, четвёртый порядок, m=3, h=-2. 3D-поверхности границы общего объёма с ярким меридиональным сечением.
7.7. Горизонтальный тип рядной системы
В горизонтальном типе базовая осевая координата u лежит в диапазоне |u| ≤ R. При R=8 половина осевой длины также равна L=8, но сама радиальная функция отличается: d_h(u) = (R−|u|)²/(4f). Поэтому при той же рядности m=3 и том же h=-2 итоговая связность и форма видимых границ отличаются от вертикального типа. Это различие возникает не из-за изменения алгоритма, а из-за другой исходной параболической ориентации.
Рис. 7.7. Горизонтальный тип, четвёртый порядок, m=3, h=-2. 2D-сечение общего объёма после Merge.
Рис. 7.8. Горизонтальный тип, четвёртый порядок, m=3, h=-2. 3D-поверхности границы общего объёма с ярким меридиональным сечением.
7.8. Что делает и чего не делает Merge при рядности
В рядной системе Merge имеет особенно важное значение. При h<0 соседние экземпляры могут занимать общие части пространства. Если просто нарисовать все экземпляры независимо, общая область будет представлена несколько раз. Если удалить один из экземпляров целиком, будет нарушена порождающая структура. Правильное действие состоит в третьем варианте: оставить все экземпляры как порождающие объекты, но в итоговом объёме объединить совпадающие области.
Таблица 7.5. Корректная трактовка Merge в рядных системах
| Ситуация | Неверная трактовка | Корректная трактовка |
| перекрытие рядов | удалить один из пересекающихся экземпляров | объединить совпадающие части объёма |
| зазор между рядами | соединить края прямой линией | оставить пустой промежуток |
| касание | считать касание физическим доказательством удержания | считать касание геометрическим порогом |
| скрытая ветвь после Merge | считать её ошибочно потерянной | понимать, что видимая граница принадлежит объединённому объёму |
| 3D-визуализация | считать рисунок физическим расчётом поля | считать рисунок геометрией границы для будущей физики |
7.9. Количественное влияние h
Параметр h влияет на осевой размах рядной системы и на условный объёмный интеграл объединённой области. При положительных h экземпляры расходятся, и общий осевой размах растёт. При отрицательных h экземпляры перекрываются, и итоговый объём после Merge может расти медленнее простой суммы объёмов отдельных экземпляров. Это геометрический эффект объединения, а не ещё доказанный волновой эффект.
Рис. 7.9. Влияние h на условный объём Ω₄,₃ и осевой размах системы при f=2, R=8, offsets=[7,14], m=3. Отрицательные h соответствуют режиму перекрытия и Merge.
Такой график полезен как диагностический инструмент: он показывает, что h является не декоративным параметром, а реальным управляющим параметром геометрии. Однако на основании одного объёмного интеграла нельзя делать вывод о добротности, локализации или направленном выводе волн. Для этого нужны отдельные лучевые и волновые расчёты.
7.10. Рядность как топологический переключатель
С точки зрения конструктивной геометрии h задаёт переход между тремя качественно различными состояниями: раздельность, касание и перекрытие. Поэтому h можно рассматривать как топологический переключатель рядной системы. Этот вывод относится к геометрии внутреннего объёма и уже следует из построения. Но возможные волновые следствия такого переключения должны формулироваться осторожно: как гипотезы для последующей проверки.
Рис. 7.10. Параметр h как дискретный топологический переключатель: разнесение, касание, перекрытие.
7.11. Выводы главы
1. Рядность m является внешним уровнем осевой компоновки уже построенных псевдопараболоидов n-го порядка.
2. Параметр h входит в шаг между центрами step = 2L + h и не изменяет базовую параболическую образующую.
3. Осевые сдвиги экземпляров задаются формулой Δ_j = −j(2L+h).
4. При h>0 ряды разнесены, при h=0 касаются, при h<0 перекрываются.
5. При перекрытии Merge удаляет только дублирование общей части объёма, а не сами порождающие экземпляры.
6. Вертикальный и горизонтальный типы используют одну логику рядности, но дают разные формы из-за разных базовых функций d_v и d_h.
7. Рядная система Ωₙ,ₘ является строгим объединением сдвинутых внутренних объёмов, пригодным для дальнейших лучевых и волновых расчётов.
8. Геометрические переходы по h уже являются установленной частью теории; их физические последствия должны проверяться отдельно.