Настоящая глава завершает первичный конструктивный блок теории, в котором были последовательно введены базовая параболическая образующая, второй порядок, третий порядок, четвёртый порядок, общий n-й порядок и рядная компоновка. Теперь необходимо специально сравнить два допустимых типа псевдопараболоидов: вертикальный и горизонтальный. Они имеют одно и то же интервально-рекурсивное ядро, но разные базовые функции, разные оси вращения, разные меридиональные сечения и, следовательно, разные геометрические предпосылки для будущего волнового анализа.

Эта глава не объявляет один тип «лучшим» или физически доказанно более эффективным. Её задача — строго зафиксировать, чем вертикальная и горизонтальная реализации отличаются как вычислительные области Ωₙ,ₘ. Именно такое сравнение необходимо, чтобы в последующих томах или приложениях корректно ставить лучевые, акустические, электромагнитные и спектральные задачи.

8.1. Назначение сравнительной главы

В предыдущих главах вертикальный и горизонтальный типы уже использовались параллельно. Однако при последовательном изложении легко возникает соблазн рассматривать горизонтальный тип как простое переименование координат вертикального типа. Для данной теории это было бы ошибкой. В скрипте оба типа действительно используют одно и то же рекурсивное преобразование интервалов, но их базовые расстояния d(ξ) различны. Поэтому совпадает рекурсивная логика, но не совпадает исходная геометрическая область.

Сравнение необходимо по четырём причинам. Во-первых, оно показывает, что теория задаёт не одну частную форму, а пару родственных конструктивных классов. Во-вторых, оно отделяет инварианты рекурсии от свойств конкретной базовой ориентации. В-третьих, оно предотвращает неверную физическую интерпретацию, при которой все будущие волновые эффекты приписываются только порядку n, хотя часть различий может быть вызвана именно типом ориентации. В-четвёртых, оно задаёт план будущей численной верификации: вертикальный и горизонтальный типы должны сравниваться на одинаковых параметрах f, R, Rᵢ, m и h.

8.2. Единое рекурсивное ядро и разные базовые функции

В обоих типах второй порядок задаётся внутренним радиальным интервалом I₂(ξ) = {[0, d(ξ)]}. Далее для каждого интервала [lo, hi] применяется один и тот же оператор C_R. Именно это делает вертикальный и горизонтальный типы частями одной теории псевдопараболоидов, а не двумя независимыми объектами.

I₂(ξ) = { [0, d(ξ)] }
C_R([lo, hi]) = [max(R − hi, 0), max(R − lo, 0)] ∪ [R + lo, R + hi]
Iₖ₊₁(ξ) = Merge( ⋃ C_{Rₖ₋₁}([lo, hi]) ),    k ≥ 2

Различие начинается на уровне d(ξ). Для вертикального типа осевая координата обозначается через s, а расстояние до образующей зависит от |s| как от корня. Для горизонтального типа осевая координата обозначается через u, а расстояние задаётся квадратичной функцией от R − |u|. Обе записи происходят из одной параболической идеи, но дают разные меридиональные профили.

dᵥ(s) = R − 2√(f |s|),    |s| ≤ a,    a = R²/(4f)
dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f),  |u| ≤ R

Таблица 8.1. Базовые функции вертикального и горизонтального типов

Параметр / объект	Вертикальный тип	Горизонтальный тип
Осевая координата	s	u
Базовая функция	dᵥ(s) = R − 2√(f|s|)	dₕ(u) = (R − |u|)²/(4f)
Допустимый осевой диапазон	|s| ≤ a, где a = R²/(4f)	|u| ≤ R
Максимум базового расстояния	dᵥ(0) = R	dₕ(0) = R²/(4f) = a
В используемом численном примере	f = 2, R = 8, a = 8, max d = 8	f = 2, R = 8, a = 8, max d = 8
Общее рекурсивное правило	То же C_R и Merge	То же C_R и Merge

Рис. 8.1. Базовые образующие вертикального и горизонтального типов при f = 2, R = 8. Рисунок показывает, что оба типа основаны на параболической образующей, но используют разные ориентации и разные координатные интерпретации.

8.3. Вертикальный тип: геометрическая роль оси s

Вертикальный тип строится так, что осевая координата s проходит вдоль общей оси рядной компоновки. Функция dᵥ(s) имеет максимальное значение в центре s = 0 и обращается в ноль на концах |s| = a. В меридиональном сечении второго порядка это даёт область, сжатую к концам и раскрытую в центральной зоне. При вращении вокруг оси получается пространственный внутренний объём, граница которого является поверхностью вращения параболической образующей.

С конструктивной точки зрения вертикальный тип особенно важен как объект с явно выраженной центральной зоной максимального радиуса. При увеличении порядка n рекурсивные интервалы разворачиваются вокруг базового расстояния dᵥ(s), поэтому все последующие радиальные зоны сохраняют память о центральной вершине и симметрии относительно s = 0. Это не является физическим доказательством фокусировки, но задаёт геометрическую область, в которой такая гипотеза может быть проверена.

8.4. Горизонтальный тип: геометрическая роль оси u

Горизонтальный тип использует ту же параболическую идею, но поворачивает исходную образующую. Теперь осевая координата u лежит в пределах |u| ≤ R, а радиальная функция dₕ(u) убывает от максимума в центре к нулю или к меньшим значениям на краях в соответствии с квадратичным законом. При одинаковом численном примере f = 2, R = 8 максимум также равен 8, что удобно для сравнения: различия на рисунках возникают не из-за масштаба, а из-за ориентации и формы d(ξ).

Горизонтальный тип нельзя считать копией вертикального типа. Даже если при выбранных параметрах a = R, базовые диапазоны численно совпадают, формулы dᵥ и dₕ имеют разную зависимость от координаты. В будущих физических расчётах это может приводить к отличиям в плотности отражений, распределении траекторий, форме локальных каустик, спектральной чувствительности и способе связи между внутренними зонами.

Таблица 8.2. Геометрические различия, сохраняющиеся при одинаковых численных масштабах

Признак	Вертикальный тип	Горизонтальный тип	Комментарий
Закон изменения радиуса	Корневой закон R − 2√(f|s|)	Квадратичный закон (R − |u|)²/(4f)	Типы имеют разную локальную кривизну профиля.
Положение фокальной структуры	Фокусы образующей связаны с вертикальной ориентацией профиля	Фокусы связаны с повёрнутой ориентацией	Сравнивать фокусы нужно только по фактически построенным 2D-параболам.
3D-ось вращения	Вращение вокруг оси s / x	Вращение вокруг оси u / y	Пространственные поверхности имеют разную ориентацию.
Рекурсивное ядро	Идентично	Идентично	Различие не в C_R, а в базовой d(ξ).
Физический статус	Гипотеза о возможных режимах требует расчёта	Гипотеза о возможных режимах требует расчёта	Ни один тип не доказывает волновой эффект сам по себе.

8.5. Сравнение второго порядка

Второй порядок является базовым внутренним объёмом, поэтому сравнение типов должно начинаться именно с него. На этом уровне ещё нет смещений R₁, R₂ и нет формального ветвевого разветвления. Различие полностью определяется только базовой функцией dᵥ или dₕ и осью вращения.

На рис. 8.2 показаны два меридиональных сечения при одинаковых параметрах f = 2, R = 8, m = 1, h = 0. В обоих случаях строится один внутренний интервал [0,d], но форма границы различна. Именно это различие затем передаётся всем более высоким порядкам.

Рис. 8.2. Сравнение 2D-сечений второго порядка для вертикального и горизонтального типов. На этом уровне различие вызвано только базовой функцией d(ξ), поскольку рекурсивные смещения ещё не применяются.

8.6. Сравнение третьего порядка

Третий порядок вводит первый рекурсивный параметр R₁. Формально из базового интервала [0,d] возникают два интервала: разностный и суммовой. Однако после Merge они могут соприкасаться или сливаться. При R₁ < max d возникает режим пересечения или вложения, и именно поэтому скрипт не должен останавливаться, а должен строить объединённый объём.

I₃(ξ) = Merge( [max(R₁ − d(ξ),0), R₁] ∪ [R₁, R₁ + d(ξ)] )

На рис. 8.3 видно, что одно и то же рекурсивное действие над разными базовыми функциями даёт разные видимые границы. Это принципиальное обстоятельство: параметры Rᵢ задают одинаковую формальную операцию, но результат всегда зависит от того, какая исходная параболическая геометрия была подана на вход.

Рис. 8.3. Сравнение 2D-сечений третьего порядка. Оба типа используют один и тот же оператор первого рекурсивного смещения R₁, но видимая форма после Merge различается из-за разных базовых dᵥ и dₕ.

8.7. Сравнение четвёртого порядка

Четвёртый порядок особенно важен для сравнительного анализа, потому что на нём появляется второй рекурсивный уровень R₂ и вложенная структура R₂ ± (R₁ ± d). Ветвевое число формальных границ равно четырём, но после интервального объединения количество видимых компонент может быть меньше, больше по участкам или изменяться вдоль оси. Поэтому для научного описания нельзя отождествлять формальные ветви с физическими компонентами общего объёма.

B₄ = { R₂ + (R₁ + d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ − d) }
Ω₄ определяется не списком B₄, а интервальной рекурсией и Merge.

На рисунке 8.4 показано, что четвёртый порядок уже достаточно сложен для демонстрации различий. При одинаковых f, R, R₁ и R₂ вертикальный и горизонтальный типы имеют общую рекурсивную логику, но не совпадающую геометрию граничных зон.

Рис. 8.4. Сравнение 2D-сечений четвёртого порядка. Формальное ветвевое ядро одинаково, но итоговые Merge-границы зависят от базового типа.

Трёхмерное сравнение нужно проводить особенно осторожно. 3D-рисунок показывает поверхности границы общего объёма, а не весь объём как сплошное тело. Яркое меридиональное сечение на 3D необходимо не как декоративный элемент, а как контроль того, что внутренние границы и зоны не потеряны при вращении.

Рис. 8.5. Сравнение 3D-поверхностей четвёртого порядка. В обоих случаях показаны границы общего объёма вращения, но ось вращения и пространственная ориентация различаются.

8.8. Сравнение в рядной системе

После построения одиночного объекта сравнение типов должно быть продолжено в рядной системе. Рядность не меняет внутренний порядок n, но размещает m одинаковых экземпляров вдоль общей оси. Шаг между центрами равен 2L + h, где L — половина осевой длины одного экземпляра данного типа. При h < 0 возникает перекрытие, и общий объём строится как объединение всех рядов с устранением только дублирующейся общей части.

step = 2L + h
Δⱼ = −j(2L + h),    j = 0,1,…,m−1
Ωₙ,ₘ = ⋃ⱼ (Ωₙ + Δⱼ e_ξ)

На рис. 10.6 приведён пример для n = 4, m = 3, h = −2. Это не новая геометрическая операция поверх рекурсии, а внешняя осевая компоновка уже построенных одинаковых объектов. При сравнении видно, что один и тот же режим перекрытия может давать различный вид общей области в вертикальном и горизонтальном типах.

Рис. 8.6. Сравнение рядных систем четвёртого порядка при m = 3 и h = −2. Merge выполняется по общему объёму; искусственные соединения между компонентами не дорисовываются.

Таблица 8.3. Инварианты и неинварианты при сравнении типов

Группа свойств	Сохраняется между типами	Меняется между типами
Рекурсивная логика	Оператор C_R, порядок применения R₁, R₂, …, Merge	Нет
Ветвевое число	Nₙ = 2^(n−2)	Не меняется от ориентации
Базовая геометрия	Параболическая природа образующей	Формула dᵥ(s) или dₕ(u), осевой диапазон и ориентация
3D-восстановление	Поверхность получается вращением меридиональной границы	Ось вращения и пространственная ориентация
Рядность	Формулы step и Δⱼ	Численное L зависит от типа, если параметры выбраны несимметрично
Волновые эффекты	Требуют отдельной проверки	Могут различаться из-за формы области и граничных условий

8.9. Геометрические следствия для будущего волнового моделирования

Сравнительная геометрия вертикального и горизонтального типов имеет прямое значение для будущей физической программы. Если два типа имеют одинаковую рекурсию, но разные базовые функции, то любое различие в волновом поведении должно анализироваться по двум независимым причинам: из-за порядка n и из-за ориентационного типа. Это особенно важно при интерпретации возможных режимов локализации, задержки, направленного вывода или спектральной перестройки.

В настоящем томе допустимо говорить о геометрических предпосылках, но недопустимо говорить о доказанном универсальном удержании волн. Поэтому формулировки должны быть следующими: вертикальный и горизонтальный типы задают разные вычислительные области для проверки гипотез; они могут иметь разные лучевые и модальные свойства; конкретный эффект должен подтверждаться расчётом или экспериментом.

Таблица 8.4. Корректные и некорректные физические формулировки

Тема	Корректно для Том 1	Некорректно без расчётов
Локализация	Геометрия задаёт области, где локализация может проверяться.	Геометрия автоматически удерживает волны любой природы.
Фокусировка	Параболические образующие создают фокальные структуры, которые могут влиять на траектории.	Все волны обязательно фокусируются в заданной точке.
Сравнение типов	Вертикальный и горизонтальный типы требуют отдельного моделирования.	Один тип заранее лучше другого для всех частот.
Порядок n	Рост n увеличивает формальную ветвевую сложность и меняет интервальные зоны.	Рост n сам по себе гарантирует рост добротности.
Рядность h	h меняет связность, касание и перекрытие общей области.	h < 0 всегда улучшает удержание энергии.

8.10. Выводы главы

В этой главе показано, что вертикальный и горизонтальный псевдопараболоиды принадлежат одной рекурсивной теории, но не являются одной и той же геометрией. Их объединяет интервальный оператор C_R, операция Merge, формула Nₙ = 2^(n−2), рядная компоновка и общий язык внутренних объёмов Ωₙ,ₘ. Их различает базовая функция d(ξ), ориентация оси вращения, форма меридионального сечения и пространственная реализация поверхности границы.

Главный результат сравнительной главы состоит в следующем: вертикальный и горизонтальный типы должны рассматриваться как две самостоятельные реализации одного класса псевдопараболоидных внутренних объёмов. Сравнивать их необходимо на одинаковых параметрах и с одинаковой численной постановкой. Только после этого можно переходить к утверждениям о возможных различиях в лучевых, акустических, электромагнитных или иных волновых режимах.

Тем самым глава устраняет ещё одно слабое место первой теории: она заранее отделяет геометрически доказанное от физически предполагаемого и задаёт строгий протокол будущей проверки. Это делает Том 1 не набором заявлений о революционных эффектах, а воспроизводимой конструктивной базой для последующей Геометрической Волновой Инженерии.