Если оставить теорию только в таком виде, то две геометрически одинаковые области, отличающиеся только масштабом, будут выглядеть как разные объекты. Для конструктивной геометрии это неприемлемо, потому что предметом теории является не единичная физическая деталь, а класс геометрически подобных областей.

Поэтому глава вводит безразмерную форму описания. Она выполняет три функции. Во-первых, устраняет зависимость от единиц измерения. Во-вторых, фиксирует, какие параметры отвечают за собственную форму, а какие — только за абсолютный масштаб. В-третьих, подготавливает корректный мост к будущей волновой верификации, где существенными будут не абсолютные длины, а отношения размеров к длине волны или к волновому числу.

10.1. Размерная и безразмерная геометрия

Размерная геометрия использует величины, имеющие физическую единицу длины: a, b, h₁, h, Rₖ, координаты x и ρ, шаг рядной системы, радиусы окон и другие линейные параметры. Такая запись удобна при построении конкретной фигуры, но она скрывает главный инвариант: форму.

Безразмерная геометрия отделяет форму от масштаба. Для этого выбирается базовый линейный масштаб a>0, после чего все координаты и все линейные параметры делятся на a. В результате абсолютный размер исчезает, а остаётся паспорт формы: отношения полуосей, нормированные смещения, нормированные рекурсивные offsets, нормированные параметры открытости и рядности.

x̂ = x/a,     ρ̂ = ρ/a,     Ω̂ₙ = a⁻¹ Ωₙ.

Здесь символ «шляпка» означает безразмерную величину. Такая запись не является новым объектом; она является тем же самым объектом, но описанным в координатах собственной формы.

Рис. 10.1. Переход от размерной геометрии к безразмерному паспорту. Все линейные параметры нормируются на выбранный базовый масштаб a, после чего остаются только параметры формы.

10.2. Выбор базового масштаба для псевдоэллипсоидов

Для псевдоэллипсоидов естественным базовым масштабом является продольная полуось исходного эллипса a. Именно она входит в определение двух четвертьэллиптических ветвей и задаёт исходный продольный размер seed-геометрии. При таком выборе параметр b переводится в отношение K=b/a, а сдвиги h₁ и h становятся безразмерными величинами χ и η.

K = b/a,     χ = h₁/a,     η = h/a.

Если в некоторой нормировке уже принято a=1, то параметры K, h₁ и h могут записываться как безразмерные. Однако в канонической теории лучше явно помнить их происхождение: K всегда является отношением полуосей, а h₁ и h являются нормированными длинами, если исходная запись была размерной.

Радиус смещённой оси вращения также получает безразмерный вид. Если R=b+h, то после деления на a имеем

R̂ = R/a = K + η.

Это соотношение важно для псевдоэллипсоидов, потому что оно показывает: положение оси вращения определяется не абсолютной высотой, а сочетанием формы K и нормированного смещения η.

10.3. Нормированные координаты и seed-параметры

В качестве базового масштаба выбирается продольная полуось исходного эллипса a. Тогда нормированные координаты задаются как

x̂ = x/a,     ρ̂ = ρ/a.

Базовые геометрические параметры переходят в безразмерные отношения:

K = b/a,     χ = h₁/a,     η = h/a.

Здесь K задаёт тип исходной эллиптической геометрии; χ задаёт относительный горизонтальный сдвиг правой четверти; η задаёт относительный подъём или опускание оси вращения. Параметр R=b+h в безразмерной форме записывается как

R̂ = R/a = K + η.

Выбор a как масштаба не является единственно возможным. Можно нормировать на Mₙ, W или Vₙ^{1/3}. Однако для настоящего тома нормировка по a наиболее естественна, потому что a входит в исходные четвертьэллипсы и задаёт общий осевой масштаб seed-геометрии.

Рис. 10.2. Безразмерная нормировка базовой эллиптической геометрии. Размерные параметры переводятся в отношения K=b/a, χ=h₁/a и η=h/a.

10.4. Безразмерные интервальные состояния

Если Iₙ(x) является размерным интервальным состоянием, то его безразмерная форма определяется делением всех радиальных границ на a:

Îₙ(x̂) = { ρ̂ : aρ̂ ∈ Iₙ(ax̂) }.

Для второго порядка это даёт

Î₂(x̂) = [0, d̂(x̂)],     d̂(x̂)=d(ax̂)/a.

Поскольку базовая образующая после нормировки зависит только от K, χ и η, вся seed-часть геометрии становится функцией безразмерных параметров. При этом точки стыка, разрыва, перекрытия и активной обрезки не исчезают: они переходят в соответствующие безразмерные страты.

10.5. Безразмерная форма рекурсивного оператора

Пусть γ_k обозначает нормированный offset:

γ_k = R_k/a.

Тогда оператор C_R в нормированных радиальных координатах принимает вид

C_γ([α̂, β̂]) = [max(γ−β̂, 0), max(γ−α̂, 0)] ∪ [γ+α̂, γ+β̂].

Эта запись заменяет прежнюю ASCII-форму и приводит формулу к единому математическому стилю всей книги. Она показывает, что рекурсия зависит не от абсолютных R_k, а от их отношения к базовому масштабу a.

Безразмерный рекурсивный шаг записывается как

Î_{k+1}(x̂) = Merge( ⋃_{[α̂,β̂]∈Î_k(x̂)} C_{γ_{k−1}}([α̂,β̂]) ).

Следовательно, если два размерных объекта имеют одинаковые K, χ, η и все γ_k, то их интервальная рекурсия в нормированных координатах совпадает.

Рис. 10.3. Безразмерная форма рекурсивного оператора C_gamma. Разностная и суммарная зоны строятся в нормированных радиальных координатах, после чего применяется Merge.

10.6. Безразмерная рядность

Рядная система также нормируется по a. Если h_row обозначает подписанный зазор, касание или перекрытие соседних экземпляров, то

η_row = h_row/a.

Если W — осевая ширина одного экземпляра, а step=W+h_row — шаг рядной компоновки, то

Ŵ = W/a,     step̂ = Ŵ + η_row.

Рядность не вводит новый абсолютный масштаб. Она добавляет безразмерный параметр компоновки η_row, который определяет режим разнесения, касания или перекрытия копий. При этом внутренний порядок n каждого экземпляра не меняется.

10.7. Теорема 10.1. Масштабная инвариантность псевдоэллипсоидов высших порядков

Теорема 10.1. Пусть все линейные параметры псевдоэллипсоида высшего порядка умножаются на один и тот же коэффициент s>0:

(a,b,h₁,h,R₁,…,Rₙ₋₂,h_row) ↦ s(a,b,h₁,h,R₁,…,Rₙ₋₂,h_row).

Тогда безразмерные параметры K, χ, η, γ_k и η_row не изменяются, а безразмерные области Ω̂ₙ и Ω̂ₙ,ₘ сохраняют одну и ту же форму, интервальную структуру, число компонент и морфологический паспорт.

Доказательство.

При однородном масштабировании все линейные величины умножаются на s. Поэтому отношения b/a, h₁/a, h/a, R_k/a и h_row/a остаются теми же. Нормированные координаты x̂=x/a и ρ̂=ρ/a также сохраняют координатное описание формы. Следовательно, seed-профиль d̂ не меняется.

Безразмерный рекурсивный оператор зависит только от γ_k. Так как все γ_k инвариантны, вся последовательность Î₂, Î₃, …, Îₙ сохраняется. Операция Merge зависит только от пересечения и касания интервалов в безразмерной координате, поэтому она даёт тот же канонический результат. Рядная компоновка зависит от η_row и Ŵ, которые также сохраняются. Следовательно, Ω̂ₙ, Ω̂ₙ,ₘ и их морфологические признаки не меняются. Теорема доказана.

Рис. 10.4. Масштабная инвариантность. Однородное увеличение всех линейных параметров меняет абсолютные длины, но не меняет форму в безразмерных координатах.

10.8. Явный список безразмерных инвариантов

Для исключения разброса обозначений по тексту введём единый список инвариантов псевдоэллипсоида высшего порядка. Геометрический паспорт включает:

K=b/a — инвариант формы исходных эллиптических четвертей; χ=h₁/a — инвариант сдвига правой четверти; η=h/a — инвариант положения оси вращения; γ_k=R_k/a — инварианты рекурсивных смещений; η_row=h_row/a — инвариант рядной компоновки; n — внутренний порядок; m — число рядных экземпляров.

Для перехода к волновым задачам одного геометрического паспорта недостаточно. Дополнительно вводятся волновые безразмерные параметры:

ka=(2π/λ)a,     kR_k,     k·d_tip,     k·w_eq,     k·r_throat.

Здесь d_tip=max(h,0) — реальный торцевой радиус; w_eq=max(h₁,0) — ширина экваториального промежутка; r_throat — радиус шейки в трёхфокусном подсемействе, если она геометрически реализована.

Две конфигурации с одинаковыми геометрическими инвариантами геометрически подобны. Две волновые постановки можно считать волново сопоставимыми только при совпадении также волновых инвариантов, типа уравнения, материала, граничных условий и способа возбуждения. Поэтому фраза «одинаковые инварианты дают одинаковую физику» без этих условий была бы некорректной.

Рис. 10.5. Безразмерный паспорт конфигурации. Геометрические инварианты задают класс подобия, а волновые инварианты нужны только на этапе последующей PDE-верификации.

10.9. Следствия для геометрических функционалов

Из Теоремы 10.1 следует масштабирование основных геометрических функционалов. Если все линейные размеры умножены на s, то длины умножаются на s, площади сечений и площади границы — на s², а объёмы — на s³.

Mₙ ↦ sMₙ,     Aₙ ↦ s²Aₙ,     Sₙ ↦ s²Sₙ,     Vₙ ↦ s³Vₙ.

Для рядной системы действует тот же закон, поскольку она является конечным объединением перенесённых копий. Объёмный дефект перекрытия также масштабируется как объём:

ΔVₙ,ₘ ↦ s³ΔVₙ,ₘ.

Эти следствия являются геометрическими. Они не утверждают, что коэффициент передачи, добротность или диаграмма направленности масштабируются так же. Такие величины зависят от волновой постановки.

Рис. 10.6. Масштабирование геометрических функционалов. Длины масштабируются как s, площади — как s², объёмы — как s³.

10.10. Масштабная инвариантность и будущая волновая верификация

Для будущей волновой задачи важны не только K, χ, η, γ_k и η_row, но и спектральные параметры: ka, kR, kR_k, отношение ширины окна к длине волны, отношение шейки к длине волны и другие комбинации геометрии с волновым масштабом.

ka,     kR,     kR_k,     d_tip/λ,     w_eq/λ,     r_throat/λ.

Поэтому результат главы нужно формулировать строго: геометрическая часть масштабно инвариантна. Но наличие локализации, спектральных окон, направленного вывода, высокой добротности или межфизической универсальности из этого автоматически не следует. Эти утверждения относятся к программе C1–C8 и должны проверяться отдельно.

Рис. 10.7. Безразмерная геометрия как мост к будущей волновой верификации. Масштабная инвариантность необходима для C6, но сама по себе не закрывает C2-C8.

10.11. Выводы главы

Глава приводит теорию псевдоэллипсоидов высших порядков к единой безразмерной форме. Исправлена формула C_γ, а теорема масштабной инвариантности получила корректный номер Теорема 10.1.

Введён явный список безразмерных инвариантов: K, χ, η, γ_k, η_row, n и m для геометрии; ka, kR_k, k·d_tip, k·w_eq и k·r_throat для будущей волновой постановки. Это устраняет разброс обозначений и делает конфигурации сопоставимыми между собой.

Доказано, что при однородном масштабировании всех линейных параметров безразмерная форма, рекурсивная структура, Merge-канонизация, компонентность и морфологический паспорт не меняются. Размерные длины, площади и объёмы масштабируются соответственно как s, s² и s³.

Глава не делает физического вывода о доказанном управлении волнами. Она устанавливает необходимую геометрическую основу для критерия C6 и задаёт язык, на котором в следующих томах должны формулироваться проверяемые волновые задачи.