2.1. Составная четверть эллиптическая образующая

Исходная плоская конструкция задаётся двумя положительными полуосями a и b. Полуось a измеряется вдоль координаты x и определяет продольный масштаб каждой исходной эллиптической четверти. Полуось b задаёт поперечный масштаб. Их отношение K=b/a является главным безразмерным параметром базовой формы. При K<1 исходные эллипсы вытянуты вдоль x и образующая относится к горизонтальному типу. При K>1 эллипсы вытянуты по вертикали и возникает вертикальный тип. Предельный случай K=1 геометрически соответствует круговым четвертям; в текущем скриптовом построении он не используется как основная ветвь классификации, но остаётся полезным как калибровочная граница между горизонтальным и вертикальным режимами.

Левая четверть является частью эллипса с центром в точке (-a,0). Правая четверть является частью такого же эллипса, центр которого расположен в точке (a+h₁,0). Поэтому параметр h₁ не меняет форму одной дуги: он меняет взаимное положение двух одинаковых четвертьэллиптических сегментов. Это принципиально важно. Параметр K управляет типом самой эллиптической дуги, а h₁ управляет способом сборки двух дуг в единую составную образующую.

Для левой ветви используется верхняя часть эллипса на отрезке от x=-a до x=0. Для правой ветви используется верхняя часть правого эллипса на отрезке от x=h₁ до x=a+h₁. В человекочитаемой форме это можно записать так:

y_L(x) = b · sqrt(1 − ((x+a)² / a²)),     −a ≤ x ≤ 0

y_R(x) = b · sqrt(1 − ((x−a−h₁)² / a²)),     h₁ ≤ x ≤ a+h₁

Эти две формулы ещё не являются полным определением псевдоэллипсоидной образующей. Они задают только локальные порождающие дуги. Полная образующая появляется после правила сборки: при h₁=0 дуги сходятся в общей нижней точке; при h₁>0 между дугами появляется промежуточный участок; при h₁<0 дуги перекрываются и активной становится верхняя огибающая. В этом состоит главное отличие данной геометрии от обычного эллипса: объект определяется не одной элементарной кривой, а парой эллиптических сегментов плюс правилом их объединения.

На гладких участках каждая четверть наследует свойства эллипса. В частности, у неё имеется определённая фокальная структура, конечная кривизна вдали от предельных точек и монотонное изменение высоты от верхнего торца к нижнему стыку. Но в точках соединения, разрыва или перехода к огибающей гладкость может нарушаться. Поэтому базовая образующая является кусочно-гладкой кривой: она имеет гладкие эллиптические участки и специальные точки, которые должны быть названы отдельно, а не скрыты внутри общей формулы.

Горизонтальный и вертикальный типы различаются не способом сборки, а геометрией исходных эллипсов. При K<1 фокусы каждой исходной дуги лежат на горизонтальной оси. При K>1 они лежат на вертикальной оси. Это различие уже на уровне плоской образующей меняет расположение фокальных ориентиров и характер центральной области. Поэтому горизонтальный и вертикальный псевдоэллипсоиды нельзя считать одним и тем же объектом, просто растянутым в разных масштабах. Это две ветви одного конструктивного семейства.

Рис. 2.1. Базовая составная эллиптическая образующая горизонтального типа. Параметры: a=1, K=0.50, h₁=0, h=0. Показаны две исходные эллиптические дуги, активная составная образующая, смещённая ось R и реальные фокусы исходных эллипсов.

Случай, когда К=1 заслуживает отдельного рассмотрения. В этом случае два фокуса эллипса вырождаются в один фокус окружности.

Рис. 2.2. Образующая вырожденного псевдоэллипсоида для построения псевдосферы. Показывает построение образующей из двух симметричных кругов с касанием по линии фокусов, размещённых горизонтально. Сверху красным пунктиром показана ось вращения.

Рис. 2.3. Базовая составная эллиптическая образующая вертикального типа. Параметры: a=1, K=1.50, h₁=0, h=0. В отличие от горизонтального типа, фокальная ось исходных эллипсов ориентирована вертикально.

Рисунки 2.1 — 2.3 показывают один и тот же алгоритм построения, но разные геометрические типы. Во всех случаях активная кривая не является полным эллипсом. Она является только тем фрагментом исходной эллиптической геометрии, который участвует в построении псевдоэллипсоидной образующей. Серые пунктирные эллипсы служат не новым элементом теории, а визуальной подсказкой: они показывают, из каких полных эллипсов взяты четвертьсегменты.

Эта локальная конструкция имеет ещё одно важное следствие. Если далее перейти от плоской образующей к поверхности вращения с радиальной функцией d(x)=R−y_act(x), то на гладких участках, где d(x)>0 и активный профиль совпадает с эллиптической дугой, гауссова кривизна поверхности вращения имеет отрицательный знак. Для поверхности вращения радиуса d(x) вокруг оси x справедлива стандартная формула:

K_G(x) = − d″(x) / [ d(x) · (1 + d′(x)²)² ]

У эллиптической верхней ветви в рассматриваемых четвертях вторая производная y″(x) отрицательна. Поскольку d(x)=R−y(x), получаем d″(x)=−y″(x)>0. Следовательно, при d(x)>0 гладкие регулярные участки канонической поверхности вращения имеют отрицательную гауссову кривизну. Это утверждение относится только к гладким участкам. В точках стыка, разрыва, активной обрезки или вырождения радиуса гладкая кривизна не должна приписываться без дополнительной стратифицированной интерпретации.

Такое уточнение важно для всей серии работ о псевдоповерхностях с внутренней переменной отрицательной кривизной. Отрицательная кривизна здесь не является лозунгом и не вводится по аналогии. Она следует из конкретной формы активного радиального профиля на гладких эллиптических участках. Одновременно теория честно признаёт особые точки, где обычная дифференциальная геометрия гладкой поверхности уже неприменима.

2.2. Определение образующей при разных h1 и трёхфокусное подсемейство образующей

Параметр h₁ является собственным морфологическим каналом псевдоэллипсоидной образующей. В псевдогиперболоидной и псевдопараболоидной ветвях такой параметр не играет аналогичной роли, потому что там базовая форма не собирается из двух разнесённых четвертей эллипсов. В псевдоэллипсоиде же именно h₁ определяет, как левая и правая дуги входят в контакт: через стык, разрыв или перекрытие.

При h₁=0 правая дуга начинается в той же точке, где заканчивается левая. Центральная точка x=0, y=0 становится общей нижней точкой двух четвертей. Важно понимать, что это не гладкое продолжение одной эллиптической дуги. Слева и справа к этой точке подходят разные эллиптические четверти, и касательные имеют предельный вертикальный характер. Поэтому центральный стык является геометрически особой точкой, а не обычной внутренней точкой гладкой кривой.

При h₁>0 две дуги раздвигаются. Между x=0 и x=h₁ появляется промежуток, где в вычислительной реализации профиль доопределяется нулевым уровнем. На уровне главы 2 это следует трактовать прежде всего как геометрическую метку разнесения дуг и как способ сохранить единую осевую сетку для построения. Физическая интерпретация этого промежутка как окна, вставки или открытого участка должна задаваться отдельно в главах о режимах открытости. В данной главе важно только то, что базовая образующая уже перестаёт быть двухдуговой кривой со стыком и переходит в режим разнесённой сборки.

При h₁<0 дуги перекрываются по координате x. Тогда нельзя просто сложить две формулы и нельзя произвольно выбрать одну из них. Корректное правило, согласованное со скриптом, состоит в выборе верхней огибающей на участке перекрытия. То есть в области, где обе ветви существуют одновременно, активная высота y(x) берётся как максимум из y_L(x) и y_R(x). Вне участка перекрытия сохраняется та ветвь, которая определена на соответствующем интервале.

при h₁ < 0 на общей части:     y(x) = max( y_L(x), y_R(x) )

Если −2a < h₁ < 0, симметричная точка переключения между ветвями находится при x*=h₁/2. В этой точке активная функция остаётся непрерывной, но её производная в общем случае меняет знак скачком. Поэтому x* является не дефектом рисунка, а реальным геометрическим узлом составной образующей. В дальнейших численных задачах такая точка должна рассматриваться как особая точка профиля, поскольку она задаёт смену порождающей эллиптической ветви.

Словесно три режима h₁ можно описать так. Нулевое значение h₁ создаёт минимальную базовую сборку без промежутка и без перекрытия. Положительное h₁ создаёт центральное разнесение четвертей, то есть промежуток между дугами. Отрицательное h₁ создаёт центральное наложение двух эллиптических ветвей и требует правила верхней огибающей. Это описание заменяет громоздкую таблицу: в нём ясно видно, что меняется не эллипс как локальная кривая, а способ сборки двух его четвертей.

Рис. 2.4. Три режима параметра h₁ для базовой эллиптической образующей: стык, центральный разрыв и перекрытие с верхней огибающей. Все три панели построены по одной и той же формуле четвертьэллипсов; меняется только взаимное положение правой дуги.

Особое место занимает трёхфокусное подсемейство. Оно возможно только при K<1, то есть в горизонтальном типе, где фокусы исходных эллипсов лежат на оси x. Пусть c обозначает фокальное расстояние каждого исходного эллипса от его центра. В общем размерном виде c=a·sqrt(1−K²). Совпадение внутреннего фокуса левой дуги с внутренним фокусом правой дуги происходит при специальном значении h₁:

h₁^(3f) = 2a · ( sqrt(1 − K²) − 1 ),     K < 1

Если используется безразмерная нормировка a=1, эта формула принимает более компактный вид h₁^(3f)=2·sqrt(1−K²)−2. Именно такая запись часто удобна для рисунков и расчётов. Но в общей теории важно сохранять размерный множитель a, иначе h₁ ошибочно превращается из длины в безразмерное число.

В трёхфокусном случае один из внутренних фокусов двух исходных эллипсов становится общим. Координата этой общей фокальной точки равна x_f=h₁/2. В той же центральной области возникает характерная шейковая геометрия составной образующей. Высота активной образующей в этой точке для безразмерной нормировки a=1 равна K², а в общем размерном виде равна aK². После выбора уровня оси вращения R=b+h=aK+h локальный радиус соответствующей шейковой зоны выражается как:

r_throat = R − aK² = aK + h − aK²

При a=1 эта запись переходит в r_throat=K+h−K². Здесь нужно сделать важное методологическое уточнение: трёхфокусность является геометрическим свойством плоской составной образующей. Она не доказывает сама по себе наличие трёхмерного волнового фокуса. Её научный смысл в главе 2 состоит в другом: она выделяет точный подслучай, где центральная область не является произвольным перекрытием, а имеет строгую фокальную причину и определённую шейковую метрику.

Таким образом, отрицательное h₁ задаёт общий режим перекрытия, но только специальное значение h₁^(3f) задаёт трёхфокусное подсемейство. Это различение необходимо сохранить, иначе любое перекрытие дуг было бы ошибочно названо трёхфокусным. В научной редакции главы следует говорить так: h₁<0 даёт область верхней огибающей, а трёхфокусность возникает только при дополнительном фокальном условии.

Рис. 2.5. Трёхфокусное подсемейство горизонтальной базовой образующей. Для K=0.60 получается h₁=-0.40; внутренние фокусы двух эллиптических дуг совпадают, а центральная область получает точный шейковый статус.

2.3. Определение образующей при разных h

Параметр h отвечает не за форму одной эллиптической четверти и не за взаимное положение двух дуг. Его роль иная: он задаёт уровень оси вращения через величину R=b+h. Поэтому h является параметром положения оси относительно верхнего уровня исходных четвертьэллипсов. Это различение принципиально. Если K и h₁ определяют плоскую сборку дуг, то h определяет, какая часть этой сборки становится активной относительно оси вращения.

Для построения рабочей радиальной функции недостаточно знать только y(x). Необходимо ввести активный профиль y_act(x). Он получается отсечением тех участков исходной высоты, которые оказываются выше уровня оси R. В человекочитаемой форме это записывается так:

R = b + h = aK + h

y_act(x) = min( y(x), R )

d(x) = R − y_act(x)

Функция d(x) является расстоянием от оси вращения до активной образующей. Именно эта функция определяет локальный радиус будущего тела вращения на уровне второго порядка. Однако в данной главе её нужно рассматривать только как геометрическое следствие базовой образующей, а не как начало теории высших порядков.

При h=0 ось вращения проходит на уровне R=b. Поскольку торцевые вершины исходных четвертьэллипсов имеют высоту y=b, локальный радиус на торцах равен нулю. Это предельный закрытый режим по торцам. При h>0 ось поднимается выше уровня b, и на торцах появляется положительное расстояние d_tip=R−b=h. Поэтому положительное h имеет непосредственный смысл радиуса торцевого раскрытия.

При h<0 ось опускается ниже уровня b. В этом случае часть исходной эллиптической дуги оказывается выше оси вращения и не может входить в активный профиль без обрезки. Поэтому y_act(x)=R на тех участках, где y(x)>R, а локальный радиус d(x) обращается в ноль. Такое обнуление не означает отрицательного окна и не должно интерпретироваться как физическая апертура отрицательного радиуса. Реальный торцевой радиус всегда неотрицателен:

d_tip = max(h, 0)

Для корректности параметризации необходимо также помнить условие R>0. Если R не положителен, ось вращения теряет геометрический смысл как положительный радиальный уровень относительно исходной плоскости построения. Поэтому в физически содержательных конфигурациях h должен выбираться так, чтобы b+h>0.

Научный смысл параметра h состоит в том, что он отделяет два разных понятия: подписанное положение оси и реальный размер торцевого раскрытия. Подписанная величина h может быть отрицательной, нулевой или положительной. Реальный радиус торцевой апертуры не может быть отрицательным и поэтому задаётся только через max(h,0). Это уточнение устраняет распространённую ошибку, при которой h<0 ошибочно трактуется как «отрицательное отверстие». В действительности при h<0 торец закрывается активной обрезкой профиля.

Рис. 2.6. Влияние параметра h на уровень оси вращения R=b+h и активный профиль y_act(x). При h<0 часть исходной дуги обрезается уровнем R, при h=0 торец находится в предельном касании, при h>0 появляется положительный торцевой радиус d_tip=h.

Рисунок 2.6 показывает, что параметр h не меняет сами эллиптические дуги. Серый профиль остаётся тем же. Меняется только уровень оси R и, следовательно, активная часть профиля. Это ещё раз подчёркивает необходимость не смешивать h с h₁: первый отвечает за ось вращения и торцевой радиус, второй — за взаимное положение левой и правой четвертей.

2.4. Определение образующей при разных h и h1

Параметры h и h₁ действуют на разных геометрических уровнях, но в реальной базовой образующей они работают совместно. Поэтому после раздельного анализа необходимо описать их одновременное влияние. Самая короткая формула здесь такая: h₁ перестраивает центральную сборку двух дуг, а h задаёт положение оси вращения и активную обрезку профиля. При совместном изменении этих параметров возникает несколько качественно разных геометрических сценариев.

Если h=0 и h₁=0, получается базовая замкнутая по торцам и минимально собранная образующая. Она имеет центральный стык двух четвертей и нулевой торцевой радиус. Это естественная исходная конфигурация для чистой геометрической калибровки.

Если h>0 при h₁=0, центральная сборка остаётся прежней, но торцы получают положительный радиус. То есть геометрия меняется не в центральной области, а на концах активного профиля. Если h=0 при h₁>0, торцы остаются предельными, но между дугами появляется центральный промежуток. Если одновременно h>0 и h₁>0, действуют оба механизма: торцевое раскрытие и центральное разнесение дуг.

В словесной форме эту классификацию можно представить без таблицы. Нулевая пара (h,h₁) задаёт базовый стык. Положительное h при нулевом h₁ добавляет торцевой радиус без изменения центральной сборки. Положительное h₁ при нулевом h добавляет центральное разнесение без торцевого раскрытия. Одновременная положительность h и h₁ создаёт комбинированную геометрию, где два независимых канала формы действуют одновременно.

При h₁<0 центральная область устроена иначе: вместо промежутка возникает перекрытие дуг и верхняя огибающая. В таком случае параметр h уже определяет не ширину разрыва, а радиальную реализуемость шейковой или перекрывающейся центральной зоны. Особенно это важно для трёхфокусного подсемейства, где радиус r_throat должен оставаться положительным, если шейка должна существовать как реальная часть внутренней геометрии.

Рис. 2.7. Совместное влияние h и h₁ на базовую эллиптическую образующую. На рисунке показаны четыре базовых сценария: исходный стык, торцевое раскрытие, центральный разрыв и комбинированное изменение формы.

Важный научный вывод раздела состоит в том, что h и h₁ нельзя объединять в один «параметр открытости». Они независимы. Параметр h связан с уровнем оси вращения и торцевым радиусом. Параметр h₁ связан с топологией сборки двух четвертьэллиптических дуг. Поэтому одна и та же величина торцевого радиуса может сочетаться с разными центральными режимами, а один и тот же центральный режим может существовать при разных положениях оси вращения.

Это разделение делает псевдоэллипсоидную образующую богаче классической эллиптической формы. В обычном эллипсоиде нет независимого параметра, который раздвигает две четверти исходной образующей, и нет отдельного параметра, который задаёт смещённую ось вращения как самостоятельный управляющий уровень. В псевдоэллипсоиде эти два механизма существуют одновременно и образуют собственный геометрический язык семейства.

2.5. Геометрическая карта 14 канонических типов образующих

Семейство базовых эллиптических образующих непрерывно по параметрам K, h₁ и h. Однако для построения теории, сравнения рисунков и последующих расчётных задач удобно выделить конечный набор канонических типов. Такой набор не заменяет непрерывное семейство, но задаёт его опорные режимы. В текущей редакции используются четырнадцать типов, которые охватывают горизонтальный, переходный круговой, вертикальный и трёхфокусный случаи при разных вариантах центрального и торцевого состояния.

Первые четыре типа относятся к горизонтальной эллиптической геометрии K<1. Они показывают, как один и тот же горизонтальный характер фокусов сочетается с закрытым, торцевым, центрально-разнесённым и комбинированным режимом. Следующие четыре типа повторяют эту логику для предельного кругового случая K=1. Хотя текущий скрипт высших порядков исключает K=1 как основную рабочую ветвь, геометрически этот случай полезен как граница между горизонтальной и вертикальной фокальной структурой. Ещё четыре типа относятся к вертикальной геометрии K>1, где фокусы исходных эллипсов лежат по вертикали. Наконец, два специальных типа выделяют трёхфокусное горизонтальное подсемейство: закрытый и торцево-раскрытый варианты.

Смысл этой карты не в том, чтобы превратить главу в каталог форм. Её задача — показать, что вся видимая морфология образующих возникает из трёх параметров. Параметр K задаёт тип эллипса и ориентацию фокальной структуры. Параметр h₁ задаёт стык, разнесение или перекрытие дуг. Параметр h задаёт уровень оси и торцевую активность профиля. Поэтому четырнадцать типов являются не произвольными картинками, а дискретными представителями одной параметрической геометрии.

Рис. 2.8. Геометрическая карта четырнадцати канонических типов базовой эллиптической образующей. Каждая миниатюра построена по одному и тому же правилу двух четвертьэллипсов; меняются только K, h₁ и h.

На рисунке зелёные линии показывают активную часть относительно уровня оси R, красная пунктирная линия — сам уровень R. Такая запись позволяет увидеть, что даже сложная карта типов не требует отдельной формулы для каждого случая. Все типы являются вариантами одной базовой процедуры: построить две четвертьэллиптические дуги, собрать их по правилу h₁, выбрать уровень R=b+h и получить активную образующую.

В публикационной версии тома таблицу 14 типов можно оставить только в том случае, если она необходима для строгой навигации по расчётным обозначениям. Но научное объяснение карты должно быть словесным, как в настоящем разделе. Таблица сама по себе не объясняет, почему типы образуют систему. Система возникает из независимости трёх параметров и из того, что каждый параметр отвечает за собственный геометрический канал.

Наконец, нужно подчеркнуть границу интерпретации. Карта 14 типов является геометрической картой образующих. Она не доказывает волновую локализацию, направленный вывод или универсальность. Она только фиксирует базовые формы, на которых в дальнейших главах можно ставить такие вопросы. Это делает главу 2 строгой: она заканчивается не физическим обещанием, а завершённым геометрическим паспортом исходной псевдоэллипсоидной образующей.

2.6. Выводы главы

Базовая эллиптическая образующая псевдоэллипсоида высших порядков является самостоятельным математическим объектом. Она не совпадает с полным эллипсом, не является обычной дугой классического эллипсоида вращения и не должна подменяться художественной сглаженной кривой. Её сущность состоит в сборке двух четвертей эллипсов с последующим выбором активного профиля относительно смещённой оси вращения.

В главе выделены три независимых управляющих параметра. Параметр K=b/a задаёт тип исходной эллиптической геометрии: горизонтальный, предельный круговой или вертикальный. Параметр h₁ задаёт способ соединения двух дуг: стык, разнесение или перекрытие с верхней огибающей. Параметр h задаёт уровень оси вращения R=b+h и тем самым определяет активную обрезку профиля и реальный торцевой радиус d_tip=max(h,0).

На гладких участках активной эллиптической ветви поверхность вращения, задаваемая радиальной функцией d(x)=R−y_act(x), имеет отрицательную гауссову кривизну при d(x)>0. При этом точки стыка, разрыва, огибающей, активной обрезки и вырождения радиуса являются особыми геометрическими местами. Они не должны искусственно сглаживаться в теории, потому что именно они определяют корректную стратификацию базовой формы.

Трёхфокусное подсемейство является не произвольным вариантом перекрытия, а строго выделенным горизонтальным случаем, в котором один внутренний фокус левой дуги совпадает с одним внутренним фокусом правой дуги. В общем размерном виде это задаётся условием h₁^(3f)=2a·(sqrt(1−K²)−1). Поэтому всякое трёхфокусное построение является перекрытием, но не всякое перекрытие является трёхфокусным.