3.1. Радиальная функция второго порядка

После выбора образующей y(x) строится не просто линия на плоскости, а радиальная функция расстояния от оси вращения до рабочей границы. Эта функция является входом для интервальной геометрии. В скрипте она вычисляется в ellipsoid_base_grid через y_act = min(y,R) и d = max(R-y_act,0). В базовом режиме h=0 и R=b, поэтому d(x) = b — y(x). Значение d(x) неотрицательно на всём определённом участке и обращается в нуль там, где образующая касается уровня оси вращения.

Второй порядок является исходным внутренним объёмом. В меридиональном сечении он задаётся интервалом I_2(x)=[0,d(x)]. После вращения вокруг оси x получается тело вращения, граница которого сохраняет эллиптическое происхождение образующей, но не совпадает с классическим эллипсоидом. Именно эта разница даёт основание использовать термин «псевдоэллипсоид»: эллиптическая фокусная структура сохраняется в порождающих дугах, но внутренняя область и её стратификация отличаются от классического гладкого эллипсоида.

3.2. Горизонтальный псевдоэллипсоид второг порядка

Горизонтальный псевдоэллипсоид второго порядка соответствует случаю K < 1. Это означает, что исходные эллиптические дуги вытянуты вдоль оси x, а фокальная ось каждого эллипса лежит горизонтально. В базовой нормировке a = 1, b = K, поэтому уменьшение K делает эллиптические четверти более плоскими, а увеличение K к единице приближает их к круговой предельной форме.

В горизонтальном типе радиальная функция d(x) имеет характер, отличный от классического эллипсоида вращения. Классический эллипсоид строился бы из единой гладкой эллиптической дуги и имел бы одну непрерывную аналитическую поверхность. Здесь же граница создаётся двумя четвертьэллипсами, которые в базовом режиме h₁ = 0 сходятся в центральной точке. После перехода к d(x) эта точка становится центральной стратифицированной областью меридионального сечения. Она не должна автоматически интерпретироваться как доказанный физический фокус, но является важным геометрическим маркером второго порядка.

При h = 0 и h₁ = 0 горизонтальный второй порядок закрыт по торцам и не содержит экваториального окна. В каждой осевой точке, где определена активная образующая, внутреннее сечение имеет радиус d(x). На рисунке 3.1 показано меридиональное сечение такого объекта. Оно демонстрирует, что второй порядок представляет собой заполненную область, а не только верхнюю и нижнюю линии. Нижняя радиальная граница совпадает с осью вращения; поэтому отдельной внутренней стенки здесь нет.

Рисунок 3.1. Меридиональное сечение псевдоэллипсоида второго порядка: горизонтальный тип K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, m = 1. Построено по скриптовой радиальной функции d(x).

Фокусы на 2D-сечении имеют статус фокусов исходных эллиптических дуг. Для горизонтального типа они располагаются вдоль оси x. Если a = 1 и b = K, то расстояние от центра каждого исходного эллипса до его фокусов равно c = √(1 − K²). Поэтому при K = 0.5 фокусное расстояние заметно выражено, а фокальная структура хорошо различима. Однако необходимо сохранять строгую границу интерпретации: фокусы плоской образующей не являются автоматически точками концентрации волнового поля. Они являются геометрическими ориентирами, которые могут стать предметом проверки в последующих томах.

Горизонтальный тип особенно важен для всей серии псевдоповерхностей, потому что он показывает, как эллиптическая фокальная структура может быть встроена в осесимметричную полость без превращения её в обычный эллипсоид. Здесь нет единой гладкой эллиптической поверхности, построенной классическим вращением полной полуэллиптической дуги. Есть составная порождающая система, смещённая ось, активная радиальная функция и внутренний объём, задаваемый интервалом [0,d(x)]. Именно это делает объект псевдоэллипсоидом, а не эллипсоидом.

Трёхмерная визуализация горизонтального типа строится вращением радиуса d(x) вокруг оси x. На 3D-изображении фокусы не наносятся, потому что они относятся к плоской порождающей геометрии, а не к пространственной поверхности как таковой. Важнее другое: на 3D-поверхности должно сохраняться равенство масштабов по осям и яркое меридиональное сечение, показывающее, что визуализируется граница внутреннего объёма, а не произвольная оболочка.

Рисунок 3.2. 3D-поверхность псевдоэллипсоида второго порядка для горизонтального типа K = 0.5. Фокусы не наносятся; яркое меридиональное сечение служит контролем реального внутреннего объёма.

С научной точки зрения горизонтальный второй порядок выполняет роль эталонного исходного состояния для всех горизонтальных псевдоэллипсоидов высших порядков. Любое дальнейшее смещение, кольцевая зона, рекурсивный интервал или рядная система будут наследовать именно эту функцию d(x). Поэтому если на уровне второго порядка неверно построить активный профиль, ошибочно соединить несвязанные участки, неправильно нанести фокусы или смешать образующую с внутренним объёмом, ошибка неизбежно перейдёт во все следующие главы.

3.3. Вертикальный псевдоэллипсоид 2-го порядка

Вертикальный псевдоэллипсоид второго порядка соответствует случаю K > 1. Здесь поперечная полуось исходного эллипса больше продольной полуоси a, поэтому фокальная ось каждого исходного эллипса ориентирована вертикально. Это делает вертикальный тип не простым масштабированным вариантом горизонтального, а отдельной геометрической ветвью семейства.

В базовой записи b = aK, и при a = 1, K = 1.5 эллиптические четверти вытянуты по высоте. Уровень оси вращения в режиме h = 0 равен R = b. Поэтому активный профиль и радиальная функция определяются теми же правилами, что и для горизонтального типа, но распределение d(x) вдоль осевой координаты меняется. Визуально вертикальный тип создаёт более высокую исходную образующую и иной характер изменения внутреннего радиуса.

Важно подчеркнуть, что вертикальный и горизонтальный типы используют один и тот же алгоритм второго порядка. Сначала строятся две четвертьэллиптические дуги. Затем формируется активный профиль y_act(x). После этого вычисляется радиальная функция d(x). Затем интервал [0,d(x)] вращается вокруг оси x. Отличается не логика построения, а тип эллипса, положение фокусов и распределение радиального размера.

Рисунок 3.3. Меридиональное сечение псевдоэллипсоида второго порядка: вертикальный тип K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, m = 1. Видна вертикальная фокальная природа исходных дуг и соответствующая радиальная область.

Для вертикального типа расстояние до фокусов исходного эллипса равно c = √(K² − 1). При K = 1.5 фокусы располагаются выше и ниже центра каждой исходной эллиптической дуги. Такая фокальная структура не должна переноситься на 3D-поверхность как набор физических точек или линий без дополнительного анализа. В главе 3 она нужна для строгого различения типов образующей и для контроля того, что вертикальный режим действительно отличается от горизонтального уже на уровне исходного второго порядка.

Трёхмерное построение вертикального типа показывает более массивную и более радиально развитую форму. При этом объект всё ещё остаётся вторым порядком: он не содержит внутренних рекурсивных зон. Вся 3D-поверхность является внешней границей области Ω₂. Яркое меридиональное сечение на 3D-рисунке важно именно потому, что оно связывает пространственную поверхность с исходной функцией d(x), а не позволяет воспринимать рисунок как произвольную визуализацию.

Рисунок 3.4. 3D-поверхность псевдоэллипсоида второго порядка для вертикального типа K = 1.5. Сохранён реальный масштаб осей; фокусы не наносятся, чтобы не смешивать плоскую фокальную схему с пространственной областью.

Вертикальный тип особенно важен для последующей теории потому, что он показывает: один и тот же оператор построения может порождать качественно разные базовые объёмы в зависимости от K. Поэтому классификация K < 1 и K > 1 не является декоративной. Она задаёт два разных геометрических источника для последующей рекурсии. В дальнейшем эти различия могут повлиять на лучевую статистику и модовую структуру, но такие утверждения должны оставаться за пределами главы 3: здесь устанавливается только геометрическое различие.

Если горизонтальный тип подчёркивает вытянутость порождающей дуги вдоль оси x, то вертикальный тип подчёркивает поперечное развитие образующей. В обоих случаях приставка «псевдо» указывает не на произвольность формы, а на то, что классический эллипс используется не напрямую, а через составную, смещённую и активированную радиальную конструкцию. Именно эта конструкция создаёт внутренний объём второго порядка, пригодный для последующего повышения порядка.

3.4. Трёхфокусное подсемейство псевдоэллипсоидов

Трёхфокусное подсемейство является специальным случаем горизонтального режима. Оно не вводит новый порядок и не является отдельной рекурсивной операцией. Его смысл полностью лежит в геометрии второго порядка: это особая сборка двух эллиптических четвертей, при которой один внутренний фокус левой дуги совпадает с одним внутренним фокусом правой дуги.

Для горизонтального типа при a = 1 и b = K фокусное расстояние каждой исходной эллиптической дуги равно c = √(1 − K²). Левая дуга имеет внутренний фокус, смещённый к центру, и правая дуга имеет внутренний фокус, смещённый к центру с другой стороны. Условие их совпадения задаёт специальное значение h₁:

h₁^(3f) = 2√(1 − K²) − 2,     K < 1.

Это условие не является произвольной настройкой. Оно следует из совпадения координат внутренних фокусов двух эллиптических дуг. Поэтому трёхфокусное подсемейство нужно рассматривать как точный геометрический слой внутри горизонтальных псевдоэллипсоидов, а не как визуальную разновидность рисунка.

При K = 0.6 получается h₁ = −0.4. Отрицательное значение h₁ означает перекрытие двух четвертьэллиптических ветвей. Но не всякое перекрытие является трёхфокусным. Перекрытие — это общий режим h₁ < 0; трёхфокусность — это специальное равенство, при котором внутренние фокусы совпадают. Поэтому в научном изложении необходимо разделять эти два понятия.

Рисунок 3.5. Горизонтальная эллиптическая образующая специального трёхфокусного псевдоэллипсоида: K = 0.6, h₁ = −0.4, h = 0. Один внутренний фокус левой дуги совпадает с одним внутренним фокусом правой дуги.

В точке симметричного перекрытия центральная часть активного профиля приобретает шейковый характер. Для трёхфокусного случая координата центральной точки шейки равна x_f = h₁/2. При подстановке условия трёхфокусности получается:

x_f = √(1 − K²) − 1.

Высота образующей в этой точке равна K², а радиус внутренней полости в шейке определяется уровнем оси вращения R = K + h. Поэтому радиус шейки записывается так:

r_throat = K + h − K².

Эта величина имеет простой геометрический смысл: она показывает, остаётся ли в центральной шейковой области положительный внутренний радиус. Если r_throat > 0, шейка существует как реальная часть внутреннего объёма. Если r_throat = 0, она вырождается в предельное касание. Если r_throat < 0, формальная трёхфокусная сборка образующей не даёт физически содержательной внутренней шейки при выбранном уровне оси вращения.

Рисунок 3.6. 2D-сечение специального трёхфокусного псевдоэллипсоида второго порядка при K = 0.6, h₁ = −0.4, h = 0. Сечение показывает геометрическую шейку как часть внутреннего объёма второго порядка.

Трёхфокусность не следует смешивать с доказанным трёхмерным фокусирующим эффектом. В главе 3 она означает только строгий факт плоской эллиптической геометрии: совпадение двух внутренних фокусов составной образующей. Возможное влияние этой шейки на лучевую статистику, модовую структуру или вывод энергии является задачей следующих этапов исследования. Здесь же фиксируется только геометрический статус подсемейства и его допустимость как второго порядка.

Именно такое разделение делает описание научно корректным. Сильная геометрическая особенность не превращается автоматически в доказанное физическое свойство, но она задаёт естественный кандидат на отдельную область анализа. Поэтому трёхфокусное подсемейство должно присутствовать в главе 3 как специальная конфигурация второго порядка, а не переноситься только в главы о волновой верификации.

3.5. Сферическое подсемейство псевдоэллипсоидов.

Сферическое подсемейство соответствует предельному случаю K = 1, когда исходный эллипс вырождается в окружность. В этой ситуации различие между горизонтальной и вертикальной фокальной ориентацией исчезает, потому что оба фокуса каждого эллипса совпадают с центром окружности. Поэтому сферическое подсемейство занимает промежуточное положение между горизонтальными и вертикальными псевдоэллипсоидами.

Важно подчеркнуть терминологическую границу. Слово «псевдосфера» в данной теории не должно смешиваться с классической псевдосферой Бельтрами. Здесь оно означает только предельный случай псевдоэллипсоидальной конструкции при K = 1, когда две четвертьэллиптические дуги становятся двумя четвертями окружностей. Это внутренний термин данной конструктивной геометрии, а не заимствование из классической дифференциальной геометрии поверхностей постоянной отрицательной кривизны.

Текущий рабочий скрипт рядных псевдоэллипсоидов намеренно рассматривает только два основных типа: K < 1 и K > 1. Значение K = 1 в нём не является рабочей ветвью построения. Поэтому сферическое подсемейство в этой главе следует описывать как предельный контрольный случай, а не как основной расчётный режим скрипта. Такое ограничение методологически полезно: оно предотвращает смешение горизонтального, вертикального и вырожденного случаев.

При K = 1 фокусная структура исчезает, но сама псевдоэллипсоидальная логика сохраняется: имеется составная образующая из двух четвертей окружностей, смещённая ось вращения, активный профиль и радиальная функция d(x). Если h₁ = 0 и h = 0, то две круговые четверти сходятся в центральной точке, а внутренний объём второго порядка задаётся тем же интервалом I₂(x) = [0,d(x)].

Рисунок 3.7. Предельное сферическое подсемейство K = 1: 2D-сечение второго порядка. Рисунок показывает предельную круговую сборку как контрольный случай между горизонтальным и вертикальным типами; в основном скрипте K = 1 не используется как рабочая ветвь.

Научный смысл сферического подсемейства состоит не в том, чтобы заменить горизонтальный и вертикальный типы одной «средней» формой. Оно выполняет роль разделительной границы в пространстве K. При K < 1 фокусная ось исходных дуг горизонтальна. При K > 1 она вертикальна. При K = 1 фокальная анизотропия исчезает. Поэтому сферическое подсемейство удобно использовать как контрольный предел, но не как основной носитель эллиптической фокальной структуры.

Если в дальнейшем потребуется численно сравнивать горизонтальные, вертикальные и предельные сферические формы, K = 1 следует вводить отдельным контрольным режимом, явно отмечая, что он не входит в текущий скриптовый набор двух основных типов. В главе 3 достаточно зафиксировать его геометрический статус и терминологическое отличие от классической псевдосферы.

3.6. Выводы главы

В настоящей главе псевдоэллипсоид второго порядка зафиксирован как базовый внутренний объём всей теории псевдоэллипсоидов высших порядков. Главный результат главы состоит в переходе от составной эллиптической образующей к радиальной функции d(x), а затем к интервалу I₂(x) = [0,d(x)]. Именно этот интервал, а не одна граничная кривая, является минимальной геометрической единицей дальнейшей теории.

Второй порядок не содержит рекурсивных смещений и не требует Merge между слоями одного экземпляра. Поэтому его нельзя описывать языком высших порядков. Он является исходным состоянием, на которое в следующих главах будут действовать рекурсивные операторы. Такая постановка защищает теорию от смешения уровней: глава 3 отвечает за Ω₂, а не за Ω₃, Ω₄ или Ωₙ.

Показано, что горизонтальный и вертикальный типы имеют общий алгоритм построения, но различаются параметром K, ориентацией фокальной структуры исходных дуг и распределением радиальной функции. Горизонтальный тип соответствует K < 1, вертикальный тип — K > 1. Сферическое подсемейство K = 1 рассматривается как предельный контрольный случай, но не является рабочей ветвью текущего скрипта.

Отдельно выделено трёхфокусное подсемейство горизонтальных псевдоэллипсоидов. Его статус строго геометрический: один внутренний фокус левой дуги совпадает с одним внутренним фокусом правой дуги, что задаёт условие h₁^(3f) = 2√(1 − K²) − 2. В этой конфигурации центральная область получает шейковый характер с радиусом r_throat = K + h − K². Однако это не является доказательством трёхмерного фокусирующего или волнового эффекта; физическая интерпретация требует последующей проверки.