4.1. Исходный интервал второго порядка

Исходной точкой третьего порядка является не сама эллиптическая дуга y(x), а радиальный интервал второго порядка. После построения составной образующей скрипт формирует активный профиль y_act(x), затем вычисляет неотрицательную радиальную функцию d(x) = max(R − y_act(x), 0). Именно эта функция определяет расстояние от оси вращения до рабочей границы второго порядка. При каждом фиксированном значении осевой координаты x внутренний объём второго порядка задаётся интервалом от оси до границы.

I₂(x) = [0, d(x)].

Эта запись имеет принципиальное значение. Она переводит теорию из языка поверхностной линии в язык внутренней области. Если рассматривать только граничную функцию d(x), можно ошибочно подумать, что повышение порядка действует на одну кривую. В действительности скрипт и физически корректная геометрическая постановка работают с интервалом. Нижняя граница второго порядка равна нулю, верхняя равна d(x), а вся внутренняя радиальная область между ними является частью расчётного объёма.

Поэтому второй порядок в этой главе играет роль начального состояния рекурсии. Он уже содержит эллиптическую специфику через K, h₁ и h, но ещё не содержит ни рекурсивного смещения, ни внутренней нижней стенки, ни кольцевого отделения от оси. Все эти свойства появляются только после применения первого offset-параметра R₁. Ошибка на этом уровне автоматически переносится в третий, четвёртый и более высокие порядки, поэтому исходный интервал должен быть определён максимально строго.

В вычислительном смысле I₂(x) соответствует массивам lo = 0 и hi = d(x). Эти массивы передаются в рекурсивную функцию построения интервалов. Следовательно, d(x) является не просто графиком из предыдущей главы, а входными данными всей последующей теории высших порядков. Именно здесь начинается переход от псевдоэллипсоида второго порядка к рекурсивной системе псевдоэллипсоидов 3+ порядков.

Рисунок 4.1. Переход от второго к третьему порядку для горизонтального типа K = 0,5. Серым пунктиром показана граница второго порядка, синим и тёмно-красным — внешняя и внутренняя границы третьего порядка, полученные из интервальной рекурсии при R₁ = 0,8.

На рисунке 4.1 видно, что третий порядок не является простой внешней копией второго. При R₁ > max d(x) базовая область отделяется от оси и превращается в кольцевой радиальный слой. В меридиональном сечении это проявляется как появление внутренней границы. После вращения такая внутренняя граница становится внутренней тороидальной поверхностью. Она не дорисована вручную, а возникает из формулы интервала третьего порядка.

4.2. Рекурсивный оператор третьего порядка

Первый рекурсивный шаг задаётся одним положительным смещением R₁. Для произвольного радиального интервала [α, β] оператор C_R действует как отражённо-смещающее преобразование: он создаёт разностный образ и суммовый образ. Разностная часть переносит интервал к уровню R₁ − r с обязательной обрезкой отрицательных радиусов у нуля; суммовая часть переносит тот же интервал к уровню R₁ + r. Такая запись особенно важна для псевдоэллипсоидов, поскольку их базовая функция d(x) может иметь разные максимумы и разные участки нулевой толщины в зависимости от K, h₁ и h.

C_R₁([α, β]) = [max(R₁ − β, 0), max(R₁ − α, 0)] ∪ [R₁ + α, R₁ + β].

Для второго порядка α = 0 и β = d(x). Поэтому первый рекурсивный шаг имеет конкретный вид:

C_R₁([0, d(x)]) = [max(R₁ − d(x), 0), R₁] ∪ [R₁, R₁ + d(x)].

На формальном ветвевом уровне это соответствует двум границам: R₁ − d(x) и R₁ + d(x). Но эта ветвевая запись является только скелетом. Реальный интервал третьего порядка получается после Merge, потому что две зоны имеют общую точку R₁. Именно поэтому третий порядок занимает особое место: он уже является рекурсивным, но его два формальных образа в обычном случае сливаются в один объединённый радиальный слой.

I₃(x) = Merge(C_R₁(I₂(x))) = [max(R₁ − d(x), 0), R₁ + d(x)].

Эта формула показывает, что третий порядок обладает двумя границами. Верхняя граница равна R₁ + d(x). Нижняя граница равна max(R₁ − d(x), 0). Если R₁ больше максимального значения d(x), нижняя граница всюду положительна, и область третьего порядка отделена от оси вращения. Если R₁ равно максимуму d(x), нижняя граница касается оси в критических точках. Если R₁ меньше max d(x), часть нижней границы обрезается нулём, и в соответствующих осевых зонах область третьего порядка снова касается или включает ось.

Таким образом, параметр R₁ не является декоративным масштабом. Он является первым настоящим морфологическим параметром высших порядков. Через него появляется управляемая связь между исходной эллиптической геометрией и новым радиальным положением объёма. В дальнейшем именно такие смещения R₁, R₂, … будут формировать рекурсивную внутреннюю архитектуру псевдоэллипсоидов n-го порядка.

Рисунок 4.2. Три режима третьего порядка по отношению R₁ к max d(x): пересечение с осью, критическое касание и кольцевое отделение. Все три панели построены через функцию ellipsoid_order_union_components при изменении R₁.

Рисунок 4.2 является ключевым для понимания третьего порядка. Он показывает, что уже первый offset создаёт не одну форму, а три принципиально различных морфологических режима. При малом R₁ нижняя граница частично обрезается осью, и третий порядок остаётся связанным с центральной областью. При критическом R₁ возникает предельная конфигурация: внутренний радиальный зазор только исчезает в точке максимального d(x). При большом R₁ область становится кольцевой по радиусу и отделяется от оси на всём осевом диапазоне.

4.3. Горизонтальный тип третьего порядка

Горизонтальный тип определяется условием K < 1. В этом режиме исходные эллиптические дуги вытянуты вдоль оси x, а их фокусы лежат на горизонтальной фокальной оси. На втором порядке такая геометрия даёт компактную радиальную функцию d(x), максимальную в центральной зоне стыка дуг и нулевую в торцевых предельных точках при закрытом режиме h = 0. При переходе к третьему порядку эта функция не исчезает, а переносится в новый радиальный слой относительно уровня R₁.

Для горизонтального типа третий порядок особенно нагляден. Если выбран R₁ = 0,8 при K = 0,5, то R₁ больше максимального базового радиуса d(x) = 0,5 в закрытом базовом режиме. Поэтому нижняя граница max(R₁ − d(x), 0) остаётся положительной на всём активном осевом диапазоне. Это означает, что третий порядок отделён от оси вращения и в 3D даёт оболочечную область с внутренней поверхностью. Такая область уже не является сплошным телом вращения второго порядка; она представляет собой радиально сдвинутый объём, у которого появились внутренний и внешний радиальные контуры.

Рисунок 4.3. Горизонтальный тип, третий порядок, 2D-меридиональное сечение. Параметры: a = 1, K = 0,5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 0,8, m = 1. Фокусы показаны только для реальных видимых эллиптических границ по алгоритму скрипта.

На рисунке 4.3 внутренняя и внешняя границы третьего порядка имеют общее эллиптическое происхождение, но не совпадают с исходной образующей. Они являются результатом переноса базового радиального интервала. Фокусы в таком рисунке нельзя интерпретировать как новые физические фокусы объёма. Они остаются геометрическими ориентирами видимых эллиптических границ, которые скрипт способен связать с исходными порождающими дугами. Merge не создаёт новых фокусов и не должен наделяться таким смыслом.

Важная особенность горизонтального третьего порядка состоит в том, что он выглядит относительно регулярным: формальное ветвление уже произошло, но после Merge остаётся один объединённый радиальный интервал. Поэтому зрительно третий порядок может казаться простым. Однако эта простота обманчива: именно здесь появляется первый внутренний радиальный зазор, первый отделённый слой и первая возможность задавать дальнейшую рекурсивную морфологию через следующий параметр R₂.

Рисунок 4.4. Горизонтальный тип, третий порядок, 3D-поверхность границы общего объёма. На 3D-виде фокусы не наносятся; яркое меридиональное сечение показывает контроль внутренней и внешней границы.

Рисунок 4.4 показывает, что пространственная реализация третьего порядка должна читаться как поверхность границы общего объёма, а не как отдельная математическая линия. Внутренняя поверхность появляется потому, что нижняя граница интервала положительна. Если бы R₁ был меньше max d(x), эта внутренняя поверхность частично исчезала бы в зоне соприкосновения с осью. Следовательно, выбор R₁ определяет не только внешний размер, но и наличие или отсутствие внутренней полости.

4.4. Вертикальный тип третьего порядка

Вертикальный тип определяется условием K > 1. В этом режиме исходные эллиптические дуги вытянуты по поперечному направлению, а их фокусы расположены вертикально относительно центров исходных эллипсов. При той же формальной рекурсивной операции третий порядок вертикального типа приобретает иной морфологический масштаб, потому что базовая функция d(x) имеет больший максимум. Это подчёркивает важное правило всей теории: рекурсивный оператор одинаков для горизонтального и вертикального типов, но результат отличается из-за другой базовой эллиптической функции.

Если использовать параметры K = 1,5 и R₁ = 0,8 в закрытом режиме h = 0, то максимальное значение d(x) превышает R₁. В этом случае нижняя граница max(R₁ − d(x), 0) на части осевого диапазона обрезается нулём. Геометрически это означает, что третий порядок вертикального типа не полностью отделён от оси. В одних зонах он имеет внутреннюю границу, а в других прижимается к оси вращения. Такая конфигурация принципиально отличается от горизонтального случая при тех же R₁.

Рисунок 4.5. Переход от второго к третьему порядку для вертикального типа K = 1,5. При R₁ = 0,8 нижняя граница третьего порядка частично обрезается у оси, поскольку max d(x) больше R₁.

Рисунок 4.5 показывает, что вертикальный тип сильнее вовлекает ось вращения уже на первом рекурсивном уровне. Это не численная ошибка и не дефект визуализации. Это прямое следствие обрезки отрицательных радиусов в операторе C_R₁. Если формально записать ветвь R₁ − d(x), то на участках d(x) > R₁ она стала бы отрицательной. Физический радиус отрицательным быть не может, поэтому вычислительная реализация заменяет такие значения нулём. Тем самым вертикальный тип демонстрирует первый пример того, как чистая ветвевая формула нуждается в интервально-объёмной интерпретации.

Рисунок 4.6. Вертикальный тип, третий порядок, 2D-меридиональное сечение. Параметры: a = 1, K = 1,5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 0,8, m = 1. Сечение построено скриптом без искусственного соединения линий.

На рисунке 4.6 видно, что третьему порядку вертикального типа соответствует не просто расширенная копия второго порядка. Внутри одной и той же осевой области могут присутствовать участки с положительной внутренней границей и участки, где внутренняя граница схлопывается к оси. Для будущей главы о четвёртом порядке это особенно важно: когда второй offset будет действовать на результат третьего порядка, он будет действовать уже на такую неоднородную область, а не на исходную гладкую функцию d(x).

Рисунок 4.7. Вертикальный тип, третий порядок, 3D-поверхность границы общего объёма. Пространственная форма показывает результат интервальной рекурсии и Merge; фокусы на 3D не наносятся.

Рисунок 4.7 подчёркивает, что вертикальный третий порядок нельзя понимать как простое масштабирование горизонтального. Одинаковые формулы и одинаковый R₁ дают разные пространственные границы, потому что исходный параметр K задаёт другую эллиптическую высоту и другую радиальную функцию. Это различие относится к геометрии, а не к уже доказанным волновым эффектам. В дальнейшем оно может стать причиной разных спектральных и лучевых режимов, но в данной главе фиксируется только конструктивный факт: вертикальный третий порядок имеет собственную морфологию уже на первом рекурсивном шаге.

4.5. Лемма о первом Merge-переходе

Лемма 4.1. Пусть d(x) ≥ 0 и R₁ > 0. Тогда формальные интервалы третьего порядка [max(R₁ − d(x), 0), R₁] и [R₁, R₁ + d(x)] после Merge образуют один замкнутый интервал [max(R₁ − d(x), 0), R₁ + d(x)] при d(x) > 0.

Доказательство. Правая граница разностного интервала равна R₁, а левая граница суммового интервала также равна R₁. Следовательно, два интервала имеют общую точку. По определению Merge соприкасающиеся замкнутые интервалы объединяются в один замкнутый интервал с тем же объединением. Левая граница результата равна минимуму левых границ, то есть max(R₁ − d(x), 0). Правая граница результата равна максимуму правых границ, то есть R₁ + d(x). Если d(x) = 0, оба интервала вырождаются в точку R₁; в численной реализации такая точка либо рассматривается как нулевая толщина, либо удаляется в пределах заданного допуска. ∎

Эта лемма объясняет, почему третий порядок визуально может выглядеть проще, чем ожидается из формального ветвевого дерева. Ветвевое дерево действительно содержит две границы, но интервальная область после Merge обычно остаётся одной радиальной Merge-компонентой. Отсюда следует важное методологическое правило: число формальных ветвей не равно числу физических радиальных зон. Уже на третьем порядке необходимо различать происхождение границ и фактическую структуру объединённого объёма.

Вместе с тем лемма не делает третий порядок тривиальным. Она показывает только то, что первый Merge-переход сливает два соприкасающихся интервала. Геометрическая новизна третьего порядка состоит в другом: нижняя граница уже не обязана быть нулевой. Если она положительна, появляется внутренняя поверхность. Если она частично обрезана нулём, возникает смешанный режим с участками осевого контакта. Именно поэтому третий порядок является настоящим началом теории высших порядков, хотя многозонная радиальная структура в полном смысле обычно проявляется только на четвёртом порядке.

4.6. Морфологические режимы третьего порядка по параметру R₁

После леммы о первом Merge-переходе становится ясно, что главная классификация третьего порядка определяется не числом ветвей, а положением нижней границы интервала. Пусть D_max = max d(x) на активной области второго порядка. Тогда отношение R₁ к D_max задаёт три базовых режима.

Первый режим возникает при R₁ < D_max. В этом случае существуют такие значения x, для которых d(x) > R₁. На этих участках выражение R₁ − d(x) отрицательно, и нижняя граница после обрезки равна нулю. Поэтому третий порядок имеет области осевого контакта. Геометрически это означает, что радиально сдвинутая область ещё не стала полностью кольцевой; она частично сохраняет связь с осью вращения.

Второй режим является критическим и соответствует R₁ = D_max. Нижняя граница касается оси только в тех точках, где d(x) достигает максимума. Такая конфигурация имеет предельный характер: малое увеличение R₁ отделяет область от оси, а малое уменьшение создаёт конечную зону осевого контакта. Для численных построений этот режим требует аккуратного обращения с допуском MERGE_TOL, потому что касание может быть принято за исчезающий интервал или за тонкий зазор в зависимости от сетки.

Третий режим возникает при R₁ > D_max. Тогда нижняя граница положительна на всём активном осевом диапазоне. Третий порядок отделён от оси и задаёт кольцевую радиальную область. После вращения она имеет внутреннюю и внешнюю поверхности. Этот режим особенно важен как чистая демонстрация того, что уже третий порядок может породить внутреннюю полость без привлечения четвёртого или более высокого порядка.

Эти три режима являются геометрическими. Они не доказывают автоматически три разных волновых режима, но задают три разных расчётных области. В последующей физической проверке такие области должны сравниваться отдельно, поскольку наличие или отсутствие осевого контакта меняет топологию допустимого пространства и структуру возможных граничных условий.

4.7. Что третий порядок добавляет к теории псевдоэллипсоидов

Третий порядок добавляет к псевдоэллипсоидной теории не просто новую картинку, а новый уровень конструктивного смысла. Во втором порядке внутренняя область всегда начинается от оси: I₂(x) = [0, d(x)]. В третьем порядке нижняя граница становится функцией max(R₁ − d(x), 0). Это означает, что сама ось вращения перестаёт быть обязательной частью внутреннего объёма. В зависимости от R₁ и K область может быть связанной с осью, касаться её в критических точках или полностью отделяться от неё.

Второе новое свойство состоит в появлении внутренней поверхности. Для волновых и лучевых задач это потенциально важно, потому что внутренняя поверхность может стать дополнительным отражающим носителем граничных условий. Но в рамках настоящего тома это формулируется только как геометрическая возможность. Никакая локализация на внутренней поверхности, никакая тороидальная мода и никакой эффект удержания здесь ещё не объявляются доказанными.

Третье новое свойство связано с подготовкой к четвёртому порядку. Третий порядок превращает простую базовую область [0, d(x)] в новый интервал [p(x), q(x)], где p(x) = max(R₁ − d(x), 0), q(x) = R₁ + d(x). Четвёртый порядок будет строиться уже из этого интервала, а не из исходной функции d(x). Именно поэтому в следующей главе появится настоящая вложенная рекурсия: R₂ будет действовать на результат R₁-преобразования.

Четвёртое свойство состоит в том, что третий порядок впервые показывает различие между формальным числом ветвей и физическим числом Merge-компонент. Формально B₃ содержит две ветви. Физически при d(x) > 0 эти ветви ограничивают один объединённый радиальный интервал. Это различие должно сохраняться во всей книге, иначе теория будет смешивать аналитический скелет с реальной расчётной областью.

4.8. Выводы главы

В настоящей главе построен псевдоэллипсоид третьего порядка как первый рекурсивный уровень теории. Исходным объектом является радиальный интервал второго порядка I₂(x) = [0, d(x)], а не одна граничная линия. Первый offset-параметр R₁ действует на этот интервал и создаёт две формальные зоны: разностную и суммовую. После Merge они образуют единый интервал третьего порядка I₃(x) = [max(R₁ − d(x), 0), R₁ + d(x)].

Показано, что третий порядок имеет две границы: внутреннюю и внешнюю. Внутренняя граница может быть положительной, критически касаться оси или частично обрезаться нулём. Поэтому параметр R₁ задаёт первый морфологический механизм высших порядков. Он управляет тем, будет ли область третьего порядка кольцевой, критической или осесвязанной.

Горизонтальный и вертикальный типы используют один и тот же рекурсивный оператор, но дают разные геометрические результаты из-за различий базовой эллиптической функции d(x). Горизонтальный тип при рассмотренных параметрах даёт отделённый кольцевой слой, а вертикальный тип демонстрирует частичную обрезку нижней границы у оси. Это различие является геометрическим фактом, полученным из скрипта, а не физическим выводом о волновой эффективности.

Лемма о первом Merge-переходе доказывает, что две формальные зоны третьего порядка соприкасаются на уровне R₁ и поэтому объединяются в один замкнутый интервал. Следовательно, третий порядок является рекурсивным по происхождению, но ещё не даёт полной многозонности, характерной для четвёртого и более высоких порядков. Его главная роль состоит в создании первого внутреннего радиального слоя и подготовке к вложенной рекурсии следующей главы.

С научной точки зрения глава фиксирует строгое правило: третий порядок нельзя строить вручную как две независимые поверхности и нельзя интерпретировать фокусы или внутренние границы как уже доказанные физические центры. Все элементы должны выводиться из активной образующей, интервала второго порядка, оператора C_R₁ и Merge. Только при таком подходе теория псевдоэллипсоидов высших порядков остаётся воспроизводимой, согласованной со скриптом и пригодной для будущих волновых постановок.