5.1. Почему четвёртый порядок является первым структурно сложным уровнем

Для второго порядка каждому значению осевой координаты x соответствует один исходный радиальный интервал I₂(x) = [0, d(x)]. Этот интервал описывает не поверхность, а всю допустимую радиальную область от оси вращения до активной эллиптической границы. В третьем порядке к нему применяется первое радиальное смещение R₁. До Merge возникают две формальные части, которые удобно мыслить как разностную и суммовую зоны относительно уровня R₁. Однако эти зоны соприкасаются в общем уровне R₁ и поэтому часто сливаются в один непрерывный интервал.

Четвёртый порядок принципиально отличается от третьего. Второй оператор C_{R₂} применяется уже к тому, что получилось на предыдущем шаге. Иначе говоря, R₂ действует не заново на исходную d(x), а на весь интервал I₃(x). Именно это правило является главным методологическим ядром главы. Если его нарушить и применить R₂ непосредственно к d(x), получится другая геометрия, не совпадающая с рекурсивным определением и не соответствующая скриптовой реализации.

I₂(x) = [0, d(x)].

I₃(x) = Merge( C_{R₁}( I₂(x) ) ).

I₄(x) = Merge( C_{R₂}( I₃(x) ) ).

Оператор C_R действует на произвольный радиальный интервал [α, β] следующим образом: сначала строится разностный образ относительно уровня R, затем суммовый образ, после чего пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы объединяются. В удобной записи это означает:

C_R([α, β]) = [max(R − β, 0), max(R − α, 0)] ∪ [R + α, R + β].

Эта формула показывает, почему четвёртый порядок не является обычным масштабированием третьего. Если после третьего порядка имеется интервал [p, q], то четвёртый порядок даёт две группы: разностную [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] и суммовую [R₂ + p, R₂ + q]. При p > 0 между ними естественно возникает зазор, равный 2p до учёта обрезки у оси. Именно этот зазор и является источником настоящей многозонности.

Рисунок 5.1. Локальная интервальная логика второго, третьего и четвёртого порядков при фиксированной осевой координате x. Схема показывает, что четвёртый порядок строится из I₃(x), а не заново из d(x).

Важно различать формальный и физический уровни описания. Формальное дерево четвёртого порядка содержит четыре выражения: R₂ − (R₁ − d), R₂ + (R₁ − d), R₂ − (R₁ + d), R₂ + (R₁ + d). Но эти выражения ещё не являются окончательной геометрией. Они только задают возможные границы радиальных зон. Окончательная область определяется после перехода к интервалам и выполнения Merge.

Рисунок 5.2. Ветвевой скелет четвёртого порядка R₂ ± (R₁ ± d(x)). Формальное число ветвей равно четырём, но реальный внутренний объём задаётся только после интервального объединения и Merge.

Поэтому в научной редакции теории нельзя смешивать четыре разные вещи: исходную эллиптическую образующую, радиальную функцию d(x), формальные ветви рекурсии и физический внутренний объём. Четвёртый порядок впервые делает это различение обязательным. На втором порядке оно может казаться избыточным, на третьем — частично скрывается соприкосновением интервалов в уровне R₁, но на четвёртом уровне ошибка сразу приводит к неправильной топологии сечения.

5.2. Горизонтальный тип: 2D и 3D

Горизонтальный тип соответствует K < 1. В этом режиме исходные эллиптические четверти вытянуты вдоль оси x, а фокальная ось каждой исходной дуги также горизонтальна. Для четвёртого порядка это означает, что базовое распределение d(x) имеет сравнительно компактную вертикальную амплитуду, но рекурсивные смещения R₁ и R₂ могут вынести радиальные интервалы на существенно разные уровни. Поэтому даже при простой базовой образующей итоговое 2D-сечение становится многозонным.

В качестве демонстрационного варианта для горизонтального типа используется K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 0.7 и R₂ = 1.8. Параметры h₁ = 0 и h = 0 намеренно оставляют образующую в базовом закрытом режиме: нет экваториального разрыва и нет торцевых окон. Это важно для чистоты главы, потому что её предметом является именно второй рекурсивный шаг, а не открытые апертурные режимы.

На 2D-сечении горизонтального четвёртого порядка видны две группы границ. Наружная группа соответствует большим радиальным значениям, возникающим из суммового образа относительно R₂. Внутренняя группа соответствует разностному образу. Если между ними остаётся ненулевая радиальная пустота, то сечение приобретает кольцевой характер: область больше не заполняет весь радиальный диапазон от оси до внешней поверхности. Это и есть первое появление настоящей внутренней многозонности в геометрии псевдоэллипсоидов высших порядков.

Рисунок 5.3. Горизонтальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 2D-сечение. Параметры: a = 1, K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (0.7, 1.8), m = 1. Показаны радиальные зоны после Merge; фокусы наносятся только для видимых эллиптических границ.

На 3D-построении та же картина проявляется как система поверхностей вращения. Внешняя поверхность ограничивает общий радиальный размер, внутренняя поверхность показывает реальное появление центрально-вырезанной или кольцевой зоны. Яркое меридиональное сечение, заложенное в скриптовую визуализацию, выполняет контрольную функцию: оно позволяет видеть, что построенная 3D-фигура не является одной оболочкой, а соответствует именно объединённому внутреннему объёму с внутренними и внешними границами.

Рисунок 5.4. Горизонтальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 3D-поверхность. Фокусы на 3D не наносятся; пространственный вид служит проверкой поверхностей границы общего объёма и яркого меридионального сечения.

Горизонтальный пример особенно удобен для объяснения второго рекурсивного шага, потому что при K < 1 базовая эллиптическая форма визуально хорошо различима, а появляющиеся радиальные зоны легко сопоставить с формулой C_{R₂}(I₃). Однако сам механизм не зависит от горизонтальности. Он является общим для всех типов: меняется только исходная функция d(x) и, как следствие, форма зон в сечении.

5.3. Вертикальный тип: 2D и 3D

Вертикальный тип соответствует K > 1. В этом режиме исходные эллиптические четверти вытянуты поперёк оси x, а фокальная структура каждой исходной дуги ориентирована вертикально. Такое изменение базовой образующей меняет форму радиальной функции d(x), но не меняет рекурсивного закона. Четвёртый порядок для вертикального типа по-прежнему строится по схеме I₄(x) = Merge(C_{R₂}(I₃(x))).

Для демонстрационного вертикального варианта используется K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, R₁ = 2.0 и R₂ = 5.0. Эти параметры подобраны так, чтобы четвёртый порядок отчётливо показывал отделение радиальных зон. Здесь важно, что вертикальный тип не является простым переименованием горизонтального. Его исходная эллиптическая геометрия даёт иное распределение d(x), поэтому при тех же логических правилах построения форма 2D-сечения и 3D-поверхности становится другой.

На 2D-сечении вертикального четвёртого порядка хорошо видно, что Merge не удаляет внутренние тороидальные зоны как геометрические объекты. Он удаляет только дублирование пересекающейся общей части. Если зоны не пересекаются и не соприкасаются, они сохраняются как разные радиальные компоненты. Это принципиально для всей книги: внутренние поверхности не являются ошибкой визуализации; они являются прямым следствием второго рекурсивного шага.

Рисунок 5.5. Вертикальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 2D-сечение. Параметры: a = 1, K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (2.0, 5.0), m = 1. Видны две радиальные зоны, возникающие после второго рекурсивного шага.

В пространственной реализации вертикальный тип подчёркивает объёмный смысл четвёртого порядка. При вращении меридионального сечения вокруг оси x каждая радиальная зона превращается в соответствующую поверхность вращения. Поэтому внутренние линии сечения становятся внутренними тороидальными поверхностями, а внешние линии — внешней границей общего объёма. Такой объект уже нельзя корректно описывать одной граничной функцией; он требует языка интервалов и объединения компонент.

Рисунок 5.6. Вертикальный псевдоэллипсоид четвёртого порядка, 3D-поверхность. Пространственное построение показывает внешние и внутренние поверхности границы; яркое меридиональное сечение оставлено как контроль сохранения внутренней структуры.

Сравнение горизонтального и вертикального примеров показывает важный вывод. Рекурсивное ядро одинаково, но базовая эллиптическая образующая остаётся существенной. Параметр K не просто меняет пропорции картинки; он меняет исходное распределение радиальной толщины d(x), а значит влияет на то, где именно четвёртый порядок создаёт кольцевые зоны, касания или объединения.

5.4. Лемма о появлении двух Merge-зон

Лемма 5.1. Пусть после третьего порядка при фиксированной осевой координате x имеется ненулевой интервал I₃(x) = [p, q], где 0 < p < q. Пусть четвёртый порядок строится оператором C_{R₂}. Если разностный и суммовый образы этого интервала не пересекаются и не соприкасаются, то после Merge в четвёртом порядке сохраняются две различные радиальные зоны.

Доказательство. По определению оператора C_R для интервала [p, q] строятся два образа: разностный [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] и суммовый [R₂ + p, R₂ + q]. Если обрезка у оси не разрушает порядок границ и p > 0, то правая граница разностного образа равна R₂ − p, а левая граница суммового образа равна R₂ + p. Между ними остаётся зазор 2p. Так как Merge объединяет только пересекающиеся или соприкасающиеся интервалы, два образа при наличии положительного зазора не могут слиться в один интервал. Следовательно, в I₄(x) остаются две радиальные зоны.

Если p = 0, то разностный и суммовый образы соприкасаются в уровне R₂. Тогда Merge объединяет их в одну зону. Если активна обрезка у нуля, то часть разностного образа может выродиться или быть прижата к оси. Поэтому лемма не говорит, что четвёртый порядок всегда имеет две зоны в каждой точке x. Она говорит более точно: четвёртый порядок впервые создаёт условия, при которых две Merge-зоны становятся возможны как устойчивый геометрический режим.

I₃(x) = [p, q],     0 < p < q.

C_{R₂}(I₃) = [max(R₂ − q, 0), max(R₂ − p, 0)] ∪ [R₂ + p, R₂ + q].

зазор = (R₂ + p) − (R₂ − p) = 2p.

Эта лемма объясняет, почему четвёртый порядок является первым уровнем реальной многозонности. На третьем порядке интервалы обычно касаются в уровне R₁. На четвёртом порядке, если результат третьего порядка оторвался от оси и имеет p > 0, новое отражение относительно R₂ порождает две несоприкасающиеся радиальные области. Отсюда появляются внутренние тороидальные границы и необходимость аккуратной 2D/3D-визуализации.

Рисунок 5.7. Изменение Merge-картины четвёртого порядка при разных значениях R₂. При одних параметрах зоны могут сближаться или касаться; при других возникает явно выраженная внутренняя пустота между радиальными компонентами.

Научный смысл леммы состоит не только в доказательстве частного факта. Она фиксирует главный переход от третьего порядка к четвёртому: сложность больше нельзя описывать числом формальных ветвей. Нужно анализировать реальные радиальные интервалы после Merge. Поэтому четвёртый порядок является первым уровнем, где топология внутреннего объёма должна проверяться алгоритмически, а не выводиться на глаз из ветвевых формул.

5.5. Научная интерпретация четвёртого порядка как первой многозонной псевдоэллипсоидной области

Четвёртый порядок вводит новую геометрическую ситуацию: внутренний объём уже может состоять не из одного радиального слоя, а из нескольких слоёв, разделённых пустыми промежутками. В меридиональном сечении это выглядит как система вложенных областей; после вращения вокруг оси x такие области превращаются в наружные и внутренние поверхности вращения. Именно поэтому термин «псевдоэллипсоид четвёртого порядка» не следует понимать как одну гладкую эллипсоидальную оболочку. Это рекурсивно построенная область, имеющая эллиптический источник, но не сводимая к классическому эллипсоиду.

Такой объект особенно важен для дальнейшей теории, потому что он впервые демонстрирует отличие между простым увеличением толщины и настоящей внутренней архитектурой. Если бы R₂ только расширял третий порядок, то четвёртый порядок был бы количественным усложнением. Но из-за разностно-суммового действия C_{R₂} он становится качественным усложнением: внутри одного и того же осевого диапазона появляются разные допустимые радиальные зоны. Это уже топологическая информация, а не только метрическая.

При этом Merge следует понимать строго. Он не должен уничтожать внутренние тороидальные поверхности только потому, что рисунок кажется визуально сложным. Merge объединяет лишь те интервалы, которые пересекаются или касаются. Если между радиальными зонами существует ненулевой зазор, они остаются разными компонентами. Поэтому правильная скриптовая визуализация четвёртого порядка должна показывать как внешние, так и внутренние границы, а не сглаживать их в одну декоративную оболочку.

Именно на этом уровне становится очевидной необходимость разделения трёх языков: ветвевого, интервального и объёмного. Ветвевой язык объясняет происхождение границ. Интервальный язык определяет допустимые радиальные зоны. Объёмный язык задаёт реальную область Ω₄, пригодную для дальнейших расчётов. Если оставить только ветви, теория будет неполной. Если оставить только 3D-картинку, будет потеряна строгая рекурсивная причина появления внутренней структуры.

5.6. Ограничения главы и переход к следующим уровням построения

В настоящей главе сознательно не рассматриваются рядные системы и произвольный n-й порядок. Четвёртый порядок должен быть понят сам по себе, потому что именно он является первым уровнем, где рекурсия перестаёт быть почти одномерной и начинает создавать внутреннюю многослойную структуру. Добавление рядности или новых параметров R₃, R₄, … до полного понимания четвёртого порядка привело бы к смешению разных механизмов.

Также здесь не анализируются волновые свойства. Наличие внутренней тороидальной поверхности, кольцевой зоны или разделённого радиального слоя не является автоматическим доказательством локализации, резонанса или направленного вывода. Геометрия только создаёт потенциальную расчётную область. Физические эффекты требуют отдельной постановки уравнений, источников, граничных условий, частотного масштаба и контрольных сравнений.

Следующая логическая задача после четвёртого порядка состоит в обобщении рекурсии на произвольный n-й порядок. Но это обобщение должно опираться именно на выводы настоящей главы: каждый новый параметр Rₖ действует на уже построенное множество интервалов, а не возвращается к исходной d(x). Поэтому четвёртый порядок является не просто одним из примеров, а проверочным узлом всей рекурсивной теории.

5.7. Выводы главы

В главе построен и научно интерпретирован псевдоэллипсоид четвёртого порядка как второй рекурсивный шаг теории. Главный результат состоит в том, что четвёртый порядок является первым структурно сложным уровнем: здесь оператор R₂ действует на весь результат третьего порядка, а не на исходную эллиптическую образующую.

Показано, что формальный ветвевой скелет R₂ ± (R₁ ± d(x)) имеет четыре ветви, но физически значимая область задаётся не числом ветвей, а радиальными интервалами после Merge. Поэтому корректное описание четвёртого порядка требует перехода от ветвей к интервальному и объёмному языку.

Горизонтальный и вертикальный типы используют один и тот же рекурсивный оператор, но различаются исходной эллиптической функцией d(x), задаваемой параметром K. Поэтому форма 2D-сечений и 3D-поверхностей у них различна, хотя математическая логика повышения порядка остаётся общей.

Лемма о двух Merge-зонах показывает, что если после третьего порядка интервал оторван от оси и имеет левую границу p > 0, то четвёртый порядок может создать две радиально разделённые зоны. Это объясняет появление внутренних тороидальных поверхностей и делает четвёртый порядок первым уровнем настоящей многозонности.