6.1. Порядок как длина рекурсивной цепи

В вычислительной и математической постановке данной книги второй порядок является начальным состоянием рекурсивной системы. Он задаётся одним радиальным интервалом при каждой осевой координате x. Этот интервал имеет вид:

I₂(x) = {[0, d(x)]}.

Здесь d(x) — радиальная функция, построенная из активной эллиптической образующей. Она уже содержит всю информацию о параметрах a, K, h₁ и h, но ещё не содержит рекурсивных смещений. Поэтому второй порядок является не «нулевым рисунком», а исходным внутренним объёмом, из которого далее строятся все последующие порядки.

Каждый новый порядок добавляет ровно один рекурсивный offset. Если список рекурсивных смещений пуст, то сохраняется второй порядок. Если задан один offset R₁, получается третий порядок. Если заданы два смещения R₁ и R₂, получается четвёртый порядок. В общем случае для конечного списка

offsets = (R₁, R₂, …, Rₙ₋₂)

порядок определяется простой, но принципиально важной формулой:

n = len(offsets) + 2.

Эта формула задаёт дисциплину всей книги. Порядок n не равен числу видимых оболочек, не равен числу компонент на рисунке и не равен числу рядных экземпляров. Он означает только длину внутренней рекурсивной цепи, применённой к базовому интервалу второго порядка. Поэтому порядок нельзя смешивать ни с параметром K, который задаёт тип базовой эллиптической образующей, ни с параметрами h₁ и h, которые относятся к исходной геометрии, ни с будущей рядностью m, которая размещает уже построенный объект вдоль общей оси.

В научном смысле такое определение делает высшие псевдоэллипсоиды воспроизводимыми. Любой исследователь, получив набор a, K, h₁, h и offsets, может восстановить тот же самый конечный порядок, потому что процедура не содержит ручного выбора ветвей и не допускает художественного дорисовывания.

Рисунок 6.1. Общий рекурсивный закон высших псевдоэллипсоидов: второй порядок задаёт начальный интервал, а каждый offset добавляет один новый уровень рекурсии.

6.2. Рекурсивный закон интервалов

Пусть на некотором шаге k уже построено конечное семейство радиальных интервалов. При фиксированной осевой координате x каждый такой интервал записывается как [lo_j(x), hi_j(x)]. Следующий offset R_k действует не на одну линию, а на весь интервал. Именно это отличает объёмную теорию от чисто ветвевой записи.

Один исходный интервал порождает две формальные интервальные ветви. Первая является разностной, вторая — суммовой:

[max(R_k − hi_j(x), 0), max(R_k − lo_j(x), 0)],

[R_k + lo_j(x), R_k + hi_j(x)].

Обрезание отрицательных радиусов до нуля является обязательным. Радиальная координата физического объёма не может быть отрицательной. Поэтому выражение max(…,0) — не численная заплатка, а геометрическое условие допустимости внутренней области.

После применения этого правила ко всем интервалам возникает формальное семейство удвоенного размера. Однако это ещё не окончательная геометрия. Формальные интервалы могут пересекаться, касаться или полностью накладываться друг на друга. В таком случае они описывают одни и те же точки пространства и должны быть объединены. Поэтому полный шаг рекурсии имеет вид:

Iₖ₊₁(x) = Merge( ⋃ C_{R_k}( Iₖ(x) ) ).

Оператор Merge в этой формуле не создаёт новых соединений. Он не закрывает пустые зазоры и не заменяет систему внешней огибающей. Его задача противоположна: удалить только дублирование тех частей, которые уже совпали или пересеклись. Если между двумя интервалами есть пустой радиальный промежуток, он сохраняется как пустой. Если интервалы касаются, они превращаются в одну замкнутую компоненту. Если пересекаются, они объединяются в общий радиальный интервал.

Таким образом, рекурсивный закон высших псевдоэллипсоидов имеет две стороны. Первая сторона — алгебраическая: формальные ветви удваиваются на каждом шаге. Вторая сторона — геометрическая: реальный внутренний объём получается только после Merge. Потеря любой из этих сторон делает описание неполным. Только формальные ветви дают красивое дерево, но не дают расчётной области. Только Merge без истории ветвей скрывает происхождение зон. Поэтому в настоящей теории они должны рассматриваться совместно.

6.3. Формальное число ветвей и реальное число компонент

Формальное число ветвей n-го порядка равно:

Nₙ = 2ⁿ⁻².

Эта формула полезна, потому что показывает конструктивную сложность порядка. Второй порядок имеет одну формальную ветвь, третий — две, четвёртый — четыре, пятый — восемь. Но важно подчеркнуть: Nₙ не является числом физических полостей, числом видимых радиальных зон и числом поверхностей, которые обязательно должны остаться после Merge.

Реальное число компонент зависит от значений d(x), K, h₁, h и всей последовательности offsets. В одной осевой точке формальные ветви могут быть хорошо разделены, в другой — пересекаться, а в третьей — сливаться в одну радиальную область. Поэтому компонентность высшего псевдоэллипсоида является не только функцией n, но и функцией геометрических параметров. Именно это делает высшие порядки содержательными: их сложность не механически равна числу ветвей, а определяется взаимодействием рекурсивного закона с конкретной эллиптической базой.

Для будущей волновой постановки это различие имеет принципиальное значение. Волновое поле будет распространяться не в формальном дереве, а в реальном внутреннем объёме. Если две формальные ветви после Merge стали одной компонентой, то для поля это одна область, а не две. Если между компонентами остался зазор, то это действительно разные радиальные зоны, и перенос между ними должен определяться граничной и топологической структурой задачи, а не формальной нумерацией ветвей.

Рисунок 6.2 показывает характерный эффект: формальное число ветвей растёт экспоненциально, тогда как максимальное число Merge-компонент растёт значительно медленнее и зависит от базового типа K. Это не недостаток теории, а её важная геометрическая особенность. Рекурсия создаёт потенциальное ветвление, а Merge переводит его в физически используемую область.

Рисунок 6.2. Сравнение формального числа ветвей Nₙ и максимального числа реальных Merge-компонент для горизонтального и вертикального типов при демонстрационных offsets.

6.4. Оценка радиальной ограниченности

Для конечного порядка все радиальные интервалы остаются ограниченными. Это важное математическое свойство, потому что без него объект не мог бы быть использован как конечная расчётная область. Пусть

M₂ = maxₓ d(x).

После первого offset верхняя граница любого формального интервала не может превысить M₂ + R₁. После второго offset она не может превысить M₂ + R₁ + R₂. Продолжая рассуждение по индукции, получаем общую оценку:

Mₙ ≤ M₂ + R₁ + R₂ + … + Rₙ₋₂.

Эта оценка является верхней безопасной границей, а не точным значением максимального радиуса. В реальном объекте часть ветвей может быть обрезана у нуля, часть может слиться через Merge, а некоторые участки могут вообще не достигать предельного уровня. Однако для доказательства конечности области достаточно именно такой оценки.

Теорема 6.1. Для любых конечных параметров a > 0, K > 0, h₁, h и конечного списка offsets все формальные интервалы n-го порядка удовлетворяют неравенству:

0 ≤ lo(x) ≤ hi(x) ≤ M₂ + ΣR_k.

Доказательство. Для второго порядка утверждение верно по определению: 0 ≤ d(x) ≤ M₂. Предположим, что для некоторого шага верхняя граница любого интервала не превосходит M. Тогда разностная ветвь имеет верхнюю границу не больше R_k, потому что max(R_k − lo, 0) ≤ R_k. Суммовая ветвь имеет верхнюю границу не больше R_k + M. Следовательно, после очередного шага новая верхняя граница не превосходит M + R_k. Индукция по числу offsets даёт требуемую оценку.

Следствие этой теоремы состоит в том, что любой конечный псевдоэллипсоид высшего порядка задаёт конечный внутренний объём вращения. Это позволяет строить 2D-сечения, 3D-поверхности границы, вычислять площади сечений и передавать область в последующие численные методы без риска бесконечного радиального роста.

6.5. Пятый порядок как демонстрация общего закона

Чтобы показать общий закон без чрезмерного усложнения рисунков, в качестве демонстрационного примера выбран пятый порядок. Он получается после трёх рекурсивных offsets и имеет восемь формальных ветвей. Это уже достаточно сложная структура, чтобы увидеть отличие формального дерева от реального объёма после Merge, но ещё достаточно читаемая для научного рисунка.

Для горизонтального типа далее используется пример K = 0.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (0.7, 1.8, 3.4). Для вертикального типа используется K = 1.5, h₁ = 0, h = 0, offsets = (2.0, 5.0, 9.0). Эти наборы не являются оптимальными в физическом смысле. Они выбраны как демонстрационные параметры, позволяющие показать рост порядка без специальной подгонки под совпадения ветвей.

Пятый порядок важен именно как переходный пример между частными главами и общей теорией. Третий порядок показывает первый сдвиг. Четвёртый порядок показывает первое настоящее ветвление второго уровня. Пятый порядок уже демонстрирует, что дальнейшее повышение n не требует новой идеи: повторяется тот же самый оператор C_R и тот же самый Merge. Поэтому после пятого порядка можно переходить к произвольному конечному n.

На рисунках 6.3 и 6.4 показано, что рост порядка нельзя понимать как простое добавление новых внешних оболочек. Внутри каждого порядка меняется расположение радиальных зон, часть формальных ветвей становится внутренними границами, часть объединяется, а часть остаётся визуально отделённой. Именно такая картина и должна называться псевдоэллипсоидом высшего порядка.

Рисунок 6.3. Горизонтальный тип K = 0.5: рост порядка от 2-го до 5-го при offsets = (0.7, 1.8, 3.4). Показаны реальные границы после Merge.

Рисунок 6.4. Вертикальный тип K = 1.5: рост порядка от 2-го до 5-го при offsets = (2.0, 5.0, 9.0). Рекурсивный закон тот же, но базовая эллиптическая геометрия меняет масштаб и морфологию.

6.6. Горизонтальный тип пятого порядка

Горизонтальный псевдоэллипсоид пятого порядка наследует фокальную ориентацию базовой эллиптической образующей при K < 1. Его исходная форма вытянута вдоль осевой координаты, а радиальная функция d(x) имеет относительно малый базовый масштаб. После трёх рекурсивных offsets эта базовая вытянутость не исчезает, но становится только первым уровнем более сложной радиальной архитектуры.

В 2D-сечении горизонтального пятого порядка видны реальные зоны после Merge. Важно, что фокусы, если они отображаются на плоском рисунке, относятся к исходным порождающим эллиптическим границам. Merge не создаёт новых эллиптических фокусов. Он лишь объединяет радиальные интервалы, полученные из уже существующих порождающих ветвей. Поэтому фокальная разметка должна трактоваться как геометрическая память базовой образующей, а не как автоматическое доказательство будущей волновой фокусировки.

Горизонтальный тип удобен для демонстрации того, как сравнительно компактная поперечная база может породить многослойный внутренний объём при умеренных offsets. Здесь особенно хорошо видно, что увеличение n добавляет не произвольные детали, а структурированные радиальные зоны, каждая из которых имеет определённое происхождение в рекурсивной цепи.

Рисунок 6.5. Горизонтальный тип, пятый порядок, K = 0.5, offsets = (0.7, 1.8, 3.4), 2D-сечение. Все видимые области являются результатом интервальной рекурсии и Merge.

3D-визуализация горизонтального пятого порядка показывает границы общего объёма вращения. Яркое меридиональное сечение используется как контроль: оно показывает, что внутренние зоны не потеряны при переходе от двумерной интервальной схемы к пространственному отображению. При этом 3D-рисунок не следует понимать как готовую конечно-элементную сетку. Это геометрическая визуализация поверхности границы, пригодная для последующей постановки физической задачи.

Рисунок 6.6. Горизонтальный тип, пятый порядок, 3D-поверхность границы общего внутреннего объёма. Меридиональное сечение наложено для контроля внутренней структуры.

6.7. Вертикальный тип пятого порядка

Вертикальный псевдоэллипсоид пятого порядка строится тем же рекурсивным законом, но на другой базовой эллиптической геометрии. При K > 1 исходные эллиптические четверти вытянуты по поперечной координате. Поэтому уже второй порядок имеет более крупный радиальный масштаб, а рекурсивные offsets должны выбираться в другой численной шкале, чтобы рисунок оставался читаемым и не превращался в искусственно сжатую структуру.

Именно вертикальный тип хорошо подчёркивает, что параметр K не является рекурсивным offset. Он не увеличивает порядок и не меняет закон C_R. Он изменяет исходную функцию d(x), а значит меняет тот материал, к которому применяется рекурсивная цепь. Один и тот же список операций на разных базовых d(x) даёт разные морфологии. Это различие является не ошибкой визуализации, а фундаментальным свойством теории псевдоэллипсоидов.

На 2D-сечении вертикального пятого порядка обычно заметнее поперечная разнесённость радиальных зон. В зависимости от выбранных offsets Merge может сохранять несколько самостоятельных компонент или объединять их в более крупные интервальные области. Поэтому вертикальный пятый порядок полезен как контрольная противоположность горизонтальному: он показывает, что общий закон действительно универсален внутри псевдоэллипсоидной теории, но результат остаётся чувствительным к типу базовой образующей.

Рисунок 6.7. Вертикальный тип, пятый порядок, K = 1.5, offsets = (2.0, 5.0, 9.0), 2D-сечение. Радиальная шкала больше, чем у горизонтального типа, но рекурсивная логика та же.

3D-представление вертикального пятого порядка демонстрирует пространственную форму общего объёма. Как и в горизонтальном случае, поверхность не является набором независимых оболочек. Она является границей объединённой области, полученной после Merge. Поэтому внутренние компоненты, если они существуют как реальные интервальные зоны, должны сохраняться и в 2D, и в 3D-контроле.

Рисунок 6.8. Вертикальный тип, пятый порядок, 3D-поверхность границы общего внутреннего объёма. Яркое меридиональное сечение показывает реальные внутренние зоны после Merge.

6.8. Выводы главы

В главе сформулирован общий закон построения псевдоэллипсоидов высших порядков. Второй порядок является начальным внутренним объёмом, а каждый следующий порядок возникает за счёт добавления одного рекурсивного offset. Поэтому порядок n определяется длиной списка offsets по формуле n = len(offsets) + 2.

Основным математическим объектом высшего порядка является не отдельная ветвь и не внешняя оболочка, а семейство радиальных интервалов Iₙ(x) после Merge. Формальные ветви образуют конструктивную историю объекта и имеют число Nₙ = 2ⁿ⁻², но реальная компонентность зависит от пересечений, касаний и перекрытий интервалов.

Показано, что любой конечный порядок радиально ограничен. Верхняя оценка Mₙ ≤ M₂ + ΣR_k гарантирует конечность построенной области и делает её пригодной для последующих численных задач. Пятый порядок использован как демонстрационный пример общего закона. Он уже содержит восемь формальных ветвей, но после Merge обычно даёт более компактную реальную структуру. Горизонтальный и вертикальный типы подтверждают, что рекурсивный оператор одинаков, а различие морфологии связано с базовой эллиптической функцией d(x), определяемой параметром K.