До настоящего момента псевдоэллипсоид высшего порядка рассматривался как одиночная рекурсивная внутренняя область Ωₙ. Такая область уже содержит seed-геометрию, интервальную рекурсию, Merge-канонизацию, формальные и эффективные псевдоповерхности, а также собственный морфологический паспорт. Однако для конструктивной геометрии Геометрической Волновой Инженерии важен не только одиночный объект, но и конечная система одинаковых объектов, расположенных вдоль одной оси.

Рядная система нужна для того, чтобы описывать переход от одной полости к цепочке полостей, от раздельных экземпляров к касающимся, от касания к перекрытию и от набора независимых тел к единому составному объёму. При этом порядок n остаётся внутренней характеристикой одного экземпляра, а параметры m и h_row отвечают только за внешнюю осевую компоновку.

Это разделение принципиально. Если смешать n и m, теория потеряет ясность: рекурсия станет зависеть от расположения копий, а рядность будет ошибочно восприниматься как новый порядок. В канонической постановке сначала строится Ωₙ, затем из конечного числа её переносов строится Ωₙ,ₘ.

7.1. Определение рядной системы псевдоэллипсоидов

Пусть задан одиночный псевдоэллипсоид высшего порядка Ωₙ и конечное число экземпляров m≥1. Вводится рядный параметр h_row, который измеряет осевой зазор, касание или перекрытие между соседними копиями. Шаг между соседними экземплярами определяется формулой

step = W + h_row.

Осевые сдвиги копий задаются как

Δⱼ = −j(W + h_row),     j = 0,1,…,m−1.

Тогда рядная система определяется как конечное объединение осевых переносов одиночной области:

Ωₙ,ₘ = ⋃_{j=0}^{m−1} (Ωₙ + Δⱼ e_ξ).

Здесь e_ξ — единичное направление общей оси. Эта формула является основной формулой главы. Она показывает, что рядная система не создаёт новый seed-профиль и не меняет рекурсивный оператор. Она только размещает уже построенную область Ωₙ в нескольких осевых положениях и затем рассматривает их объединение как один геометрический объект.

В интервальном языке рядная система имеет вид

Iₙ,ₘ^row(ξ) = Merge( ⋃_{j=0}^{m−1} Iₙ(ξ − Δⱼ) ).

Эта запись особенно важна: даже если копии были построены отдельно, в перекрывающихся осевых областях их радиальные интервалы должны быть объединены и канонизированы. Поэтому Ωₙ,ₘ является не списком рисунков, а единым множеством, определённым через интервальные состояния.

7.2. Три режима параметра h_row

Параметр h_row задаёт три базовых режима рядной компоновки. При h_row>0 между соседними экземплярами существует положительный осевой зазор. В таком режиме рядная система является разнесённой: копии сохраняют индивидуальность, а их объединение состоит из нескольких отделённых осевых блоков, если каждый отдельный экземпляр не имеет дополнительных дальних пересечений.

При h_row=0 соседние экземпляры касаются по предельным осевым сечениям. Это критический режим между разнесением и перекрытием. Он должен рассматриваться как самостоятельный морфологический предел, потому что в замкнутой геометрии касание может менять компонентность объединения, но ещё не создаёт области положительного перекрытия.

При h_row<0 осевые опоры соседних экземпляров перекрываются. В этом случае ряд уже нельзя описывать как простую сумму независимых копий. На общих участках оси интервалы от разных экземпляров поступают в один и тот же Merge-процесс. Поэтому перекрывающийся ряд может образовывать единую составную область, но это зависит не только от знака h_row, а и от реального пересечения радиальных интервалов.

Рис. 7.1. Три базовых режима параметра h_row: разнесение, касание и перекрытие. Рядный параметр управляет внешней осевой компоновкой, но не меняет внутренний порядок n отдельного экземпляра.

7.3. Интервальное объединение и Merge между копиями

При рядной сборке Merge действует не только внутри одного экземпляра, но и между всеми копиями, которые дают интервалы в одной глобальной осевой точке. Это означает, что формальное происхождение интервала от первой, второй или третьей копии не является окончательным критерием границы. Окончательным объектом является объединённое интервальное состояние после Merge.

Если интервалы от соседних копий пересекаются или касаются, они образуют один эффективный радиальный интервал. Если между ними сохраняется положительный радиальный зазор, они остаются разными компонентами. Такая логика полностью соответствует общему смыслу Merge: удаляется только дублирование общей части объёма, но не уничтожаются реальные внутренние зоны и не дорисовываются искусственные соединительные поверхности.

Из этого следует важный практический вывод: в перекрывающемся ряду нельзя заранее объявлять всю систему связной только по знаку h_row<0. Перекрытие осевых опор является необходимым условием взаимодействия копий, но реальная связность определяется пересечением пространственных областей или, в интервальном языке, пересечением соответствующих радиальных множеств на общей оси.

Рис. 7.2. Рядное интервальное состояние при фиксированной глобальной осевой координате. Интервалы, пришедшие от разных копий, после Merge дают эффективное радиальное состояние рядной системы.

7.4. Каноническая область значений h_row

Для стандартной рядной компоновки естественно требовать положительного шага:

step = W + h_row > 0.

Это условие означает, что соседние копии сохраняют упорядоченное размещение вдоль оси и не совпадают полностью по центрам. В такой канонической области параметров

h_row > −W.

Случай h_row=−W означает совпадение центров соседних копий. Тогда рядность теряет обычный смысл осевой цепочки и превращается в кратное наложение одного и того же экземпляра. При h_row<−W возникает неканоническая запись с изменением порядка центров. Такие случаи можно рассматривать как формальные предельные или переиндексируемые, но они не являются основным режимом рядной геометрии первого тома.

Таким образом, для теории достаточно выделить три содержательных режима в канонической области h_row>−W: разнесение, касание и перекрытие.

7.5. Горизонтальный рядный эталон

Для горизонтального эталона K=0.5, n=4, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35 расчётная глобальная осевая область имеет диапазон примерно от −4.30 до 1.00. Максимальное число Merge-компонент в сечении равно 2. Объём одиночного экземпляра по интегралу площади сечения равен V_single≈8.629289, а объём ряда после глобального Merge равен V_row≈25.815689.

Для сравнения, простое утроение одиночного объёма даёт 3V_single≈25.887866. Разница ΔV≈0.072177 является объёмным дефектом перекрытия: общая часть ряда при h_row<0 не должна считаться трижды.

Рис. 7.3. Горизонтальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при K=0.5, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35. Вертикальные пунктирные линии показывают границы осевых опор копий.

Рисунок 7.4. 3D-вид рядной конфигурации при h_row<0. Вид показывает пространственную связность/перекрытие.

7.6. Вертикальный рядный эталон

Для вертикального эталона K=1.5 при тех же offsets, m и h_row расчёт даёт больший радиальный масштаб и больший объём. Объём одиночного экземпляра равен V_single≈24.887439, а объём ряда при h_row=−0.35 равен V_row≈74.445797. Простое утроение одиночного объёма даёт 3V_single≈74.662317, поэтому объёмный дефект перекрытия составляет ΔV≈0.216521.

Вертикальный тип демонстрирует ту же рядную логику, что и горизонтальный: h_row отвечает за осевое положение копий, а не за изменение внутреннего порядка и не за изменение seed-формы. Но из-за другой радиальной функции d(ξ) интегральные величины оказываются существенно другими.

Рис. 7.5. Вертикальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при K=1.5, offsets=(0.8,1.6), m=3, h_row=−0.35. Рекурсивный аппарат тот же, но радиальный масштаб и объём больше.

Рисунок 7.6. Вертикальный рядный псевдоэллипсоид четвёртого порядка при h_row=-0.35, m=3. 2D-сечение построено скриптом; фокусы показаны только на 2D.

Рисунок 7.7. 3D-вид вертикального рядного псевдоэллипсоида при h_row=-0.35. На 3D фокусы не наносятся.

7.7. Объёмный дефект перекрытия

Если h_row≥0 и копии не имеют общего внутреннего объёма, то объём ряда равен сумме объёмов копий. Если h_row<0, опоры перекрываются, и общий объём ряда обычно меньше простой суммы. Для контроля вводится величина

ΔVₙ,ₘ = mVₙ − Vₙ,ₘ.

В контрольном расчёте при h_row=−0.35 получены значения ΔV≈0.072177 для K=0.5 и ΔV≈0.216521 для K=1.5. Для h_row=0.35 и h_row=0 объёмный дефект практически равен нулю в пределах численной точности, что соответствует отсутствию объёмного перекрытия.

Рис. 7.8. Объёмный дефект перекрытия ΔV=3V_single−V_row. Для отрицательного h_row рядная система имеет общий перекрывающийся объём, который после Merge считается один раз.

7.8. Теорема об ограниченности рядной системы

Теорема 7.1. Пусть одиночная область Ωₙ имеет конечную осевую опору [ξ_min,ξ_max] и конечную радиальную верхнюю границу Mₙ. Тогда при конечных m и конечном h_row рядная область Ωₙ,ₘ ограничена.

Доказательство.

Каждая копия имеет осевую опору [ξ_min+Δ_j,ξ_max+Δ_j], где Δ_j=−j(W+h_row). Так как j принимает только конечное число значений от 0 до m−1, объединение всех осевых опор является конечным объединением ограниченных интервалов. Радиальные интервалы не изменяются при осевом переносе, поэтому их верхняя граница не превосходит Mₙ. Следовательно, Ωₙ,ₘ ограничена по оси и по радиусу. Теорема доказана.

Эта теорема не утверждает связность. Связность должна проверяться отдельно через граф пересечений или через интервальное состояние Iₙ,ₘ(ξ).

7.9. Выводы главы

Глава уточняет рядную компоновку с учётом несимметричной осевой опоры. Шаг между копиями определяется как step=W+h_row, где W=ξ_max−ξ_min — реальная ширина активной опоры одиночного экземпляра. Поэтому формула корректна не только для h₁=0, но и для режимов h₁>0 и h₁<0.

Рядная система определена как Ωₙ,ₘ=⋃(Ωₙ+Δ_j e_ξ), а её интервальное состояние — как глобальный Merge всех перенесённых состояний Iₙ(ξ−Δ_j). Это отделяет рядность m от внутреннего порядка n и запрещает искусственное соединение пустого пространства между копиями.

Таким образом, глава переводит рядные псевдоэллипсоиды из уровня визуального повторения формы в уровень строгой геометрической операции над областями. Это подготавливает дальнейшее использование рядности в количественных функционалах, масштабной инвариантности и будущей волновой верификации.