Приложение А. Обозначения и параметры

А.1. Базовые геометрические параметры

a — продольная полуось исходного эллипса, размерная величина (единица длины). Определяет масштаб базовой образующей.

b — поперечная полуось исходного эллипса, размерная величина (длина). Вычисляется как произведение b = a·K.

K — безразмерное отношение полуосей K = b/a. Является ключевым параметром, разделяющим типы псевдоэллипсоидов: при K < 1 формируется горизонтальный тип, при K > 1 — вертикальный тип.

h1 — действительный параметр (длина), определяющий взаимное положение двух четвертьэллиптических ветвей. От его значения зависят режимы исходной образующей: стык, окно или перекрытие.

h — неотрицательное число (длина), задающее сдвиг уровня оси вращения. Определяет величину R = b + h.

R — положительное число (длина), уровень оси вращения. Входит в определение радиальной функции d(x) = max(R − y(x), 0).

x — действительная осевая координата в меридиональном сечении (длина). Используется при двумерных и трёхмерных построениях.

r — неотрицательная радиальная координата, расстояние от оси x в меридиональном сечении (длина). Определяет интервалы вида [α, β].

φ — угловая координата (радианы), угол вращения вокруг оси x. Используется для построения трёхмерной поверхности вращения.

А.2. Типы псевдоэллипсоидов по параметру K

Горизонтальный тип: Режим определяется условием K < 1. Геометрически соответствует исходным эллипсам, вытянутым вдоль оси x. Является рабочим скриптовым режимом в рамках тома.

Вертикальный тип: Режим определяется условием K > 1. Геометрически соответствует исходным эллипсам, вытянутым поперёк оси x. Также является рабочим скриптовым режимом.

Сферический калибр: Предельный режим при K = 1, при котором четвертьэллипсы переходят в четвертьокружности. Используется как аналитический предел для сравнения, но не является рабочим режимом текущей реализации скрипта.

А.3. Параметр h1 и режимы исходной образующей

Общий стык: Режим реализуется при условии h1 = 0. Левая и правая четвертьэллиптические ветви сходятся в общей точке x=0, что формирует центральную C0-страту границы.

Экваториальное окно: Режим активируется при условии h1 > 0. На осевом промежутке [0, h1] верхняя образующая задаётся как y=0, что после вращения приводит к образованию цилиндрического пояса.

Перекрытие четвертей: Режим возникает при условии -2a < h1 < 0. На области перекрытия образующих ветвей используется их верхняя огибающая, что после вращения формирует угловую линию на границе.

Недопустимое сильное перекрытие: Состояние, определяемое условием h1 ≤ -2a. Соответствует слишком сильному взаимному смещению центров четвертей, требующему отдельной геометрической постановки. Данный режим в Томе 1 не используется.

А.4. Функции базовой образующей

y_L(x) — левая четвертьэллиптическая ветвь, определяется формулой b·sqrt(1 − (x + a)² / a²) на области x ∈ [-a, 0].

y_R(x) — правая четвертьэллиптическая ветвь, определяется формулой b·sqrt(1 − (x − a − h1)² / a²) на области x ∈ [h1, a + h1].

y(x) — итоговая верхняя образующая, представляющая собой сборку функций y_L(x), y_R(x) с учётом режима, заданного параметром h1. Область определения — рабочий осевой интервал.

ψ(x) — функция профиля поверхности вращения, определяемая на гладких участках как ψ(x) = R − y(x) при условии ψ(x) > 0.

d(x) — радиальная функция второго порядка, определяемая как d(x) = max(R − y(x), 0). Область определения — вся осевая расчётная сетка.

А.5. Интервальная рекурсия

I₂(x) — интервал второго порядка, базовый строительный блок: I₂(x) = [0, d(x)].

R_k — k-й рекурсивный offset, элемент списка offsets. Задаёт величину смещения на рекурсивном шаге.

C_R([lo, hi]) — рекурсивный оператор переноса. Применяется к интервалу [lo, hi] и порождает два новых интервала: [max(R − hi, 0), max(R − lo, 0)] и [R + lo, R + hi].

I_n(x) — семейство интервалов n-го порядка. Результат последовательного применения операторов C_{R_k} к базовому интервалу I₂(x).

N_n — число формальных ветвей на этапе до операции Merge. Определяется формулой N_n = 2^{n−2}.

M_n — верхняя радиальная оценка для интервалов n-го порядка. Справедливо неравенство M_n ≤ M₂ + Σ R_k.

offsets — упорядоченный список рекурсивных смещений: offsets = (R₁, …, R_{n−2}).

n — порядок псевдоэллипсоида. Определяется длиной списка смещений: n = len(offsets) + 2.

А.6. Операция Merge и радиальные компоненты

Merge — операция объединения пересекающихся или касающихся интервалов. Производит склейку без добавления ручных соединений.

α_j(x), β_j(x) — нижняя и верхняя границы j-й реальной компоненты после операции Merge. Соответствуют элементам выходных массивов скрипта lo_components[j] и hi_components[j].

lo_components, hi_components — массивы нижних и верхних границ компонент, являющиеся итоговым выходом скрипта для построения 2D/3D геометрии.

Формальная ветвь — интервал, полученный в результате рекурсивного дерева операторов C_R до применения Merge. Отражает генезис геометрической зоны.

Реальная компонента — интервал после применения операции Merge. Непосредственно задаёт область пространства для последующих расчётов.

ε — численный допуск (порог), используемый в алгоритме Merge для корректной обработки касающихся и вырожденных интервалов.

А.7. Рядные параметры

m — целое число (m ≥ 1), количество экземпляров псевдоэллипсоида в ряду.

width — осевая ширина одного экземпляра, вычисляемая как разность между максимальной и минимальной координатой x базовой сетки (x_max − x_min).

h_row — параметр межрядного зазора или перекрытия (длина). Не совпадает с параметром h.

step — шаг между центрами соседних экземпляров в ряду: step = width + h_row.

Δ_j — осевой сдвиг j-го экземпляра в рядной конфигурации: Δ_j = −j·step.

Режимы рядности:

h_row > 0: экземпляры разнесены, между ними существует зазор.

h_row = 0: экземпляры соприкасаются, предельный режим.

h_row < 0: экземпляры перекрываются, что активирует операцию Merge между соседними копиями.

А.8. Пространственные области

Ω_n — одиночная трёхмерная область n-го порядка. Образуется вращением семейства интервалов I_n(x) вокруг оси x.

Ω_{n,m} — рядная область n-го порядка, состоящая из m экземпляров. Строится как объединение m сдвинутых копий области Ω_n с последующим глобальным применением операции Merge.

∂Ω — граница области. Включает внешние гладкие участки, внутренние границы (при наличии полостей) и линии/поверхности, образованные операцией Merge.

R³ — трёхмерное евклидово пространство, в котором задаётся геометрия области.

S — поверхность вращения, представляющая собой гладкую страту границы или всю границу целиком.

А.9. Кривизна и стратификация границы

K_G — гауссова кривизна поверхности вращения. На гладких участках, где ψ > 0, вычисляется по формуле: K_G = − ψ» / [ψ·(1 + ψ’²)²].

H — средняя кривизна поверхности. Упоминается как геометрическая характеристика, но в рамках тома детально не используется.

Гладкая дуга — C²-гладкий участок границы, соответствующий эллиптической части образующей. Для него при ψ > 0 выполняется K_G < 0.

Центральный стык — особенность границы при h1 = 0. Представляет собой точку (в 2D) или линию (в 3D) с непрерывностью C⁰, но не C¹.

Полюс — точка касания гладкой дуги с осью вращения при h = 0. В окрестности этой точки при приближении по гладкой дуге величина |K_G| стремится к бесконечности.

Цилиндрический пояс — участок границы, возникающий в режиме h1 > 0. Характеризуется нулевой гауссовой кривизной (K_G = 0).

Угловая огибающая — страта границы, образующаяся в режиме перекрытия (h1 < 0) в месте переключения активной ветви образующей.

Merge-граница — граница, возникающая после объединения интервалов операцией Merge. Относится к классу кусочно-гладких границ.

А.10. Интегральные характеристики

A_n(x) — площадь поперечного (перпендикулярного оси x) радиального сечения одиночной области n-го порядка. Вычисляется по формуле: A_n(x) = π·Σ_j (β_j(x)² − α_j(x)²).

V_n — объём одиночной области n-го порядка: V_n = ∫ A_n(x) dx.

V_{n,m} — объём рядной области Ω_{n,m}: V_{n,m} = ∫ A_{n,m}(x) dx, где A_{n,m}(x) — площадь сечения после глобального Merge всех рядных экземпляров.

S_sphere — площадь сферы, выступающая как аналитический калибровочный предел при K=1: S_sphere = 4πa².

V_ball — объём шара, выступающий как аналитический калибровочный предел при K=1: V_ball = (4/3)πa³.